数学卷·2017届上海市徐汇区高三下学期质量调研测试（二模）（2017

数学卷·2017届上海市徐汇区高三下学期质量调研测试（二模）（2017

‎2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学 2017.4‎ 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.‎ ‎1.设全集，集合，则 ．‎ ‎2.参数方程为（为参数）的曲线的焦点坐标为 ．‎ ‎3.已知复数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎4.设数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎5.若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则= ．‎ ‎6.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为 ．（结果用最简分数表示） ‎ ‎7.若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数的取值集合为 ．‎ ‎8.满足约束条件的目标函数的最小值是 ．‎ ‎9.已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎10.某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为 元.‎ ‎11.如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足.若 ‎，则的最小值为 .‎ ‎12.设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的置于也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”.已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.‎ ‎13.“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 ‎14.《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）‎ ‎（A）21斛 （B）34斛 （C）55斛 （D）63斛 ‎15.将函数的图象按向量平移，得到的函数图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和等于（ ）‎ ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎16.过椭圆右焦点的圆与圆外切，则该圆直径 的端点的轨迹是（ ）‎ ‎（A）一条射线 （B）两条射线 （C）双曲线的一支 （D）抛物线 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.‎ ‎17. 如图：在四棱锥中，平面，底面是正方形，.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求点、分别是棱和的中点，求证：平面.‎ ‎18. 已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19.如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，.（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）‎ ‎（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；‎ ‎（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米）‎ ‎20.如图：椭圆与双曲线有相同的焦点、‎ ‎，它们在轴右侧有两个交点、，满足.将直线左侧的椭圆部分（含，两点）记为曲线，直线右侧的双曲线部分（不含，两点）记为曲线.以为端点作一条射线，分别交于点，交于点（点在第一象限），设此时.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）证明：，并探索直线与斜率之间的关系；‎ ‎（3）设直线交于点，求的面积的取值范围.‎ ‎21. 现有正整数构成的数表如下：‎ 第一行：1‎ 第二行：1 2‎ 第三行：1 1 2 3‎ 第四行：1 1 2 1 1 2 3 4‎ 第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5‎ ‎…… …… ……‎ 第行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第行，最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.‎ 将按照上述方式写下的第个数记作（如）‎ ‎（1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和；‎ ‎（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和 的值；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）令，求的值.‎ ‎2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学 参考答案 一、填空题：（共54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分）‎ ‎1. 2. 3. 4.1 5.8 6.‎ ‎7. 8.-2 9. 10.8800 11.‎ ‎12.1‎ 二、选择题：（共20分，每题5分）‎ ‎13～16：AADC 三、解答题 ‎17.‎ 解：（1）以点为原点，以方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，‎ 所以，，，‎ 设，的夹角为，‎ 则，‎ 所以，，的夹角为，‎ 即异面直线与所成角的大小为.‎ ‎（2）因为点、分别是棱和的中点，‎ 可得，，所以，‎ 又，，‎ 计算可得，，‎ 所以，，，又，所以平面.‎ ‎18.解：（1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有，‎ 即，‎ 即，‎ 故.‎ ‎（2），且在上恒成立，‎ 故原不等式等价于在上恒成立，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 从而，‎ 因此，.‎ ‎19.解：（1）在中，由正弦定理，得，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 又，，‎ 故.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.‎ ‎（2）由得，且，‎ 由（1），可设，则，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 解得，‎ 即无人机到丙船的距离为米.‎ ‎20.解：（1）由条件，得，根据知，、、三点共线，‎ 且由椭圆与双曲线的对称性知，、关于轴对称，‎ 故所在直线为，从而得，.‎ 所以，，又因为为双曲线的焦点，所以，‎ 解得.‎ 因此，的方程为.‎ ‎（2）由，得，，‎ 由条件，得，即，‎ 由分别在曲线和上，有，‎ ‎，消去，得，‎ ‎（），‎ 将代入方程（），成立，因此（）有一根，结合韦达定理得另一根为 ‎，因为，所以，舍去.‎ 所以，.‎ 从而点坐标为.‎ 所以，直线的斜率，‎ 由，得.‎ 所以，直线的斜率.‎ 因此，与斜率之和为零.‎ ‎（3）由（2）知直线与关于轴对称，结合椭圆的对称性知点与点关于轴对称，故，‎ 因此，，‎ ‎，‎ 因为在上单调递增，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎21.解：（1）当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 于是，即，又，，‎ 所以，‎ 故.‎ ‎（2）由得第8行中共有个数，‎ 所以，第8行中的数超过73个，‎ ‎，‎ 从而，，‎ 由，，‎ 所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第个数，同上过程知，‎ 所以，.‎ ‎（3）由于数表的前行共有个数，于是，先计算.‎ 在前个数中，共有1个，2个，个，……，个，……，个1，‎ 因此，‎ 则，‎ 两式相减，得.‎