- 2021-06-30 发布 |
- 37.5 KB |
- 20页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期月考数学试卷
南开中学滨海生态城学校2019-2020(下) 高二年级阶段性反馈数学试卷 一、单选题(每题5分,共15个小题) 1.已知a为函数的极小值点,则a=( ) A. 3 B. -2 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数进行求导,让导函数等于零,解方程,然后利用极小值点的定义进行验证即可. 【详解】. 当时,,因此函数单调递增,当时,,因此函数单调递减,当时,,因此函数单调递增,所以是函数的极小值点,故. 故选:A 【点睛】本题考查了求函数的极小值点,属于基础题. 2.下列导数运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的运算法则和常见函数的导数进行判断即可. 【详解】A:,故本选项运算不正确; B:,故本选项运算不正确; C:,故本选项运算正确; D:,故本选项运算不正确. 故选:C 【点睛】本题考查了导数的运算法则和常见函数的导数,属于基础题. 3.函数的图像如图所示,则函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 原函数先减再增,再减再增,且位于增区间内,因此选D. 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与轴的交点为,且图象在两侧附近连续分布于轴上下方,则为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数的正负,得出原函数的单调区间. 4.对任意的,函数存在极值点的充要条件是( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 对函数进行求导,让导函数等于零,方程一定有两个不等实根即可. 【详解】有两个不等实根,因此有 或. 故选:C 【点睛】本题考查了函数有极值的充要条件的判断,属于基础题. 5.若函数有唯一一个极值点,则实数a的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 分析】 函数有唯一一个极值点,则导函数有唯一大于0的变号零点,画出的图像,使得两个函数图像有唯一一个交点,并且交点的横坐标大于0,故,可求解. 【详解】函数有唯一一个极值点,则导函数有唯一的大于0的变号零点,,变形为 画出的图像 使得两个函数图像有唯一一个交点,并且交点的横坐标大于0,故,化简为 故答案为C. 【点睛】 这个题目考查了函数极值点的概念,以及已知函数零点个数求参数范围的问题,已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题. 6.设,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的定义,结合导数的运算法则进行求解即可. 【详解】因为,所以. 故选:D 【点睛】本题考查了导数的定义,考查导数的运算法则,属于基础题. 7.在曲线上切线倾斜角为的点是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设出曲线上的点,对函数进行求导,利用导数的几何意义,结合直线斜率与倾斜角之间的关系求解即可. 【详解】设曲线上一点的坐标为:,由. 由题意可知:,所以点的坐标为:. 故选:C 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查了直线倾斜角与斜率之间的关系,考查了数学运算能力. 8.函数的导数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故选A 9.设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且,则当时有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据选项中不等式的结构特征,结合已知的不等式特征,构造新函数,求导,最后利用新构造函数的单调性进行求解即可. 【详解】构造函数:,,所以函数定义在R上减函数,当时,有,f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的函数,所以有. 故选:D 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用函数单调性判断函数值之间的大小关系,考查了构造法,属于中档题. 10.已知函数,若有三个极值点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数进行求导,然后让导函数等于零,根据题意该方程有三个不等正实根,这样通过构造函数,利用单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为:.,显然方程必有一个根为,由题意可知:方程必有两个不等于1的正实根, ,令,当时,单调递增,当时,单调递减,故,因此有. 故选:A 【点睛】本题考查了已知函数的极值点的个数求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了常变量分离法,考查了数学运算能力. 11.若关于的方程有实数根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把方程进行常变量分离,构造新函数,求导,判断出函数单调性,再根据函数的正负性,画出函数图象,利用数形结合进行求解即可. 【详解】,当时,无实数解,不符合题意,故 . 于是有,令,显然当时,;当时,. ,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增, 因此当时,,函数的图象一致如下图所示: 因此要想有实数根,只需方程组:有交点,如上图,则有实数的取值范围是. 故选:D 【点睛】本题考查了方程有根求参数取值范围问题,考查了导数的应用,考查了数学运算能力和数形结合能力. 12.若函数在区间内是增函数,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ,再分类讨论和两种情况,再对满足条件的取并集即可. 【详解】 当时,恒成立,即在R上单调递增,满足条件. 当时, 解得,又在区间内是增函数,即 . 综上所述 故选: B 【点睛】此题考查定区间单调求参数取值范围题型,用到的方法为分类讨论,属于一般性题目. 13.函数上不单调的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出函数的导函数,再根据函数f(x)在(1,3)上不单调,得g(1)·g(3)<0且△≥0,从而可求a的取值范围. 【详解】 所以 令 因为函数上不单调 即在上由实数根 a=0时,显然不成立, a≠0时,只需 ,解得或 即a∈ 它的充分不必要条件即为一个子集 所以选A 【点睛】本题考查了导数的应用,函数的单调性与充分必要条件的综合,属于中档题. 14.若函数在区间上有最小值,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数进行求导,求出函数的单调区间,结合已知条件进行求解即可. 【详解】, 当时,单调递减,当时,单调递增, 当时,单调递减,因此函数的极小值为: 或 要想函数区间上有最小值,则有: . 故选:A 【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了数学运算能力. 15.直线与曲线相切也与曲线相切,则称直线为曲线和曲线的公切线,已知函数,其中,若曲线和曲线的公切线有两条,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设切点求出两个函数的切线方程,根据这个两个方程表示同一直线,可得方程组,化简方程组,可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式,求导,求出函数的单调性,结合该函数的正负性,画出图象图形,最后利用数形结合求出的取值范围. 【详解】设曲线的切点为:,,所以过该切点的切线斜率为,因此过该切点的切线方程为:; 设曲线的切点为:,,所以过该切点的切线斜率为,因此过该切点的切线方程为:,则两曲线的公切线应该满足:, 构造函数, 当时,单调递减,当时, 单调递增,所以函数有最大值为:,当时,,当,,函数的图象大致如下图所示: 要想有若曲线和曲线的公切线有两条,则的取值范围为. 故选:C 【点睛】本题考查了两个曲线的公切线的条数求参数问题,考查了导数的应用,考查了数学运算能力和数形结合思想. 二、填空题(每小题5分共10小题) 16.已知曲线的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为_______ 【答案】1 【解析】 【分析】 设出切点的横坐标,求函数的导数,根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设出切点的横坐标为,由. 故答案为:1 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了导数的运算法则,考查了数学运算能力. 17.已知函数,则过点可以作出________条图象的切线. 【答案】二 【解析】 【分析】 设出曲线的切点坐标,对函数求导,利用导数的几何意义,求出切线方程,把点坐标代入切线方程中,求出方程的根进行判断即可. 【详解】设切点的坐标为:,,因此切线方程为:,把的坐标代入切线方程中,化简得:或,所以过点可以作出二条的切线. 故答案为:二 【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题,考查了导数的几何意义,考查了数学运算能力. 18.函数 的定义域为 ,导函数 在内的图象如图所示,则函数在内有极小值点的个数为________. 【答案】1 【解析】 试题分析:因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正; 而由图得:满足导函数值左负右正的自变量只有一个; 故原函数的极小值点只有一个. 考点:利用导数研究函数的极值 19.函数,若对于区间[-2,2]上的任意,,都有,则实数的最小值是_______. 【答案】4 【解析】 【分析】 对函数进行求导,求出函数的单调性,求出函数在区间[-2,2] 上的最值,结合绝对值的性质求出的最大值,最后求出实数的最小值. 【详解】, 当时,单调递增,当时,单调递减, 当时,单调递增,因此函数的极小值为:,函数的极大值为,,所以函数在区间[-2,2]上的值域为:,因此对于区间[-2,2]上的任意,, ,因此实数的最小值是4. 故答案为:4 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围问题,考查了利用导数求闭区间上函数的最值,考查了绝对值的性质,考查了对任意性的理解,考查了数学运算能力. 20.设函数的导数为,且,则=______. 【答案】 【解析】 【分析】 对求导,可得,将代入上式即可求得:,即可求得,将代入即可得解 【详解】因为,所以. 所以,则, 所以 则, 故. 【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法,考查方程思想及计算能力,属于中档题. 21.函数的单调递减区间是_______. 【答案】 【解析】 函数的定义域为 ,且: , 求解不等式 可得函数的单调递减区间是 . 22.已知,若存在 ,, 使得成立,则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 试题分析:分两步求解,要使得成立,则有,利用导数研究其单调性求得最小值;要满足使得成立,应有,根据二次函数知识求出最大值,从而得到关于的不等式,求得其范围. 试题解析:,当时,函数递增;当时,函数递减,所以当时,取得极小值即最小值. 函数的最大值为,若,使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即. 考点:存在性量词与不等式的有解问题. 【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题,属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题,进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词,解答时,先把其中一个函数看成参数,研究另一个的最值,再来解决另一个的最值,从而得到要求参数的不等式,求得其范围. 23.已知函数,则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先判断函数奇偶性,再利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性,再利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】由题得f(-x)=, 所以函数f(x)是奇函数. 设x>0,则, 所以上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以函数f(x)是R上的增函数, 所以, 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定,考查函数的单调性的判定,考查函数的奇偶性和单调性的运用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 24.已知函数 在区间[1,2]上是单调函数,则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】 对函数进行求导,导函数在区间[1,2]上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】,由题意可知:或在区间[1,2]上恒成立. 当在区间[1,2]上恒成立时,, 当时,,因此有; 当在区间[1,2]上恒成立时,, 当时,,因此有, 综上所述:实数的取值范围是. 故答案为: 【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了数学运算能力. 25.设过曲线(为自然对数的底数)上任意一点处的切线为,总有过曲线上一点处的切线,使得,则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出的导函数的取值范围,然后根据题意,结合互相垂直的两直线的斜率关系,利用集合之间的关系,求出实数的取值范围. 【详解】,设切线的斜率为,则有,因此由, ,设切线的斜率为,则有, 因为,所以,因为曲线上任意一点处的切线为,总有过曲线上一点处的切线,使得,所以有: . 故答案为: 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率问题,考查了存在性的理解,考查了两直线互相垂直斜率之间的关系,考查了数学运算能力. 三、解答题(共25分) 26.已知函数为自然对数的底数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行,求的值; (2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (Ⅰ),由题设知,求得的值; (Ⅱ)若函数在内存在两个极值点,则方程 在内由两个不等实根,可列不等式组 ,即可求a的范围 【详解】解:(Ⅰ),由题设知,故 (Ⅱ)由题知,在内由两个不等实根, . 【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义,导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围. 27.已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)当时,函数在上的最小值为,若不等式有解,求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)求出导函数,然后根据的符号进行分类讨论,并借助解不等式组的方法得到单调区间;(2)根据(1)中的结论求出当时,函数在上的最小值,因此问题转化为有解,即有解,构造函数,求出函数的最小值即可得到所求. 【详解】(1)由, 得, ①当时, 令,得, 所以,或,即或, 解得或. 令,得, 所以或,即或, 解得或. 所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为. ②当时, 令,得,由①可知; 令,得,由①可知或. 所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,. 综上可得, 当时,的单调递增区间为,;单调递减区间为. 当时,的单调递增区间为;单调递减区间为,. (2)由(1)可知若,则当时,函数在上单调递减,在上单调递增, 所以, 所以不等式有解等价于有解, 即有解, 设,则, 所以当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 所以的极小值也是最小值,且最小值为, 从而, 所以实数的取值范围为. 【点睛】(1)求函数的单调区间时,若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时,需要对字母进行分类讨论,讨论时要选择合适的标准,同时分类时要做到不重不漏. (2)解答不等式有解的问题时,常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题,解题时要用到以下结论:在上有解;在上有解 .若函数的最值不存在,则可利用函数值域的端点值来代替.查看更多