天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期月考数学试卷

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天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期月考数学试卷

南开中学滨海生态城学校2019-2020(下)‎ 高二年级阶段性反馈数学试卷 一、单选题(每题5分,共15个小题)‎ ‎1.已知a为函数的极小值点,则a=( )‎ A. 3 B. -‎2 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,让导函数等于零,解方程,然后利用极小值点的定义进行验证即可.‎ ‎【详解】.‎ 当时,,因此函数单调递增,当时,,因此函数单调递减,当时,,因此函数单调递增,所以是函数的极小值点,故.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了求函数的极小值点,属于基础题.‎ ‎2.下列导数运算正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算法则和常见函数的导数进行判断即可.‎ ‎【详解】A:,故本选项运算不正确;‎ B:,故本选项运算不正确;‎ C:,故本选项运算正确;‎ D:,故本选项运算不正确.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了导数的运算法则和常见函数的导数,属于基础题.‎ ‎3.函数的图像如图所示,则函数的图像可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 原函数先减再增,再减再增,且位于增区间内,因此选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与轴的交点为,且图象在两侧附近连续分布于轴上下方,则为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数的正负,得出原函数的单调区间.‎ ‎4.对任意的,函数存在极值点的充要条件是( )‎ A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,让导函数等于零,方程一定有两个不等实根即可.‎ ‎【详解】有两个不等实根,因此有 或.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了函数有极值的充要条件的判断,属于基础题.‎ ‎5.若函数有唯一一个极值点,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 函数有唯一一个极值点,则导函数有唯一大于0的变号零点,画出的图像,使得两个函数图像有唯一一个交点,并且交点的横坐标大于0,故,可求解.‎ ‎【详解】函数有唯一一个极值点,则导函数有唯一的大于0的变号零点,,变形为 ‎ 画出的图像 使得两个函数图像有唯一一个交点,并且交点的横坐标大于0,故,化简为 ‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数极值点的概念,以及已知函数零点个数求参数范围的问题,已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.‎ ‎6.设,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义,结合导数的运算法则进行求解即可.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了导数的定义,考查导数的运算法则,属于基础题.‎ ‎7.在曲线上切线倾斜角为的点是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出曲线上的点,对函数进行求导,利用导数的几何意义,结合直线斜率与倾斜角之间的关系求解即可.‎ ‎【详解】设曲线上一点的坐标为:,由.‎ 由题意可知:,所以点的坐标为:.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查了直线倾斜角与斜率之间的关系,考查了数学运算能力.‎ ‎8.函数的导数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选A ‎9.设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且,则当时有( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据选项中不等式的结构特征,结合已知的不等式特征,构造新函数,求导,最后利用新构造函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】构造函数:,,所以函数定义在R上减函数,当时,有,f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的函数,所以有.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用函数单调性判断函数值之间的大小关系,考查了构造法,属于中档题.‎ ‎10.已知函数,若有三个极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,然后让导函数等于零,根据题意该方程有三个不等正实根,这样通过构造函数,利用单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】函数的定义域为:.,显然方程必有一个根为,由题意可知:方程必有两个不等于1的正实根,‎ ‎,令,当时,单调递增,当时,单调递减,故,因此有.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了已知函数的极值点的个数求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了常变量分离法,考查了数学运算能力.‎ ‎11.若关于的方程有实数根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程进行常变量分离,构造新函数,求导,判断出函数单调性,再根据函数的正负性,画出函数图象,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】,当时,无实数解,不符合题意,故 ‎.‎ 于是有,令,显然当时,;当时,.‎ ‎,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,‎ 因此当时,,函数的图象一致如下图所示:‎ 因此要想有实数根,只需方程组:有交点,如上图,则有实数的取值范围是.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了方程有根求参数取值范围问题,考查了导数的应用,考查了数学运算能力和数形结合能力.‎ ‎12.若函数在区间内是增函数,则实数 的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,再分类讨论和两种情况,再对满足条件的取并集即可.‎ ‎【详解】‎ 当时,恒成立,即在R上单调递增,满足条件.‎ 当时, 解得,又在区间内是增函数,即 .‎ 综上所述 故选: B ‎【点睛】此题考查定区间单调求参数取值范围题型,用到的方法为分类讨论,属于一般性题目.‎ ‎13.函数上不单调的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的导函数,再根据函数f(x)在(1,3)上不单调,得g(1)·g(3)<0且△≥0,从而可求a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 所以 ‎ 令 因为函数上不单调 即在上由实数根 a=0时,显然不成立,‎ a≠0时,只需 ,解得或 ‎ 即a∈‎ 它的充分不必要条件即为一个子集 所以选A ‎【点睛】本题考查了导数的应用,函数的单调性与充分必要条件的综合,属于中档题.‎ ‎14.若函数在区间上有最小值,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,求出函数的单调区间,结合已知条件进行求解即可.‎ ‎【详解】,‎ 当时,单调递减,当时,单调递增,‎ 当时,单调递减,因此函数的极小值为:‎ 或 要想函数区间上有最小值,则有:‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎15.直线与曲线相切也与曲线相切,则称直线为曲线和曲线的公切线,已知函数,其中,若曲线和曲线的公切线有两条,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点求出两个函数的切线方程,根据这个两个方程表示同一直线,可得方程组,化简方程组,可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式,求导,求出函数的单调性,结合该函数的正负性,画出图象图形,最后利用数形结合求出的取值范围.‎ ‎【详解】设曲线的切点为:,,所以过该切点的切线斜率为,因此过该切点的切线方程为:;‎ 设曲线的切点为:,,所以过该切点的切线斜率为,因此过该切点的切线方程为:,则两曲线的公切线应该满足:,‎ 构造函数,‎ 当时,单调递减,当时,‎ 单调递增,所以函数有最大值为:,当时,,当,,函数的图象大致如下图所示:‎ 要想有若曲线和曲线的公切线有两条,则的取值范围为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了两个曲线的公切线的条数求参数问题,考查了导数的应用,考查了数学运算能力和数形结合思想.‎ 二、填空题(每小题5分共10小题)‎ ‎16.已知曲线的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为_______‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点的横坐标,求函数的导数,根据导数的几何意义进行求解即可.‎ ‎【详解】设出切点的横坐标为,由.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了导数的运算法则,考查了数学运算能力.‎ ‎17.已知函数,则过点可以作出________条图象的切线.‎ ‎【答案】二 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出曲线的切点坐标,对函数求导,利用导数的几何意义,求出切线方程,把点坐标代入切线方程中,求出方程的根进行判断即可.‎ ‎【详解】设切点的坐标为:,,因此切线方程为:,把的坐标代入切线方程中,化简得:或,所以过点可以作出二条的切线.‎ 故答案为:二 ‎【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题,考查了导数的几何意义,考查了数学运算能力.‎ ‎18.函数 的定义域为 ,导函数 在内的图象如图所示,则函数在内有极小值点的个数为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正;‎ 而由图得:满足导函数值左负右正的自变量只有一个;‎ 故原函数的极小值点只有一个.‎ 考点:利用导数研究函数的极值 ‎19.函数,若对于区间[-2,2]上的任意,,都有,则实数的最小值是_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,求出函数的单调性,求出函数在区间[-2,2]‎ 上的最值,结合绝对值的性质求出的最大值,最后求出实数的最小值.‎ ‎【详解】,‎ 当时,单调递增,当时,单调递减,‎ 当时,单调递增,因此函数的极小值为:,函数的极大值为,,所以函数在区间[-2,2]上的值域为:,因此对于区间[-2,2]上的任意,,‎ ‎,因此实数的最小值是4.‎ 故答案为:4‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围问题,考查了利用导数求闭区间上函数的最值,考查了绝对值的性质,考查了对任意性的理解,考查了数学运算能力.‎ ‎20.设函数的导数为,且,则=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导,可得,将代入上式即可求得:,即可求得,将代入即可得解 ‎【详解】因为,所以.‎ 所以,则,‎ 所以 则,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法,考查方程思想及计算能力,属于中档题.‎ ‎21.函数的单调递减区间是_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 函数的定义域为 ,且: ,‎ 求解不等式 可得函数的单调递减区间是 .‎ ‎22.已知,若存在 ,, 使得成立,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:分两步求解,要使得成立,则有,利用导数研究其单调性求得最小值;要满足使得成立,应有,根据二次函数知识求出最大值,从而得到关于的不等式,求得其范围.‎ 试题解析:,当时,函数递增;当时,函数递减,所以当时,取得极小值即最小值. 函数的最大值为,若,使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即.‎ 考点:存在性量词与不等式的有解问题.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题,属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题,进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词,解答时,先把其中一个函数看成参数,研究另一个的最值,再来解决另一个的最值,从而得到要求参数的不等式,求得其范围.‎ ‎23.已知函数,则不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数奇偶性,再利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性,再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.‎ ‎【详解】由题得f(-x)=,‎ 所以函数f(x)是奇函数.‎ 设x>0,则,‎ 所以上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 所以函数f(x)是R上的增函数,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定,考查函数的单调性的判定,考查函数的奇偶性和单调性的运用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎24.已知函数 在区间[1,2]上是单调函数,则实数的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,导函数在区间[1,2]上恒非正或恒非负进行求解即可.‎ ‎【详解】,由题意可知:或在区间[1,2]上恒成立.‎ 当在区间[1,2]上恒成立时,,‎ 当时,,因此有;‎ 当在区间[1,2]上恒成立时,,‎ 当时,,因此有,‎ 综上所述:实数的取值范围是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎25.设过曲线(为自然对数的底数)上任意一点处的切线为,总有过曲线上一点处的切线,使得,则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导函数的取值范围,然后根据题意,结合互相垂直的两直线的斜率关系,利用集合之间的关系,求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】,设切线的斜率为,则有,因此由,‎ ‎,设切线的斜率为,则有,‎ 因为,所以,因为曲线上任意一点处的切线为,总有过曲线上一点处的切线,使得,所以有:‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率问题,考查了存在性的理解,考查了两直线互相垂直斜率之间的关系,考查了数学运算能力.‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎26.已知函数为自然对数的底数.‎ ‎(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求的值;‎ ‎(2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ),由题设知,求得的值;‎ ‎(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点,则方程 在内由两个不等实根,可列不等式组 ‎,即可求a的范围 ‎【详解】解:(Ⅰ),由题设知,故 ‎(Ⅱ)由题知,在内由两个不等实根,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义,导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.‎ ‎27.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,函数在上的最小值为,若不等式有解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导函数,然后根据的符号进行分类讨论,并借助解不等式组的方法得到单调区间;(2)根据(1)中的结论求出当时,函数在上的最小值,因此问题转化为有解,即有解,构造函数,求出函数的最小值即可得到所求.‎ ‎【详解】(1)由,‎ 得,‎ ‎①当时,‎ 令,得,‎ 所以,或,即或,‎ 解得或.‎ 令,得,‎ 所以或,即或,‎ 解得或.‎ 所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为.‎ ‎②当时,‎ 令,得,由①可知;‎ 令,得,由①可知或.‎ 所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,.‎ 综上可得,‎ 当时,的单调递增区间为,;单调递减区间为.‎ 当时,的单调递增区间为;单调递减区间为,.‎ ‎(2)由(1)可知若,则当时,函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,‎ 所以不等式有解等价于有解,‎ 即有解,‎ 设,则,‎ 所以当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增,‎ 所以的极小值也是最小值,且最小值为,‎ 从而,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】(1)求函数的单调区间时,若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时,需要对字母进行分类讨论,讨论时要选择合适的标准,同时分类时要做到不重不漏.‎ ‎(2)解答不等式有解的问题时,常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题,解题时要用到以下结论:在上有解;在上有解 ‎.若函数的最值不存在,则可利用函数值域的端点值来代替.‎
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