2019-2020学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．若,,,则集合,间的关系为（ ）‎ A．Ü B．Ü C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先把集合化简，再比较两个集合所含元素的差异后可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 故表示直线上除原点外的所有的点；‎ 而表示直线上所有的点.‎ 故Ü.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的关系，注意根据集合的几何意义判断两个集合的关系，本题属于基础题.‎ ‎2．如果角的终边过点，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用三角函数的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，它与原点的距离为2，∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)‎ A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得到关于用水量和水费的分段函数，然后求解该职工这个月实际用水即可.‎ ‎【详解】‎ 设职工的用水量为立方米，需要交纳的水费为元，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 即函数的解析式为：，‎ 据此分类讨论：‎ 当时，，解得，不合题意，舍去；‎ 当时，，解得，符合题意；‎ 综上可得：该职工这个月实际用水为13立方米.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数模型的应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二分法逐次求出所有可能的区间后可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，‎ 则第二次所取的区间是或，‎ 第三次所取的区间是或或或，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二分法的理解，注意二分法中每次所确定的区间的长度一定是前一次确定的区间的长度的一半，本题属于基础题.‎ ‎5．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则（ ）‎ A．0b>1 D．b>a>1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据对数的性质，画一条直线，与函数图象的交点谁在右边谁大.‎ ‎【详解】‎ 解: 由对数的性质，画一条直线与已知函数的交点，‎ 如图 由图可知 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的性质及数形结合思想，属于基础题。‎ ‎6．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式把、化成、，再利用两角和的正弦可得三角函数式的值.‎ ‎【详解】‎ 原式 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和两角和的正弦，注意诱导公式的化归作用和三角变换公式的结构特点，本题属于基础题.‎ ‎7．若函数的定义域是，则的定义域为（　　）‎ A．R B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用求抽象函数定义域的方法，由可得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵的定义域是,‎ ‎∴满足,‎ ‎∴,∴的定义域为．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的定义域，属于简单题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎8．已知，则的值为( )‎ A．18 B． C．16 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，选D ‎【考点】三角函数恒等变形 ‎9．三个数,,的从小到大的顺序是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数的增减性，对数函数的增减性，确定,,的大致范围，即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 因为是增函数，‎ 所以，‎ 因为是减函数，‎ 所以，‎ 因为是减函数，‎ 所以，‎ 综上可知，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎10．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 解：将函数g（x）＝sin2x＝cos（2x）的图象向左平移个单位，可得函数的图象，‎ 故选A．‎ ‎11．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意首先确定实数a,b的取值范围，然后结合函数的性质即可确定满足题意的函数图像.‎ ‎【详解】‎ 由函数的图象可得，，‎ 故函数y=loga(x−b)是定义域内的减函数,且过定点(1+b,0).‎ 结合所给的图像可知只有C选项符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的性质，对数函数的图像识别等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出交点的坐标，再求出交点间距离的最小值，结合已知的最小距离可得的值.‎ ‎【详解】‎ 设函数与的图象的两个不同的交点为.‎ 令，故得，‎ 又，‎ 故或，‎ 故或，其中.‎ 故或，其中.‎ ‎ 若且，‎ 则，故.‎ 同理，若且，‎ 则，故.‎ 若， ，‎ 则，故，‎ 故交点间距离的最小值为，‎ 当时，，故，‎ 解得；‎ 当时，，故，‎ 解得，但，故舍去.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数和余弦型函数的图象和性质，注意根据两点横坐标所处的范围分类讨论，本题属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝，即x＜0时，f(x)＝,故填.‎ ‎14．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】时针走过60分钟，则分针走过的角为，据此可计算所求的角度.‎ ‎【详解】‎ 时针走过60分钟，则分针走过的角为，‎ 故当时针走过2小时40分，则分针走过的角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际问题中角度的计算，注意换算比例和角的旋转方向，本题属于基础题.‎ ‎15．已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是 ，则的值为_____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由题意知，函数的定义域和值域都是，结合函数的单调性可知的最小值为，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知函数的定义域和值域都是，‎ 因为函数和函数在区间都是单调递增函数，‎ 所以函数在区间是单调递增函数，‎ 则的最小值为，‎ 所以当时，满足题意，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性及函数的值域，属于基础题．‎ ‎16．设函数,的最大值为,最小值为,那么___________.‎ ‎【答案】4040‎ ‎【解析】令，可证为上的奇函数，故，从而可得.‎ ‎【详解】‎ 令，，‎ 因为，‎ ‎，‎ 故，所以为上的奇函数，‎ 故.‎ 又，，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，注意根据函数解析式的形式把最值问题归结为奇函数的最值问题，本题属于中档题.‎ ‎17．已知函数（），且，给出下列四个结论：①点为函数的图像的一个对称中心；②对任意的，函数都不可能是偶函数；③函数在区间上单调递减；④当时，函数的值域为，其中正确结论的序号是___________.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】根据求出的解析式，再逐项判断各选项正确与否，从而可得正确结论的序号.‎ ‎【详解】‎ 因为，，故，‎ 所以，其中，‎ 所以，其中，而，故即.‎ 此时，所以.‎ 对于①，令，可得，‎ 故函数图象的对称中心为，当时，有对称中心，故①正确.‎ 对于②，取，则，‎ 它是一个偶函数，故②错误.‎ 对于③，，‎ 当，，‎ 因为在为增函数，在为增函数，‎ 故为上的增函数，故③错误.‎ 对于④，当时，，‎ 所以，故即的值域为，‎ 故④正确.‎ 故答案为：①④.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.‎ 三、解答题 ‎18．计算:‎ ‎.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(方法一)原式 ‎.‎ ‎(方法二)原式 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据图形可得，利用同角的三角函数的基本关系式可求，再利用倍角公式可求的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，得,，‎ 所以，‎ 由得，‎ 而，所以.‎ 又.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角的余弦，注意根据图形去找同角的余弦、正弦的关系，化简求值时要根据三角函数式的结构特点选择合适的公式进行计算，本题属于中档题.‎ ‎20．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.‎ ‎(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间．‎ ‎(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据复合函数单调性，先根据对称轴求二次函数单调性，再根据复合性研究单调区间（2）根据a讨论，函数单调性，再根据单调性确定函数最大值，最后根据方程解出的值.‎ 试题解析：解：（1）当时，，对称轴为，所以函数的递增区间是，递减区间是.‎ ‎（2）当时，单调递增，无最大值 当时， 递增区间是，递减区间是，最大值为 当时， 递减区间是，递增区间是，无最大值 综上 点睛:1．复合函数单调性的规则 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．‎ ‎2．函数单调性的性质 ‎(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；‎ ‎(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．‎ ‎21． 已知函数f(x)＝sin＋sin2x.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(Ⅱ)若函数g(x)对任意x∈R，有g(x)＝f，求函数g(x)在上的值域．‎ ‎【答案】(Ⅰ)π(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用两角和的正弦函数公式及二倍角的余弦公式，化简函数 ＋，再由周期公式函数的最小正周期；(Ⅱ)由已知条件，求出，当时，则，由正弦函数的值域进一步求出函数在上的值域.‎ 试题解析：(Ⅰ)f(x)＝sin＋sin2x ‎＝ ＋(1－cos2x)‎ ‎＝sin2x＋，‎ 故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(Ⅱ)由题意，g(x)＝f ‎＝sin＋＝sin＋.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 则sin∈.‎ 则sin＋∈.‎ 即函数g(x)在上的值域为.‎ ‎22． 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝‎ ‎(1)求g[f(1)]的值；‎ ‎(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）根据分段函数对应性，先求f(1)，再求g(－3)（2）根据图像得原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，再根据图像确定实数a的取值范围 试题解析：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.‎ ‎(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，‎ 由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.‎ ‎23．已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题，，对称轴，故在区间上是增函数，即，可解出a、b的值：（2）由已知 ‎，故即为分离变量可得，令，则，因，故，讨论函数的值域即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），因为，所以在区间上是增函数，‎ 故，解得．‎ ‎（2）由已知可得，所以可化为，‎ 化为，‎ 令，则，因，故，‎ 记，因为，故，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值问题，指数函数的性质