新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训二三角恒等变换与解三角形

新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训二三角恒等变换与解三角形

小题考法专训（二） 三角恒等变换与解三角形 A级——保分小题落实练 一、选择题 ‎1．(2019·昆明诊断)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选A　由题意，得sin α＝，cos α＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝.故选A.‎ ‎2．已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选C　由题意，得2cos2α＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)，故选C.‎ ‎3．已知sin＝，且θ∈，则cos＝(　　)‎ A．0 B． C．1 D． 解析：选C　由sin＝，且θ∈，得θ＝，所以cos＝cos 0＝1，故选C.‎ ‎4．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．－ D． 解析：选A　∵cos＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴‎ - 8 -‎ tan＝＝－3，故选A.‎ ‎5．已知f(x)＝tan x＋，则f的值为(　　)‎ A．2 B． C．2 D．4‎ 解析：选D　因为f(x)＝tan x＋＝＋＝＝，所以f＝＝4，故选D.‎ ‎6．已知α∈，若sin 2α＝，则cos α＝(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 解析：选D　因为sin 2α＝2sin αcos α＝，sin2 α＋cos2α＝1，所以25cos4α－25cos2α＋4＝0，解得cos2α＝或cos2α＝(舍去)，故cos α＝.‎ ‎7．若角α满足＝5，则＝(　　)‎ A. B． C．5或 D．5‎ 解析：选D　因为tan ＝＝＝，所以＝5.故选D.‎ ‎8．(2020届高三·湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 解析：选C　由题意，利用正弦定理可得‎6a＝4b＝‎3c，‎ 则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，‎ 则cos C＝＜0，所以C是钝角，‎ 所以△ABC是钝角三角形．‎ - 8 -‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B　因为△ABC中，A－B＝，‎ 所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，‎ 因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，‎ 所以cos B＝sin B，所以tan B＝，‎ 因为B∈(0，π)，所以B＝，‎ 所以C＝π－－＝，故选B.‎ ‎10．(2019·济南模拟)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B．5‎ C．10 D． 解析：选A　由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－‎2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝＝，故S△ABC＝×5××＝.故选A.‎ ‎11．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则sin β＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B　因为sin α＝，α为锐角，所以cos α＝.‎ 因为0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜.‎ 又因为sin(α－β)＝＞0，‎ - 8 -‎ 所以0＜α－β＜，所以cos(α－β)＝，‎ 所以sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ ‎12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝‎2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)‎ A．10 B．12‎ C．8＋ D．8＋2 解析：选B　因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝‎2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2sin Acos B，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为等边三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.‎ 二、填空题 ‎13．(2019·安徽五校联考)若α是锐角，且cos＝，则cos＝________.‎ 解析：因为0＜α＜，所以＜α＋＜，‎ 又cos＝，所以sin＝，‎ 则cos＝sin α＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝×－×＝.‎ 答案： ‎14．△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.‎ 解析：在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.‎ 答案：3‎ - 8 -‎ ‎15．在△ABC中，已知AC＝6，BC＝8，cos(∠A－∠B)＝，则sin(∠B－∠C)＝________.‎ 解析：如图，作∠BAD＝∠B，则AD＝DB，cos∠DAC＝cos(∠A－∠B)＝，设AD＝DB＝x，则DC＝8－x，在△ADC中，由余弦定理可得(8－x)2＝x2＋62－2×6×x×，解得x＝4，所以AD＝BD＝DC＝4，所以∠BAC＝90°，所以sin∠B＝，所以sin(∠B－∠C)＝sin(2∠B－90°)＝－cos 2∠B＝2sin2∠B－1＝.‎ 答案： ‎16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．‎ 解析：因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝‎2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2×＝.‎ 答案： B级——拔高小题提能练 ‎1．若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin A－sin C＋cos(A－C)＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B． C.或3 D．或 解析：选C　由题意知A＋C＝2B，解得A＋C＝，‎ B＝，所以C＝－A.‎ 因为sin A－sin C＋cos(A－C)＝，‎ 所以sin A－cos A＋＝，‎ 整理得sin·＝0，‎ - 8 -‎ 则sin＝0或1－sin＝0.‎ 又因为A∈，解得A＝或.‎ ‎①当A＝时，S△ABC＝acsin B＝×4sin ×4sin ×sin ＝3；‎ ‎②当A＝时，S△ABC＝acsin B＝×4sin ×4sin ×sin ＝，故选C.‎ ‎2．[多选题]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　)‎ A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C B．若A＞B＞C，则sin A＞sin B＞sin C C．acos B＋bcos A＝c D．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形 解析：选ABC　对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确；对于B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故B正确；对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C正确；对于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cos C＝＞0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，故A或B可能为钝角，故D错误．故选ABC.‎ ‎3.某小区拟将如图的一直角三角形ABC区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB＝‎20 m，AC＝‎10 m，则△DEF区域面积(单位：m2)的最小值为(　　)‎ A．25 B． C. D． 解析：选D　根据题意知在Rt△ABC中，∠B＝，设∠DEC＝θ，DE＝a，‎ 则CE＝acos θ，∠FEB＝π－＝－θ，‎ 所以∠EFB＝π－＝＋θ，‎ 在△BFE中，＝，‎ - 8 -‎ 所以EB＝＝2asin，‎ 所以BC＝CE＋EB＝acos θ＋2asin＝10，‎ 所以a＝＝＝≥，‎ 所以△DEF的面积S＝a2sin＝a2≥×2＝×＝.‎ ‎4．在△ABC中，B＝，AC＝，D为BC中点，E为AB中点，则AE＋BD的取值范围为________．‎ 解析：在△ABC中，设C＝θ，‎ 则A＝－θ，且θ∈.‎ 由正弦定理＝＝，‎ 得AB＝2sin θ，BC＝2sin，‎ 所以AE＋BD＝AB＋BC ‎＝sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＋sin θ ‎＝sin θ＋cos θ＝sin.‎ 又θ∈，则θ＋∈，‎ 所以sin∈，‎ 所以sin∈，‎ 即AE＋BD的取值范围是.‎ 答案： ‎5．在△ABC中，BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC - 8 -‎ ‎＝________，△ABD的面积为________．‎ 解析：∵BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，‎ ‎∴在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝＝，‎ 解得cos∠B＝，可得sin∠B＝，‎ ‎∴cos∠BAC＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－，‎ sin∠BAC＝ ＝.‎ ‎∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin＝－cos∠BAC＝，可得cos∠BAD＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理可得，‎ AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，‎ ‎∴32＝AB2＋(2)2－2AB·2×，‎ 解得AB＝1或3.‎ 当AB＝AC＝3时，由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝∠BAC＝，∴BC＝＝3，与BC＝2矛盾，∴AB＝1.‎ 在△ABD中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴AD＝＝，‎ ‎∴S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×1××＝.‎ 答案：　 - 8 -‎