数学（理）卷·2018届湖北省荆州中学高三第八次周考（2018

数学（理）卷·2018届湖北省荆州中学高三第八次周考（2018

荆州中学高三年级第八次周练试题 理科数学 第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，集合，集合，那么（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知均为第一象限的角，那么是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．设某中学的高中女生体重(单位：)与身高(单位：)具有线性相关关系，根据一组样本数据 (，…，)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，‎ 则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 与具有正线性相关关系 B. 回归直线过样本的中心点 ‎ C. 若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加 D.若该中学某高中女生身高为，则可断定其体重必为 ‎5．若圆锥曲线的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知函数的周期为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于 两点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，‎ 甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个 手上的钱各分我一半，我手上就有钱）;乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七十;丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为），‎ 则这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．抛物线的焦点为，设是抛物线上的 两个动点，若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．定义在上的偶函数满足，且当时，，‎ 若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．已知菱形的边长为， , 则 ．‎ ‎14．已知函数，若，则 ．‎ ‎15．如图，直角梯形中，，，，‎ 若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．‎ ‎16．已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个 等差数列后三项和的最大值为 ．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．(本小题满分12分)已知△的内角,,的对边分别为，，，若，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若, 求.‎ ‎18．(本小题满分12分)设是数列的前项之积，满足 ‎（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前2000项和.‎ ‎19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰 梯形，，，，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值．‎ ‎20．(本小题满分12分) 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为，点，为线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点且斜率不为的直线与椭圆的交于两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底．‎ ‎（Ⅰ）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，‎ ‎）．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程 为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知曲线与曲线交于、两点，且，求实数的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若不等式有解,求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的最小值为,求实数的值．‎ 理科数学参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C D D C B B D B A D A ‎13．6; 14. 0; 15. ; 16. ‎ ‎17. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得,即. ……2分 ‎ 所以. …………………………………………4分 ‎ 由于, 所以. …………………………………………6分 ‎（Ⅱ） 由及, 得, ……………………7分 ‎ 解得或(舍去). …………………………………………9分 ‎ 由正弦定理得, …………………………………………10分 ‎ 得. ………………………………………12分 ‎18.【解析】 （Ⅰ）. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）， …………………………………………6分 ‎ 当时, ; …………………………………………7分 当时, ; …………………………………………8分 ‎ 当时, ; …………………………………………9分 当时, . ………………………………………10分 所以数列的前2000项和为. ……12分 ‎ ‎19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形中，过点作于点，‎ 如图所示：有 ‎∴在中，有，即 又因为平面平面且交线为，∴平面.---5分 ‎（Ⅱ） 由平面平面，且为正三角形,为的中点，‎ ‎∴，得平面．‎ 如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 由条件，则，，．‎ 则，，，．------- 6分 在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点如图所示：‎ 则在中，有，，∴．------- 7分 ‎（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）‎ ‎∴，，设平面的法向量 则 ，取，则，，‎ ‎∴面的法向量．------- 9分 同理有，，设平面的法向量 则 ，‎ 取，则，，∴面的法向量．--10分 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ ‎∴．‎ 即平面与平面所成二面角的余弦值为．------- 12分 ‎20.【解析】（Ⅰ）设点，由题意可知：，即 ①‎ 又因为椭圆的离心率，即 ②‎ 联立方程①②可得：，则 所以椭圆的方程为．------- 5分 ‎（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上．‎ 假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，‎ 则联立直线和直线可得点 据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明： ------- 7分 设，联立方程可得：‎ 由韦达定理可得， （）------- 9分 因为直线，，‎ 联立两直线方程得（其中为点的横坐标）即证：，‎ 即，即证 ------- 11分 将（）代入上式可得 此式明显成立，原命题得证．所以点在定直线上上．------- 12分 ‎21.【解析】（Ⅰ），‎ 依题意：当时，函数恒成立，即恒成立，‎ 记，则，‎ 所以在上单调递减，所以，所以；--- 5分 ‎（Ⅱ）因为，所以是上的增函数，‎ 又， ，所以存在使得 且当时，当时，所以的取值范围是．------- 7分 又当，，当时，，‎ 所以当时，．且有 ‎(由（Ⅰ）知,在上单调递减，又, ‎ 且,故)‎ ‎∴,------- 10分 记，则，‎ 所以，即最小值的取值范围是．------- 12分 ‎22.【解析】（Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，------- 2分 由曲线的极坐标方程为,∴‎ ‎∴,即曲线的直角坐标方程.------- 5分 ‎（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得 要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有 根据参数方程的几何意义可知，‎ 又由可得，即或 ------- 7分 ‎∴当时，有，符合题意．------- 8分 当时，有，符合题意．------- 9分 综上所述，实数的值为或．------- 10分 ‎23.【解析】（Ⅰ）由题，即为．‎ 而由绝对值的几何意义知，------- 2分 由不等式有解，∴，即．‎ 实数的取值范围．------- 5分 ‎（Ⅱ）函数的零点为和，当时知 ‎ ------- 7分 如图可知在单调递减，在单调递增，‎ ‎，得（合题意），即．------- 10分