专题13-3 数系的扩充与复数的引入-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

专题13-3 数系的扩充与复数的引入-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 第十三章 算法初步、推理与证明、复数 专题3 数系的扩充与复数的引入（理科）‎ ‎【三年高考】‎ ‎1.【2016新课标1理】设其中,实数,则( )‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以故选B.‎ ‎2. 【2016高考新课标3理数】若，则（ ）‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎3. 【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.‎ ‎4. 【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，故填：.‎ ‎5.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，则，所以，，故答案为2．‎ ‎6. 【2015高考新课标2，理2】若为实数且，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，所以，解得，故选B．‎ ‎7.【2015高考湖北，理1】为虚数单位，的共轭复数为（ ）‎ ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以的共轭复数为，选A . ‎ ‎8. 【2015高考新课标1，理1】设复数z满足=，则|z|=( )‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，==，故|z|=1，故选A.‎ ‎9.【2015高考上海，理15】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎10. 【2014全国1高考理第2题】（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得．‎ ‎11. 【2014山东高考理第1题】已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，，即，所以选.‎ ‎12.【2014高考上海理科第11题】已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意或，因为，，，因此．‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势.‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出，复数问题在高考中年年必有,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一年的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主.故预测2017年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点.复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．　　‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大．‎ ‎【考点1】复数的有关概念 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.称为虚数单位,规定；‎ ‎2.形如()的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．‎ ‎3.共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为，那么与对应复平面上的点关于实轴对称，且，，，‎ 与共轭⇔(，)．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎2.复数是实数的条件：①；②；③.‎ ‎3.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.‎ ‎4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年安庆市高三二模】 已知复数满足,则的共轭复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知.∴,虚部为1,故选D.‎ ‎2. 【2016届河北省石家庄市高三二模】设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点2】复数相等，复数的几何意义 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.复数的相等设复数，那么的充要条件是：．特别.‎ ‎2.复数的模：向量的模叫做复数 ()的模，记作或，即.‎ ‎3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.‎ 复数的几何表示：复数 ()可用平面直角坐标系内点来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集与复平面上全体点集是一一对应的．‎ 复数的几何意义 ‎（1）复数复平面内的点().‎ ‎（2）复数 ().‎ ‎4.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：‎ ‎（1）是正常数）轨迹是一个圆.‎ ‎（2）是复常数）轨迹是一条直线.‎ ‎（3）是复常数，是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.‎ ‎（4）是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点及向量相互联系，即 () ‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”． ‎ ‎3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数 ()，由它的实部与虚部唯一确定，故复数与点相对应.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】若纯虚数满足，则实数等于（ ）‎ A． B.或 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，因为为纯虚数，所以有且，则且，故本题的正确选项为D.‎ ‎2. 【2016届福建厦门外国语学校高三5月适应性】复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】因，故在第一象限，应选A。‎ ‎【考点3】复数的运算 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设,,则 ‎①加法：；‎ ‎②减法：；‎ ‎③乘法：；‎ ‎④除法：‎ ‎2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.‎ ‎3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有：， ， ；‎ ‎4.复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数对应的向量共线且同向（反向）时取等号.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 几个重要的结论：‎ ‎ ⑴；⑵；⑶若为虚数,则.‎ ‎2. 常用计算结论：‎ ‎⑴；⑵,；⑶；‎ ‎⑷；，，，.‎ ‎3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.‎ ‎5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届山西四校高三联考】 在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ ）‎ A．　　 B．　　 　 C．　　 　 D．‎ ‎【答案】B ‎2. 【2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测】复数的实部与虚部之和为（ ）‎ A．-3 B．4 C．3 D． -11‎ ‎【答案】D ‎【解析】，∴复数的实部和虚部是。故选D。‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎2.复数是实数的条件：①；②；③.‎ ‎3.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.‎ ‎4. 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点及向量相互联系，即 () ；‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎1. 【2016年江西省九江市三模】复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】，对应点为（1,－1），在第四象限，故选D.‎ ‎2. 【2016年南昌高三一模】【来.源：全,品…中&高*考*网】设复数z1，z2‎ 在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=‎ ‎(A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i ‎ 【答案】B ‎【解析】由题意，得，，则；故选B．‎ ‎3. 【2016年湖北华师一附中高三模考】若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为( )‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎【答案】A ‎4. 【2016年湖南师大高三二模】已知复数z满足·z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则|z|为（ ）‎ A．2 B. C．2(＋1) D．2(－1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，所以.故正确选项为B.‎ ‎5. 【2016年江西师大高三二模】若纯虚数满足，则实数等于（ ）‎ A． B．或 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，因为为纯虚数，所以有且，则且，故本题的正确选项为D.‎ ‎ 6. 【2016年淮北一中高三模考】复数，则等于（ ）‎ A．3 B． C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，所以，故选B．‎ ‎ 7. 【2016年湖北四校高三四次联考】已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由复数为纯虚数，，解得，所以，故选D.‎ ‎ 8. 【2016年河南商丘高三模考】设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,且,所以,,,故选D.‎ ‎ 9. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如果复数是纯虚数，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为是纯虚数，所以，因此 ‎ 10. 【2016年河南八市高三联考】若复数的实部与虚部互为相反数，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎11.【2016届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟】若，其中，是虚数单位，则等于（ ）‎ A．0 B．2 C． D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∴，∴，∴．‎ ‎12.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考】已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为（ ） ‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可求得，所以，故选D．‎ ‎13.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴．‎ ‎14.【2016届山东省实验中学高三上学期第一次诊断】在复平面内，复数对应的点到直线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎15.【2015届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】已知是复数的共轭复数，，则复数在复平面内对应的点的轨迹是（ ）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【答案】A ‎【解析】设，则由得，因此复数在复平面内对应的点的轨迹是圆 ，选A．‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1.若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得，则，在复平面内对应的点坐标为，在第二象限，故选B．‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数复数的几何意义、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本题考查知识基础，故选此题.‎ ‎2.已知复数、在复平面内对应的点分别为、，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，，.‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数的几何意义、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力.本题利用复平面的点与复数关系命题,立意新，故选此题.‎ ‎3.已知是虚数单位，若（），则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，，，则，故选Ｃ．‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数的概念、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力.本题利用复数相等,求出参数值,利用常见结论,构思巧，故选此题.‎ ‎4.若复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（　 ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎【答案】A.‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,共轭复数的概念及复数的几何意义等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 本题考查知识基础，试题难度不大，有一定的综合性，故选此题.‎ ‎5.已知复数z的共轭复数为，且满足，其中是虚数单位，则复数z的虚部为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题知===，所以z=,其虚部为，故选D.‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,复数的概念,共轭复数的概念等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 本题考查知识基础，试题难度不大，故选此题.‎ ‎6.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，.设复数，若为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题中图可知，，所以，，则，，由于为纯虚数，所以，故选B.‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,复数的概念,向量与复数之间关系等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 本题考查知识基础，出题形式新颖,构思巧，故选此题.‎ ‎7.若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,复数的模及复数的几何意义等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 本题考查知识基础，试题难度不大，有一定的综合性，故选此题.‎ ‎8.在复平面内复数的模为，则复数在复平面上对应的点在（ ）‎ A．第一象限　　　B．第二象限　　　C．第三象限　　　D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】＝，则由，解得．而，则，所以，，其在复平面上对应点为，在第三象限，故选C．‎ ‎【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,复数的模及复数的几何意义等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本小题把复数的运算与几何意义综合考查，体现小题综合化思想，故选此题.‎