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文档介绍
数学卷·2018届河北省保定市望都中学高二上学期9月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年河北省保定市望都中学高二(上)9月月考数学试卷 一、选择题 1.同时抛掷三枚均匀的硬币,则基本事件的总个数和恰有2个正面朝上的基本事件的个数分别为( ) A.3,3 B.4,3 C.6,3 D.8,3 2.已知随机事件A,B,“事件A,B是互斥事件”是“P(A∪B)=P(A)+P(B)”成立的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 4.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( ) (参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305) A.6 B.12 C.24 D.48 5.已知F1、F2是椭圆的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A、B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 6.采用系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查,为此将他们随机编号为1、2、…、480,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为12抽到的16人中,编号落人区间[1,160]的人做问卷A,编号落入区问[161,320]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则被抽到的人中,做问卷B的人数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.将正整数2,3,4,5,6随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是( ) A. B. C. D. 8.若实数a,b满足a2+b2≤1,则关于x的方程x2﹣ax+b2=0有实数根的概率是( ) A. B. C. D.1 9.在下列四个命题中,正确的共有( ) ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率; ②直线的倾斜角的取值范围是[0,π]; ③若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α; ④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.已知集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},非空集合B={x|2a<x<6},则“A∩B=∅”的充分不必要条件可以是( ) A.﹣1<a<2 B.1≤a<3 C.a>0 D.1<a<3 11.在△ABC中,A=120°,|AB|=1,△ABC的面积为,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.﹣1 12.已知2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的方差是3,则x1,x2,x3,…,xn的标准差为( ) A. B. C.3 D. 二、填空题 13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:x,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,若从高二年级抽取15名学生,则x= . 14.命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0”的解集不是空集,则“a≥1”的逆否命题是 命题.(填“真”或“假”) 15.x的取值范围为[0,10],给出如图所示程序框图,输入一个数x.则输出的x(x<6)的概率为 16.下列命题中,真命题是 ①若2+2=0,则==; ②若向量,都是单位向量,则=; ③|+|≤||+||; ④(+)+=+(); ⑤若向量,满足•>0,则与的夹角为锐角; ⑥⊥⇔|+|=|﹣| 三、解答题 17.(10分)某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求纵坐标中参数h的值及第三个小长方形的面积; (Ⅱ)求车速的众数v1,中位数v2的估计值; (Ⅲ)求平均车速的估计值. 18.(12分)已知命题p:2x2﹣9x+a<0,命题q:x2﹣5x+6<0,且非p是非q的充分条件,求实数a的取值范围. 19.(12分)在一次考试中,5名同学数学、物理成绩如表所示: 学生 A B C D E 数学(分) 89 91 93 95 97 物理(分) 87 89 89 92 93 (1)根据表中数据,求物理分y队数学分x的回归方程; (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动,求选中的同学中物理成绩高于90分的恰有1人的概率. (附:回归方程=bx+中,b=, =﹣b) 20.(12分)设命题p:“函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数”,命题q:“∃x0∈R,ax02+2x0+a<0”若使p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围. 21.(12分)已知圆C的圆心为C(m,0),m<3,半径为,圆C与椭圆E:有一个公共点A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点. (1)求圆C的标准方程 (2)若点P的坐标为(4,4),试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切,若能,求出椭圆E和直线PF1的方程;若不能,请说明理由. 22.(12分)为了了解调研高一年级新学生的智力水平,某校按l 0%的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查,测得“智力评分”的频数分布表如表l,表2. 表1:男生“智力评分”频数分布表 智力评分 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190) 频数 2 5 14 13 4 2 表2:女生“智力评分”频数分布表 智力评分 [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) 频数 1 7 12 6 3 1 (Ⅰ)求高一的男生人数并完成如图所示的男生的频率分布直方图; (Ⅱ)估计该校学生“智力评分”在[165,180)之间的概率; (Ⅲ)从样本中“智力评分”在[180,190)的男生中任选2人,求至少有1人“智力评分”在[185,190)之间的概率. 2016-2017学年河北省保定市望都中学高二(上)9月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.同时抛掷三枚均匀的硬币,则基本事件的总个数和恰有2个正面朝上的基本事件的个数分别为( ) A.3,3 B.4,3 C.6,3 D.8,3 【考点】随机事件. 【分析】由题意,基本事件的总个数为23=8,恰有2个正面朝上的基本事件为正正反,正反正,反正正,即3个,可得结论. 【解答】解:由题意,基本事件的总个数为23=8, 恰有2个正面朝上的基本事件为正正反,正反正,反正正,即3个. 故选D. 【点评】本题考查基本事件的求解,考查学生的计算能力,比较基础. 2.已知随机事件A,B,“事件A,B是互斥事件”是“P(A∪B)=P(A)+P(B)”成立的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据:∵P(A∪B)=P(A)+P(B)﹣P(A∩B),即可判断出结论. 【解答】解:∵P(A∪B)=P(A)+P(B)﹣P(A∩B), ∴事件A,B是互斥事件”是“P(A∪B)=P(A)+P(B)”成立的充分不必要条件. 故选:A. 【点评】本题考查了概率的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 【考点】程序框图. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:∵输入的x=2,n=2, 当输入的a为2时,S=2,k=1,不满足退出循环的条件; 当再次输入的a为2时,S=6,k=2,不满足退出循环的条件; 当输入的a为5时,S=17,k=3,满足退出循环的条件; 故输出的S值为17, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答. 4.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( ) (参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305) A.6 B.12 C.24 D.48 【考点】程序框图. 【分析】列出循环过程中S与n的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【解答】解:模拟执行程序,可得: n=6,S=3sin60°=, 不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056, 满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24. 故选:C. 【点评】本题考查循环框图的应用,考查了计算能力,注意判断框的条件的应用,属于基础题. 5.已知F1、F2是椭圆的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A、B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由椭圆的定义得,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16,由此可求出|AB|的长. 【解答】解:由椭圆的定义得 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16, 又因为在△AF1B中,有两边之和是10, 所以第三边的长度为:16﹣10=6 故选A. 【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系.要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质. 6.采用系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查,为此将他们随机编号为1、2、…、480,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为12抽到的16人中,编号落人区间[1,160]的人做问卷A,编号落入区问[161,320]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则被抽到的人中,做问卷B的人数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】系统抽样方法. 【分析】由题意可得抽到的号码构成以12为首项、以30为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an=12+(n﹣1)×30,由161≤an≤320 求得正整数n的个数,即为所求. 【解答】解:由480÷16=30,故由题意可得抽到的号码构成以12为首项、以30为公差的等差数列, 且此等差数列的通项公式为an=12+30(n﹣1)=30n﹣18. ∴161≤30n﹣18≤320 由n为正整数可得6≤n≤11,且 n∈z, 故做问卷B的人数为6, 故选C 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,属于基础题. 7.将正整数2,3,4,5,6随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是( ) A. B. C. D. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】恰当分组,利用分类加法原理和古典概型的概率计算公式即可得出. 【解答】解:将正整数2,3,4,5,6随机分成两组,使得每组至少有一个数,共有分法=15种; 其中满足两组中各数之和相等的只有1种:4,6;2,3,5, ∴两组中各数之和相等的概率P=. 故选:D. 【点评】熟练掌握分类加法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键. 8.若实数a,b满足a2+b2≤1,则关于x的方程x2﹣ax+b2=0有实数根的概率是( ) A. B. C. D.1 【考点】几何概型. 【分析】求出方程有解的等价条件,利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解:实数a,b满足a2+b2≤1,对应的区域是以1为半径的圆, 关于x的方程x2﹣ax+b2=0有实数根,则判别式△=a2﹣4×b2=a2﹣3b2≥0, 即(a﹣)(a+)≥0, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则a﹣b=0的斜率k=,对应的倾斜角为30°, a+b=0的斜率k=﹣,对应的倾斜角为150°, ∴两条直线的夹角为60°, ∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=; 故选:C 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据条件求出对应区域是解决本题的关键 9.在下列四个命题中,正确的共有( ) ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率; ②直线的倾斜角的取值范围是[0,π]; ③若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α; ④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 【分析】根据倾斜角为90°的直线没有斜率,可得①不正确. 由于直线的倾斜角不会等于180°,得②不正确. 因为斜率为tanα的角由无数个,而直线的倾斜角仅有一个,故③不正确. 根据倾斜角为90°的直线没有斜率,可得④不正确. 【解答】解:由于和x轴垂直的直线的倾斜角为90°,故此直线没有斜率,故①不正确. 由于直线的倾斜角不会等于180°,故②不正确. 若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为 β=α+k×180°,k∈z,且 0°≤β<180°,故③不正确. 若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率不一定为tanα,如α=90° 时,tanα不存在,故④不正确. 综上,四个命题全部不正确.故选 A. 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,注意倾斜角等于90°时的情况. 10.已知集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},非空集合B={x|2a<x<6},则“A∩B=∅”的充分不必要条件可以是( ) A.﹣1<a<2 B.1≤a<3 C.a>0 D.1<a<3 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】若A∩B=∅,则2≤2a<6,解得:1≤a<3,则“A∩B=∅”的充分不必要条件为[1,3)的真子集,进而得到答案. 【解答】解:∵集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0}=(﹣1,2), 非空集合B={x|2a<x<6}, 若A∩B=∅,则2≤2a<6, 解得:1≤a<3, 则“A∩B=∅”的充分不必要条件为[1,3)的真子集, 比照四个答案,可得D答案符号要求, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义,集合的包含关系及应用,难度中档. 11.在△ABC中,A=120°,|AB|=1,△ABC的面积为,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.﹣1 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用正弦定理、余弦定理,以A,B为焦点的椭圆经过点C,求出2a=+1,2c=1,即可求出椭圆的离心率. 【解答】解:∵△ABC中,A=120°,|AB|=1,△ABC的面积为, ∴×1×|AC|×=, ∴|AC|=1, ∴|BC|=, ∵以A,B为焦点的椭圆经过点C, ∴2a=+1,2c=1, ∴e==. 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的性质及应用,解题时要注意的定义的正确运用,属于基础题. 12.已知2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的方差是3,则x1,x2,x3,…,xn的标准差为( ) A. B. C.3 D. 【考点】极差、方差与标准差. 【分析】根据题意,设x1,x2,x3,…,xn的标准差S,由方差、标准差的关系可得的2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的方差是4S2,即有4S2=3,解可得答案. 【解答】解:根据题意,设x1,x2,x3,…,xn的标准差S, 则2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的方差是4S2,即有4S2=3, 解可得S= 故选:B. 【点评】本题主要考查了方差、标准差的计算公式,是需要熟记的标准差、方差之间的关系. 二、填空题 13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:x,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,若从高二年级抽取15名学生,则x= 4 . 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据三个年级的人数比,做出高二所占的比例,用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例,得到要抽取的高二的人数,即可得出结论. 【解答】解:∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:x, ∴高二在总体中所占的比例是, ∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本, ∴要从高二抽取,∴x=4 故答案为:4. 【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例,这就是在抽样过程中被抽到的概率,本题是一个基础题. 14.命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0”的解集不是空集,则“a≥1”的逆否命题是 真 命题.(填“真”或“假”) 【考点】四种命题的真假关系. 【分析】根据原命题与它的逆否命题真假性相同,判断原命题的真假即可. 【解答】解:∵关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空, ∴△=(2a+1)2﹣4(a2+2)≥0, 解得a≥, ∴a≥1,原命题是真命题; ∴它的逆否命题也是真命题. 故答案为:真. 【点评】本题考查了四种命题的应用问题,解题时应根据原命题与它的逆否命题的真假性相同进行解答,是基础题. 15.x的取值范围为[0,10],给出如图所示程序框图,输入一个数x.则输出的x(x<6)的概率为 【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图,我们根据选择结构的功能,可能分析出程序的功能是计算并输出分段函数y=的值,输出的x(x<6),可得x<5,即可求出输出的x(x<6)的概率. 【解答】解:由已知中的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值, 当x<6时,输出x+1,此时输出的结果满足x+1<6,所以x<5, 所以输出的x(x<6)的概率为=. 故答案为:. 【点评】本题考查的知识点是选择结构,其中根据已知中的程序框图分析出程序的功能是解答本题的关键,属于基础题. 16.下列命题中,真命题是 ①③④ ①若2+2=0,则==; ②若向量,都是单位向量,则=; ③|+|≤||+||; ④(+)+=+(); ⑤若向量,满足•>0,则与的夹角为锐角; ⑥⊥⇔|+|=|﹣| 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】对于①,若2+2=0,则则==; ②,单位向量只能确定模为1,方向不定; ③,根据加法向量的运算法则可得|+|≤||+||; ④,根据加法向量的结合律 可得(+)+=+(); ⑤,向量,满足•>0,则与的夹角为[0,; ⑥,|+|=|﹣|⇒⇒或中有向量为. 【解答】解:对于①,若2+2=0,则则==,故正确; 对于②,单位向量只能确定模为1,方向不定,故错; 对于③,根据加法向量的运算法则可得|+|≤||+||,故正确; 对于④,根据加法向量的结合律 可得(+)+=+(),故正确; 对于⑤,向量,满足•>0,则与的夹角为[0,,不一定是锐角,故错; 对于⑥,|+|=|﹣|⇒⇒或中有向量为.故错. 故答案为①③④ 【点评】本题考查了向量的概念及运算律,属于基础题. 三、解答题 17.(10分)(2014春•和平区期末)某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求纵坐标中参数h的值及第三个小长方形的面积; (Ⅱ)求车速的众数v1,中位数v2的估计值; (Ⅲ)求平均车速的估计值. 【考点】频率分布直方图. 【分析】(Ⅰ)所有小长形面积之和为1,由此求出h=0.01,从而能求出第三个小长方形的面积. (Ⅱ)利用频率分布直方图能求出车速的众数和车速的中位数. (Ⅲ)利用频率分布直方图能求出平均车速. 【解答】解:(Ⅰ)∵所有小长形面积之和为1, ∴10h+10×3h+10×4h+10×2h=1, 解得h=0.01, ∴第三个小长方形的面积为:10×4h=10×0.04=0.4. (Ⅱ)车速的众数v1==65, 车速的中位数是两边直方图的面积相等, 于是得:10×0.01+10×0.03+(v2﹣60)×0.04=0.5, 解得v2=62.5. (Ⅲ)平均车速=0.01×10×45+0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62. 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,解题时要认真审题,比较基础. 18.(12分)(2016秋•保定校级月考)已知命题p:2x2﹣9x+a<0,命题q:x2﹣5x+6<0,且非p是非q的充分条件,求实数a的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】问题转化为q⇒p,即对于任意x满足2<x<3,f(x)<0都成立.由二次函数得:f(3)≤0,解出即可. 【解答】解:由q得:2<x<3, ∵非p是非q的充分条件, ∴非p⇒非q即q⇒p, 设函数f(x)=2x2﹣9x+a, 则命题p为“f(x)<0”. ∵q⇒p, ∴对于任意x满足2<x<3,f(x)<0都成立. 由二次函数得:f(3)≤0,f(2)≤0, 解得:a≤9. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查二次函数的性质以及命题之间的关系,是一道中档题. 19.(12分)(2016秋•保定校级月考)在一次考试中,5名同学数学、物理成绩如表所示: 学生 A B C D E 数学(分) 89 91 93 95 97 物理(分) 87 89 89 92 93 (1)根据表中数据,求物理分y队数学分x的回归方程; (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动,求选中的同学中物理成绩高于90分的恰有1人的概率. (附:回归方程=bx+中,b=, =﹣b) 【考点】线性回归方程. 【分析】(1)由已知求出x,y的平均数,从而求出物理分y对数学分x的回归方程. (2)利用列举法确定基本事件的情况,即可求出概率. 【解答】解:(1)由已知得==93, =90, ∴b==0.75,a=90﹣0.75×93=20.25, ∴物理分y对数学分x的回归方程为y=0.75x+20.25; (2)由题意,从B,C,D,E中选出2名,可能为BC,BD,BE,CD,CE,DE,选中的同学中物理成绩高于90分的恰有1人的可能情况为DB,DC,EB,EC, ∴选中的同学中物理成绩高于90分的恰有1人的概率为=. 【点评】本题考查回归方程的求法,考查概率的计算,正确运用公式是关键. 20.(12分)(2016秋•保定校级月考)设命题p:“函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数”,命题q:“∃x0∈R,ax02+2x0+a<0”若使p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】若p∨q为真,p∧q为假,则p真q假或p假q真,分类讨论,可得满足条件的实数a的取值范围. 【解答】解:若命题P为真,则a+1>1, 解得:a>0 若命题q为真,则a≤0,或, 解得:a<1 若使p∧q为假,p∨q为真,则p,q一真一假. 若p真q假,a≥1; 若p假q真,a≤0 所以,a的取值范围是a≥1或a≤0. 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,二次函数的图象和性质等知识点,难度中档. 21.(12分)(2014•河北模拟)已知圆C的圆心为C(m,0),m<3,半径为,圆C与椭圆E:有一个公共点A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点. (1)求圆C的标准方程 (2)若点P的坐标为(4,4),试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切,若能,求出椭圆E和直线PF1的方程;若不能,请说明理由. 【考点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程. 【分析】(1)由已知可设圆C的方程为(x﹣m)2+y2=5(m<3),将点A的坐标代入圆C的方程,得(3﹣m)2+1=5.由此能求出圆C的方程. (2)直线PF1能与圆C相切,设直线PF1的方程为y=k(x﹣4)+4,若直线PF1与圆C相切,则.当时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,当时,直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4,由此能求出椭圆E的方程. 【解答】解:(1)由已知可设圆C的方程为(x﹣m)2+y2=5(m<3) 将点A的坐标代入圆C的方程,得(3﹣m)2+1=5 即(3﹣m)2=4,解得m=1,或m=5 ∵m<3∴m=1 ∴圆C的方程为(x﹣1)2+y2=5. (2)直线PF1能与圆C相切 依题意设直线PF1的方程为y=k(x﹣4)+4,即kx﹣y﹣4k+4=0 若直线PF1与圆C相切,则 ∴4k2﹣24k+11=0,解得 当时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去 当时,直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4, ∴c=4,F1(﹣4,0),F2(4,0) ∴由椭圆的定义得: ∴,即a2=18,∴b2=a2﹣c2=2 直线PF1能与圆C相切,直线PF1的方程为x﹣2y+4=0,椭圆E的方程为.(14分) 【点评】本题考查圆的方程和椭圆方程的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化. 22.(12分)(2014•东营二模)为了了解调研高一年级新学生的智力水平,某校按l 0%的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查,测得“智力评分”的频数分布表如表l,表2. 表1:男生“智力评分”频数分布表 智力评分 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190) 频数 2 5 14 13 4 2 表2:女生“智力评分”频数分布表 智力评分 [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) 频数 1 7 12 6 3 1 (Ⅰ)求高一的男生人数并完成如图所示的男生的频率分布直方图; (Ⅱ)估计该校学生“智力评分”在[165,180)之间的概率; (Ⅲ)从样本中“智力评分”在[180,190)的男生中任选2人,求至少有1人“智力评分”在[185,190)之间的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图画法即可解答; (Ⅱ)根据频率分布直方图查找到[165,180)之间人找到数,在利用概率公式即可求得; (Ⅲ)一一列举出所有满足条件的基本事件,找到至少有1人“智力评分”在[180,190)的基本事件,利用古典概型的概率公式求得. 【解答】解:(Ⅰ)样本中男生人数是40,由抽样比例是10%可得高一的男生人数是400, 男生的频率分布直方图如图所示 (Ⅱ)由表1和表2知,样本中“智力评分”在[165,180)中的人数是5+14+13+6+3+1=42,样本的容量是70, 所以样本中学生“智力评分”在[165,180)之间的频率, 由f估计学生“智力评分”在[165,180)之间的概率是P= (Ⅲ)样本中智力评分”在[ 180,185)之间的有4人,设其编号是1,2,3,4,样本中“智力评分”在[185,190)间的男生有2人, 设其编号为5,6,从中任取2人的结果总数是12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种, 至少有1人“智力评分”在[185,190)间的有9种, 因此所求概率是 【点评】本题主要考查了频率分布直方图,以及古典概型的概率的求法. 查看更多