2017-2018学年宁夏育才中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年宁夏育才中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年宁夏育才中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）根据导数的定义f′（x1）等于（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（5分）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎3．（5分）下列求导正确的是（　　）‎ A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=‎ C．（3x）′=3xlog3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx ‎4．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎6．（5分）已知，则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣‎ ‎8．（5分）函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，则（　　）‎ A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．‎ ‎9．（5分）若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（　　）‎ A．1 B．或 C． D．3或 ‎10．（5分）设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知，且 ‎，则x的值是　 　．‎ ‎14．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为　 　．‎ ‎15．（5分）过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为　 　．‎ ‎16．（5分）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．‎ ‎18．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：‎ ‎（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）a=4，b=3，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；‎ ‎（3）焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．‎ ‎19．（12分）如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．‎ ‎20．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD ‎（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎21．（12分）设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间与极值；‎ ‎（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．‎ ‎22．（12分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点．‎ ‎（1）若椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）已知椭圆具有性质：如果M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值，请给予证明．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年宁夏育才中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）根据导数的定义f′（x1）等于（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】根据导数的定义f'（x1）=，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：根据导数的定义f'（x1）=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．‎ ‎【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，‎ 结合+=（+）+（﹣）=2，‎ 得与、是共面向量，‎ 同理与、是共面向量，‎ 所以与不能与、构成空间的一个基底；‎ 又与和不共面，‎ 所以与、构成空间的一个基底．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的共面定理的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）下列求导正确的是（　　）‎ A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=‎ C．（3x）′=3xlog3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx ‎【分析】根据求导公式，对四个选项中的函数进行判断以确定其正确与否，A中用和的求导公式验证；B用对数的求导公式验证；C用指数的求导公式验证；D用乘积的求导公式进行验证．‎ ‎【解答】解：A选项不正确，因为（x+）′=1﹣；‎ B选项正确，由对数的求导公式知（log2x）′=；‎ C选项不正确，因为（3x）′=3xln3，故不正确．‎ D选项不正确，因为（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx 故选B ‎【点评】本题考查导数的运算，正确解答本题，关键是熟练掌握各种函数的求导公式并会灵活运用，本题是基本公式考查题，考查记忆能力与记忆品质．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知中抛物线x=﹣2y2，我们可以求出抛物线的标准方程，进而求出p值，根据抛物线的准线方程的定义，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x=﹣2y2的标准方程为y2=﹣x 故2p=﹣‎ 即p=‎ 则抛物线x=﹣2y2的准线方程是 故选D ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中由已知求出抛物线的标准方程是解答本题的关键，本题易将抛物线错当成焦点在y轴上，p=﹣2的抛物线，而错解为B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x ‎∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）‎ 又∵双曲线的方程为 ‎∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，‎ 化成一般式得：．‎ 因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==‎ 故选：B ‎【点评】‎ 本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知，则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出 的坐标，根据向量的模的定义求出的值．‎ ‎【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），‎ ‎∴==．‎ 故当t=0时，有最小值等于，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣‎ ‎【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式，得到 c2的值等于4，解方程求出k．‎ ‎【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即 x2 +=1，‎ ‎∵焦点坐标为（0，2），c2=4，‎ ‎∴﹣1=4，∴k=1，‎ 故选 B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，则（　　）‎ A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．‎ ‎【分析】求导函数，将函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，转化为f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立，从而问题得解．‎ ‎【解答】解：求导函数可得：f′（x）=3ax2﹣1‎ ‎∵函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数 ‎∴f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立 ‎∴a≤0‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的重点是函数的单调性，解题的关键是利用导数，将函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，转化为f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（　　）‎ A．1 B．或 C． D．3或 ‎【分析】分别看焦点在x轴和y轴时长半轴和短半轴的长，进而求得c，进而根据离心率求得m．‎ ‎【解答】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=‎ 由e=，得=，即m=3‎ 当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=‎ 由e=，得=，‎ 即m=．‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，结合函数y=f（x）的图象，利用排除法即可求解 ‎【解答】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减 结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C 当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B 故选D ‎【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题 ‎　‎ ‎11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B和平面A1B1CD所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，‎ 则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），‎ ‎=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），‎ 设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，则=（1，0，﹣1），‎ 设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ，‎ sinθ===，‎ ‎∴θ=，‎ ‎∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2‎ ‎=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．8‎ ‎【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）‎ ‎∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣4．‎ 设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），‎ 则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，‎ ‎∴y=2．‎ 将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，‎ ‎∴λ=4‎ ‎∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，‎ ‎∴C的实轴长为4．‎ 故选：A ‎【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知，且，则x的值是　5　．‎ ‎【分析】利用空间向量数量积公式直接求解．‎ ‎【解答】解：∵，且，‎ ‎∴=﹣3+2x﹣5=2，‎ 解得x=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为　y=﹣3x+2　．‎ ‎【分析】求出函数y=x3﹣3x2+1在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．‎ ‎【解答】解：由曲线y=x3﹣3x2+1，‎ 所以y′=3x2﹣6x，‎ 曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3（1）2﹣6=﹣3．‎ 此处的切线方程为：y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．‎ 故答案为：y=﹣3x+2．‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为　　．‎ ‎【分析】由题设条件求出椭圆的焦点坐标，进而求出直线AB的方程，把直线AB代入椭圆方程，求出线段AB的长，再由点到直线距离公式求出原点到直线AB的距离，由此能求出△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：把椭圆x2+2y2=2转化为标准方程+y2=1，‎ ‎∵a2=2，b2=1，‎ ‎∴椭圆x2+2y2=2的焦点F1（1，0），F2（﹣1，0），‎ ‎∵过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，‎ 设直线AB过焦点F1（1，0），‎ ‎∴直线AB的方程为y=x﹣1，‎ 联立方程组，‎ 整理，得4x2﹣4x=0，‎ 解得，，‎ ‎∴|AB|==，‎ ‎∵原点O到直线AB：y=x﹣1的距离d==，‎ ‎∴S△AOB==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角形面积的求法，涉及到椭圆性质、直线方程、点到直线距离公式等知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x+1=0 ‎ ‎∵渐近线与抛物线有一个交点 ‎∴△=﹣4=0，求得b2=4a2，‎ ‎∴c==a ‎∴e==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，‎ 而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，‎ 故函数的最大值是2，最小值是﹣18．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：‎ ‎（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）a=4，b=3，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；‎ ‎（3）焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用a=4，b=1，焦点在x轴上，直接写出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）利用a=4，b=3，焦点在y轴上，直接写出双曲线的标准方程；‎ ‎（3）利用已知条件直接写出焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意知a=4，b=1，‎ 焦点在x轴上，‎ ‎∴a2=16，b2=1，‎ 故椭圆的标准方程为：，即．‎ ‎（2）解：由题意，设方程为，‎ ‎∵a=4，b=3，‎ ‎∴a2=16，b2=9，‎ 所以双曲线的标准方程是．‎ ‎（3）∵焦点到准线的距离是2，‎ ‎∴2p=4，‎ ‎∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2=4y或x2=﹣4y．‎ ‎【点评】本题考查抛物线方程的求法，椭圆以及双曲线方程的求法是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．‎ ‎【分析】推导出，从而，进而，同理：由OB⊥AC得，由此得到，从而能证明OC⊥AB．‎ ‎【解答】证明：∵OA⊥BC，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴（1）‎ 同理：由OB⊥AC得（2）‎ 由（1）﹣（2）得 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴OC⊥AB．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD ‎（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD ‎（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，‎ 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD．‎ ‎（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，‎ 由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，‎ 又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，‎ 设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，‎ CD=，A1D=，DE=，A1E=3‎ 故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，‎ 又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，‎ 在△A1DC中，DF==，EF==，‎ 所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间与极值；‎ ‎（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；‎ ‎（2）设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）解：由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，‎ 知，f′（x）=ex﹣2，x∈R，‎ 令f′（x）=0，得x=ln2，于是，当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，ln2）‎ ln2‎ ‎（ln2，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调递减 ‎2﹣2ln2+2a 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），‎ f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=2﹣2ln2+2a．‎ ‎（2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，‎ 于是g'（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．‎ 由（1）知，对任意x∈R，都有g′（x）＞0，‎ 所以g（x）在R内单调递增．‎ 于是，当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），‎ 都有g（x）＞g（0），而g（0）=0，‎ 从而对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞0，‎ 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点．‎ ‎（1）若椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）已知椭圆具有性质：如果M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值，请给予证明．‎ ‎【分析】（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，根据椭圆的定义可得2a=4，即a=2．利用点A（1，）在椭圆上，可求得b2=3，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）先利用中点坐标公式求得动点与F1K之间坐标关系，利用动点在椭圆上，可求中点的轨迹方程．‎ ‎（3）设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（﹣m，﹣n），又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．‎ 又点在椭圆上，因此b2=3，于是c2=1．‎ 所以椭圆C的方程为，焦点F1（﹣1，0），F2（1，0）．‎ ‎（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y），‎ ‎∴x1=2x+1，y1=2y．‎ 因此，‎ 即为所求的轨迹方程．‎ ‎（3）设M（m，n），则N（﹣m，﹣n），再设P（x，y）‎ 从而．‎ 由M（m，n），P（x，y）在已知椭圆上，‎ 故可解得，，‎ 带入中，‎ 化简有．‎ 即KPM与之KPN之积是与点P位置无关的定值．‎ ‎【点评】本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎