数学卷·2018届福建省漳州市长泰一中高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届福建省漳州市长泰一中高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年福建省漳州市长泰一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}‎ ‎2．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎3．在等差数列{an}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（　　）‎ A．15 B．33 C．51 D．63‎ ‎4．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣7‎ ‎5．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（　　）‎ A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定 ‎6．若a＞1，则的最小值是（　　）‎ A．2 B．a C．3 D．‎ ‎7．数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（　　）‎ A．11 B．99 C．120 D．121‎ ‎8．若，则线性目标函数z=x+2y的取值范围是（　　）‎ A．[2，5] B．[2，6] C．[3，5] D．[3，6]‎ ‎9．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（　　）‎ A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29‎ ‎10．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）‎ ‎11．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1＞0，S4=S8，则当Sn 取得最大值时，n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（　　）‎ A．[，2） B．[，2] C．[，1） D．[，1]‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　．‎ ‎14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是　　．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为　　．‎ ‎16．已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，共70分）‎ ‎17．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎18．在△ABC中，已知边c=10，又知，‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）求边a、b 的长．‎ ‎19．已知关于x、y的二元一次不等式组 ‎（1）求函数u=3x﹣y的最大值和最小值；‎ ‎（2）求函数d=（x﹣2）2+（y+2）2的最小值．‎ ‎20．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．‎ ‎（I）求sinA的值； ‎ ‎（II）设b=，求△ABC的面积．‎ ‎21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．‎ ‎（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；‎ ‎（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？‎ ‎22．已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c．数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？‎ ‎23．正项数列{an}的前n项和为Sn，且2=an+1．‎ ‎（1）试求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省漳州市长泰一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．‎ ‎【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，‎ 因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，‎ 可化为：或，‎ 解得：x＞4或x＜﹣1，‎ 则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，‎ 由正弦定理知=，‎ ‎∴b===4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．在等差数列{an}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（　　）‎ A．15 B．33 C．51 D．63‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5，代入化简可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，‎ ‎∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63‎ 故选D ‎　‎ ‎4．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣7‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及（3，1）和（4，6）在直线两侧，建立不等式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，‎ ‎∴两点对应坐标对应式子3x﹣2y+a的符号相反，‎ 即（9﹣2+a）（12﹣12+a）＜0，‎ 即a（a+7）＜0，‎ ‎∴﹣7＜a＜0，‎ 即实数a的取值范围是﹣7＜a＜0，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（　　）‎ A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定 ‎【考点】正弦定理的应用；解三角形．‎ ‎【分析】利用正弦定理和已知的两边，一角求得sinB的值大于1推断出sinB不符合题意，三角形无解．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知=‎ ‎∴sinB=•b=×4=＞1，不符合题意．‎ 故方程无解．‎ 故选A ‎　‎ ‎6．若a＞1，则的最小值是（　　）‎ A．2 B．a C．3 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】将变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得．‎ ‎【解答】解：因为a＞1，‎ 所以a﹣1＞0，‎ 所以=‎ 当且仅当即a=2时取“=”‎ 故选C ‎　‎ ‎7．数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（　　）‎ A．11 B．99 C．120 D．121‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】首先观察数列{an}的通项公式，数列通项公式分母可以有理化，把分母有理化后，把前n项和表示出来，进而解得n．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an==﹣，‎ ‎∵前n项和为10，‎ ‎∴a1+a2+…+an=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，‎ 解得n=120，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．若，则线性目标函数z=x+2y的取值范围是（　　）‎ A．[2，5] B．[2，6] C．[3，5] D．[3，6]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值与最小值即可．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示 因为直线z=x+2y过可行域内B（2，2）的时候z最大，最大值为6；‎ 过点C（2，0）的时候z最小，最小值为2．‎ 所以线性目标函数z=x+2y的取值范围是[2，6]．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（　　）‎ A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】易知当n为奇数时，an+an+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵当n为奇数时，‎ an+an+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，‎ ‎∴a1+a2+…+a20‎ ‎=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）‎ ‎=3×10=30；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：当m=0时，mx2﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；‎ 设y=mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0‎ 得到：解得﹣4＜m＜0．‎ 综上得到﹣4＜m≤0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1＞0，S4=S8，则当Sn取得最大值时，n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】设等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和的公式化简S4=S8，得到首项与公差的关系式，根据首项大于0得到公差d小于0，所以前n项和Sn是关于n的二次函数，由d小于0得到此二次函数为开口向下的抛物线，有最大值，则根据二次函数的对称性可知当n等于6时，Sn取得最大值．‎ ‎【解答】解：由S4=S8得：‎ ‎4a1+d=8a1+d，‎ 解得：a1=﹣d，又a1＞0，得到d＜0，‎ 所以Sn=na1+d=n2+（a1﹣）n，‎ 由d＜0，得到Sn是一个关于n的开口向下抛物线，且S4=S8，‎ 由二次函数的对称性可知，当n==6时，Sn取得最大值．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（　　）‎ A．[，2） B．[，2] C．[，1） D．[，1]‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），‎ ‎∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），‎ 即==f（1）=，‎ ‎∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，‎ ‎∴an=f（n）=（）n，‎ ‎∴Sn==1﹣（）n∈[，1）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（‎ b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理，知 由（b﹣c）cosA=acosC可得 ‎（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，‎ ‎∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA ‎=sin（A+C）=sinB，‎ ‎∴cosA=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是　510　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．‎ ‎【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，‎ ‎∴此人一共走了8次 ‎∵第n次走n米放2n颗石子 ‎∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28‎ ‎==2×255=510‎ 故答案为：510‎ ‎　‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为　9　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，‎ ‎∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．‎ 故+的最小值为9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】由累加法求出an=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．‎ ‎【解答】解：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n 所以 设f（n）=，令f′（n）=，‎ 则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，‎ 因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．‎ 又因为，，‎ 所以的最小值为 ‎　‎ 三、解答题（共7小题，共70分）‎ ‎17．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可．‎ ‎（Ⅱ）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（I）设{an}的公比为q 由已知得16=2q3，解得q=2‎ ‎∴=2n ‎（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32‎ 设{bn}的公差为d，则有 解得．‎ 从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28‎ 所以数列{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，已知边c=10，又知，‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）求边a、b 的长．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理可得，变形为sin2A=sin2B，结合a≠b，可求A+B=，即可判断△ABC的形状；‎ ‎（2）由已知等式及勾股定理可得a2+b2=102和，即可解得a，b的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵由已知可得，利用正弦定理可得=，‎ ‎∴可得，变形为sinAcosA=sinBcosB，‎ ‎∴sin2A=sin2B，‎ 又∵a≠b，‎ ‎∴2A=π﹣2B，‎ ‎∴A+B=．‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎（2）∵由勾股定理可得：a2+b2=102，‎ 又∵，‎ ‎∴解得a=6，b=8．‎ ‎　‎ ‎19．已知关于x、y的二元一次不等式组 ‎（1）求函数u=3x﹣y的最大值和最小值；‎ ‎（2）求函数d=（x﹣2）2+（y+2）2的最小值．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】（1）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得函数u=3x﹣y的最大值和最小值；‎ ‎（2）由d=（x﹣2）2+（y+2）2的几何意义，即动点（x，y）与定点（2，﹣2）之间的距离的平方，进一步转化为点到直线的距离的平方求解．‎ ‎【解答】解：（1）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 由u=3x﹣y，得y=3x﹣u，得到斜率为3，在y轴上的截距为﹣u，随u变化的一组平行线，‎ 由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距﹣u最大，即u最小，‎ 解方程组，得C（﹣2，3），‎ ‎∴umin=3×（﹣2）﹣3=﹣9．‎ 当直线经过可行域上的B点时，截距﹣u最小，即u最大，‎ 解方程组，得B（2，1），‎ ‎∴umax=3×2﹣1=5．‎ ‎∴u=3x﹣y的最大值是5，最小值是﹣9；‎ ‎（2）d表示动点（x，y）与定点（2，﹣2）之间的距离的平方，最小值为点（2，﹣2）到边界x﹣y=1的距离的平方．‎ 故．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．‎ ‎（I）求sinA的值； ‎ ‎（II）设b=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）由已知可求C﹣A=，结合三角形内角和定理可求A=﹣，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可求BC=的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（I）由sin（C﹣A）=1，可得：C﹣A=，且C+A=π﹣B，‎ ‎∴A=﹣，‎ ‎∴sinA=sin（﹣）=（cos﹣sin），‎ ‎∴sin2A=（1﹣sinB）=，又sinA＞0，‎ ‎∴sinA=．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得，可得：BC===3，‎ 又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，‎ ‎∴S△ABC=AC•BC•sinC==3．‎ ‎　‎ ‎21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．‎ ‎（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；‎ ‎（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；‎ ‎（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，‎ 每万件销售价为，‎ ‎∴年销售收入为=，‎ ‎∴年利润=．‎ ‎（2）令x+1=t（t≥1），则．‎ ‎∵t≥1，∴，即W≤42，‎ 当且仅当，即t=8时，W有最大值42，此时x=7．‎ 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．‎ ‎　‎ ‎22．已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c．数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）先根据点（1，）在f（x）=ax上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c求出数列{an}的公比和首项，得到数列{an}的通项公式；由数列{bn}的前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=可得到数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{}的通项公式，再由bn=Sn﹣Sn﹣1可确定{bn}的通项公式．‎ ‎（2）先表示出Tn再利用裂项法求得的表达式Tn，根据Tn＞求得n．‎ ‎【解答】解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c=c，‎ ‎∴a1=f（1）=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣‎ 数列{an}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．‎ ‎∴首项a1=f（1）=﹣c=‎ ‎∴等比数列{an}的通项公式为=．‎ ‎∵Sn﹣Sn﹣1==（n≥2）‎ 又bn＞0，＞0，∴=1；‎ ‎∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴=1+（n﹣1）×1=n ‎ ‎∴Sn=n2‎ ‎ 当n=1时，b1=S1=1，‎ 当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1‎ 又n=1时也适合上式，‎ ‎∴{bn}的通项公式bn=2n﹣1．‎ ‎（2）==‎ ‎∴‎ ‎==‎ 由，得，，‎ 故满足的最小正整数为112．‎ ‎　‎ ‎23．正项数列{an}的前n项和为Sn，且2=an+1．‎ ‎（1）试求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据求得a1，进而根据4Sn=（an+1）2和4Sn﹣1=（an﹣1+1）2（n≥2）两式相减整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，进而可得an﹣an﹣1=2判断出数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．‎ ‎（Ⅱ）把（1）中求得的an代入中，即可求得bn，进而可用裂项法进行求和，得Tn=根据使原式得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴a1=1．‎ ‎∵an＞0，，‎ ‎∴4Sn=（an+1）2．①‎ ‎∴4Sn﹣1=（an﹣1+1）2（n≥2）．②‎ ‎①﹣②，得4an=an2+2an﹣an﹣12﹣2an﹣1，‎ 即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，‎ 而an＞0，‎ ‎∴an﹣an﹣1=2（n≥2）．‎ 故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）．‎ Tn=b1+b2++bn==．‎ ‎　‎