数学文卷·2018届湖南省师大附中高三上学期月考（四）（2017
湖南师大附中2018届高三月考试卷(四)
数 学(文科)
命题人、审题人：彭萍 苏萍 曾克平
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)已知集合A＝，则满足A∩B＝B的集合B可以是(C)
(A) (B){x|－1≤x≤1}
(C) (D){x|x＞0}
【解析】∵x2＋1≥1，∴0＜y＝≤＝，∴A＝.则满足A∩B＝B的集合B⊆A，故B可以是.故选C.
(2)已知α∈，cos＝－， 则tan等于(A)
(A) (B)7 (C)－ (D)－7
【解析】因为α∈，sin α＝，则tan α＝－，∴tan＝＝，故选A.
(3)已知a>0，b>0，ab＝8, 当2a·4b取得最小值时a的值为(D)
(A)2 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】2a·4b＝2a＋2b≥22＝28，当且仅当a＝2b时取等号，结合a>0，b>0，ab＝8，可得a＝4，b＝2.
(4)已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的(C)
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【解析】根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件；②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β＝b时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选C.
(5)Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6等于(D)
(A)4 (B)4 (C)－4 (D)±4
【解析】在等差数列{an}中，S9＝＝9a5＝－36，S13＝＝13a7＝－104，∴b5＝－4，b7＝－8，∴b＝b5b7＝32，b6＝±4.
(6)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝2，sin 2A＝sin B，则c边的长为(D)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)2或4
【解析】由sin 2A＝sin B得2sin Acos A＝sin B，由正弦定理知，2×4cos A＝2，cos A＝，再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2或4.
(7)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax＋2y＋2a＝0，其中实数a∈[－1，5]．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为(A)
(A) (B) (C) (D)
【解析】设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则a≠－1.联立方程组解得x＝，y＝， ∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x＝>0，y＝>0，解得－1
0)必有两不等正实根，即方程x2＋2mx＋2＝0必有，解得m<－.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
某年级教师年龄数据如下表：
年龄(岁)
人数(人)
22
1
28
2
29
3
30
5
31
4
32
3
40
2
合计
20
(Ⅰ)求这20名教师年龄的众数与极差；
(Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；
(Ⅲ)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．
【解析】(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.3分
(Ⅱ)7分
(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.12分
(18)(本小题满分12分)
在几何体ABCDE中，∠BAC＝，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC, AB＝AC＝2，且AE与平面ABC所成角为，CD＝1.
(Ⅰ)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，
求证：l∥平面BCDE；
(Ⅱ)设F是BC上的点，且DF⊥EF，求证：平面AFD⊥平面AFE；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求三棱锥E－FDA的体积．
【解析】(Ⅰ)∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
l＝平面ABE∩平面ACD，则DC∥l，
又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE，
所以l∥平面BCDE. 5分
(Ⅱ)设CF＝x，在△DEF中，因为FD⊥FE，所以DF2＋EF2＝DE2，
即：1＋x2＋(2－x)2＋22＝(2)2＋1 得x＝，所以F为BC的中点．
由DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB＝AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC＝C，DC⊂平面BCDE ，BC⊂平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE＝F，∴FD⊥平面AFE，
又FD⊂平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.9分
(Ⅲ)VE－FDA＝VA－EFD＝·S△EFD·AF＝××××＝1.12分
(19)(本小题满分12分)
f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.
(Ⅰ)求f和f＋f的值；
(Ⅱ)数列{an}满足：an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
(Ⅲ)令bn＝，Tn＝b＋b＋…＋b，证明Tn<2.
【解析】(Ⅰ)因为f＋f＝，所以2f＝，所以f＝.
令x＝，则f＋f＝f＋f＝.2分
(Ⅱ)an＝f(0)＋f＋…f＋f(1)，
又 an＝f(1)＋f＋…f＋f(0)，
两式相加2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋[f(0)＋f(1)]＝，
所以an＝，所以an＋1－an＝，故数列{an}是等差数列.8分
(Ⅲ) bn＝＝，
Tn＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋≤1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－<2.12分
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设F1、F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值．
(20)【解析】(Ⅰ)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，
∴依题意解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆C的方程为：＋＝1.4分
(Ⅱ)设过椭圆右焦点F2的直线l：x＝ty＋1与椭圆交于A，B两点，
则整理，得：(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
由韦达定理，得：y1＋y2＝，y1y2＝，6分
∴|y1－y2|＝＝＝，
∴S△OAB＝S△OF2A＋S△OF2B＝×|OF2|×|y1－y2|＝，
椭圆C的内接平行四边形面积为S＝4S△OAB＝，10分
令m＝≥1，则S＝f(m)＝，
注意到S＝f(m)在[1，＋∞)上单调递减，∴Smax＝f(1)＝6，
当且仅当m＝1，即t＝0时等号成立．
故这个平行四边形面积的最大值为6.12分
(21)(本小题满分12分)
已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(Ⅰ)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
(Ⅱ)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．
【解析】(Ⅰ)f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1
当x∈，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈，f′(x)＞0，f(x)单调递增.2分
①0＜t＜时，f(x)min＝f＝－；
②≤t时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tln t;
∴f(x)min＝4分
(Ⅱ)2f(x)≥g(x)恒成立，
∴a≤x＋＋2ln x恒成立，
令h(x)＝x＋2ln x＋，
则h′(x)＝1＋－＝，6分
由h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
x∈(0，1)时，h′(x)＜0；
x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0.
∴x＝1时，h(x)min＝1＋0＋3＝4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是(－∞，4].8分
(Ⅲ)对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立，
∴xln x＞－，∴f(x)＞－，
由(Ⅰ)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到.10分
设m(x)＝－，(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，
∵x∈(0，1)时，m′(x)＞0，
x∈(1，＋∞)时，m′(x)＜0，
∴m(x)max＝m(1)＝－，
从而对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－成立.12分
【点评】考查了利用导函数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，根据单调性对参数的分类讨论求函数的最值．分类讨论思想的应用．
请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．
(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．
【解析】(Ⅰ)∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ，
∴x2＋y2＝4x，∴(x－2)2＋y2＝4.5分
(Ⅱ)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：
(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，
化简得t2－2tcos α－3＝0.8分
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝，
∵|AB|＝，∴＝.
∴cos α＝±.
∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝π.
∴直线的倾斜角为α＝或α＝π.10分
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.
(Ⅰ)若ab≤m恒成立，求m的取值范围；
(Ⅱ)若 ＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，求x的取值范围．
【解析】(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，
∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，
由ab≤m恒成立，故m≥；5分
(Ⅱ)∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，
故＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，
则|2x－1|－|x＋2|≤9，8分
当x≤－2时，不等式化为1－2x＋x＋2≤9，解得－6≤x≤－2，
当－2＜x＜，不等式化为1－2x－x－2≤9，解得－2＜x＜，
当x≥时，不等式化为2x－1－x－2≤9，解得≤x≤12，
综上所述x的取值范围为[－6，12].10分
