专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较 强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、 转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题 效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作 用． 【方法点评】 方法一 定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作 常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时 参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定 的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明． 【例 1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆 过点 ，直线 交 轴于 ，且 为坐标原点． （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 上的顶点，过点 分别作出直线 交椭圆于 两点，设这两 条直线的斜率 分别为 ，且 ，证明：直线 过定点． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 考点：直线与圆锥曲线位置关系． 【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲 线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直 线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的 方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关 系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆 锥曲线的定义求解． 【变式演练 1】【2018 贵州省遵义市模拟】已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2=8 上任意一点， 点 F2与点 F1关于原点对称，线段 PF2的垂直平分线分别与 PF1，PF2交于 M，N 两点． （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）过点 G（0， ）的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A，B两点，在 y轴上是否存在定点 Q， 使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由圆 F1：（x﹣1）2+y2=8，得 F1（1，0），则 F2（﹣1，0）， 由题意得 ， ∴点M的轨迹 C为以 F1，F2为焦点的椭圆， ∵ ∴点M的轨迹 C的方程为 ； 方法二 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的 斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而 始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【例 2】已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点. （1）求抛物线 的方程； （2）已知点 的坐标为（-3,0），记直线 、 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值. 【答案】（1） ；（2）详见解析 考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系. 【变式演练 2】【2018 河南郑州市第一中学模拟】设 ， 是椭圆 上的两点，椭圆的离心率为 ，短轴长为 2，已知向量 ， ，且 ， 为坐标原点. （1）若直线 过椭圆的焦点 ，（ 为半焦距），求直线 的斜率 的值； （2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）由题可得： ， ，所以，椭圆的方程为 设 的方程为： ，代入 得： ∴ ， ， ∵ ，∴ ，即： 即 ，解得： 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题 技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两 种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直 接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去 变量，从而得到定值. 【高考再现】 1. 【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1）， P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 –1，证明：l 过定点. 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方 法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之 间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一 定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据 题设关系进行化简. 2．【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy中，曲线 与 x轴交 于 A，B两点，点 C的坐标为 .当 m变化时，解答下列问题： （1）能否出现 AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过 A，B，C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）设 ，由 AC⊥BC 得 ；由韦达定理得 ，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为 ,因为过 ， 所以 ，令 得 ，即弦长为 3. 试题解析：（1）设 ，则 是方程 的根， 所以 ， 则 ， 所以不会能否出现 AC⊥BC 的情况。 【考点】圆一般方程，圆弦长 【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代 数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心 到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 3.【2017 北京，文 19】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(−2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离 心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的 垂线交 BN 于点 E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. （Ⅱ）设 ，则 . 由题设知 ，且 . 直线 的斜率 ，故直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 . 直线 的方程为 . 联立 解得点 的纵坐标 . 由点 在椭圆 上，得 . 所以 . 又 ， ， 所以 与 的面积之比为 . 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系. 4.【2016 高考北京文数】（本小题 14 分） 已知椭圆 C： 过点 A（2,0），B（0,1）两点. （I）求椭圆 C 的方程及离心率； （Ⅱ）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交 于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值. 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）见解析. 【解析】 考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再 证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变 量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方 法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 5. 【2016 高考山东文数】(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: （a>b>0）的长轴长为 4，焦距为 2 . （I）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k'，证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 . 【解析】 此时 ，所以 为定值 . 所以直线 AB 的斜率的最小值为 . 考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用 的关 系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程 组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式 子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、 分析问题解决问题的能力等. 6. 【2016 高考四川文科】（本小题满分 13 分） 已知椭圆 E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点， 点 在椭圆 E上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M， 直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明详见解析. 【解析】 所以 . 又 . 所以 . 考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力 和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 ，再把 用 表示出来，并代入刚才的 ，这种方法是解析几何中的“设而 不求”法．可减少计算量，简化解题过程． 7. 【2016 年高考北京理数】（本小题 14 分） 已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 的椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 M，直线 PB 与 轴交于点 N. 求证： 为定值. 【答案】（1） ；（2）详见解析. 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再 证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变 量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方 法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 8. 【2016 年高考四川理数】（本小题满分 13 分） 已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶 点，直线 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （Ⅰ）求椭圆 E的方程及点 T 的坐标； （Ⅱ）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交 于点 P．证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值. 【答案】（Ⅰ） ，点 T 坐标为（2,1）；（Ⅱ） . （II）由已知可设直线 的方程为 ， 有方程组 可得 所以 P 点坐标为（ ）， . 考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力 和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 ，再把 用 表示出来，并代入刚才的 ，这种方法是解析几何中的“设而 不求”法．可减少计算量，简化解题过程． 9.【2017 北京，文 19】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(−2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离 心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的 垂线交 BN 于点 E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. （Ⅱ）设 ，则 . 由题设知 ，且 . 直线 的斜率 ，故直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 . 直线 的方程为 . 联立 解得点 的纵坐标 . 【反馈练习】 1. 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，过右焦点且垂直于 轴的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ，直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知点 ，若 是一个与 无关的常数，求实数 的值. 【答案】（1） ；（2）1 【解析】试题分析：（1）由题意， ，又 ，求得椭圆方程；（2）联立 方 程 组 ， 得 到 韦 达 定 理 ， ， 所 以 所 以 ，解得 . （ 2 ） 设 ， ， 联 立 方 程 消 元 得 ， ， ∴ ， ， 又 是一个与 无关的常数，∴ ，即 ， ∴ ， .∵ ，∴ . 当 时， ，直线 与椭圆 交于两点，满足题意. 2. 【2018 北京大兴联考】已知椭圆 的短轴端点到右焦点 的距离为 2． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，若 ， ，求证： 为定值． 【答案】(1) ;(2)详见解析. 方法一：因为 ，所以 . 同理 ，且 与 异号， 所以 . 所以， 为定值 . 方法三：由题意直线 过点 ，设方程为 ， 将 代人得 点坐标为 ， 由 消元得 ， 设 ， ，则 且 ， 因为 ，所以 . 同理 ，且 与 异号， 所以 . 又当直线 与 轴重合时， ， 所以， 为定值 . 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关 于 或 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线 过点 ，在 设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率. 3. 【 2018 云 南 昆 明 一 中 一 模 】 已 知 动 点 满 足 ： . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设过点 的直线 与曲线 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 （点 与点 不重合），证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标. 【答案】（1） ；（2）直线过定点 ，证明见解析. 4.【2018 广西柳州摸底联考】已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的 直线交抛物线于 两点，且 . （1）求该抛物线 的方程； （2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ， 判断直线 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1） ；（2）定点 【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达 定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .（2）先设直线 方程 , 与 抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ，得 或 ,代入 方程可得直线 过定点 （2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为： ， 联立 ，得 ， 则 ①. 设 ，则 . ∵ 即 ，得： ， ∴ ，即 或 ， 代人①式检验均满足 ， ∴直线 的方程为： 或 . ∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推 理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 5. 【2018 河南洛阳联考】如图，点 是抛物线 ： （ ）的焦点，点 是 抛物线上的定点，且 ，点 ， 是抛物线上的动点，直线 ， 斜率分 别为 ， ． （1）求抛物线 的方程； （2）若 ，点 是抛物线在点 ， 处切线的交点，记 的面积为 ，证 明 为定值． 【答案】（1） （2） 试题解析： （1）设 ，由题知 ，所以 ， 所以 代入 （ ）中得 ，即 ， 所以抛物线的方程是 ． 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推 理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 6.【2018 湖北八校联考】已知抛物线 在第一象限内的点 到 焦点 的距离为 ． （1）若 ，过点 , 的直线 与抛物线相交于另一点 ，求 的 值； （2）若直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相交于 两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数 ，使得 的长为定值？若存在，求 出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） 时， ， 的长为定值． （2）设直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ， 设 ，则 ， ，① 由 得： ， 整理得 ，② 将①代入②解得 ，∴直线 ， ∵圆心到直线 l 的距离 ，∴ ， 显然当 时， ， 的长为定值． 点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难 度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为 ，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为 0，直线与圆相交截得的弦长的 一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形. 7.【2018 黑龙江齐齐哈尔八中二模】以边长为 的正三角形 的顶点 为坐标原点， 另外两个顶点在抛物线 上，过抛物线 的焦点 的直线 过交拋物线 于 两点. （1）求抛物线 的方程； （2）求证： 为定值； （3）求线段 的中点的轨迹方程. 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） 试题解析： （1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合， 所以，三角形的顶点 关于 轴对称，如图所示. 由 可得 ， ∵ ，∴ . ∴抛物线 的方程为 . 8. 【2018 湖南株洲两校联考】已知椭圆 E: 经过点 P(2,1)，且离心 率为 ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足 ，直线 PM、PN 分别交 椭圆于 A，B．探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定 点，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）直线 AB 过定点 Q（0，﹣2）. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果， 再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得 到结果。 （Ⅱ）当 M，N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y轴，所以若直线过定点，这个定点一 点在 y轴上， 当 M，N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由 消去 y得（1+4k2 ）x2 +8ktx+4t2 ﹣8=0，·则△=16（8k2 ﹣t2 +2）＞0， x1+x2= ，x1x2= ， 又直线 PA 的方程为 y﹣1= （x﹣2），即 y﹣1= （x﹣2）， 因此 M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ）， 由 ，则 + =0， 化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0， 则（2﹣4k）× ﹣（2﹣4k+2t）（ ）+8t=0， 当且仅当 t=﹣2时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，﹣2）. 9. 【2018 广西南宁联考】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 . （l）求抛物线 的方程； （2）抛物线上一点 的纵坐标为 1，过点 的直线与抛物线 交于 两个不同的点（均 与点 不重合），设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值. 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得 抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程 ，及 ， ，设过点 的直 线 的 方 程 为 , 10. 【2018 重庆市第一中学模拟】已知椭圆 的短轴端点和焦点组成 的四边形为正方形，且椭圆过点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形 的顶点都在椭圆上，且对角线 、 过原点 ，若 ， 求证：四边形 的面积为定值． 【解析】（1）由题意 ， ，又 ，解得 ， ， 所以椭圆的标准方程为 ． （2）设直线 的方程为 ，设 ， ， 联立 得 ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 设原点到直线 的距离为 ，则 ， ∴ ，即四边形 的面积为定值． 11.【2018 黑龙江齐齐哈尔市第八中学模拟】已知抛物线 的焦点为 ， 倾斜角为 的直线 过点 与拋物线 交于 两点， 为坐标原点， 的面积 为 . （1）求 ； （2）设点 为直线 与拋物线 在第一象限的交点，过点 作 的斜率分别为 的两条弦 ，如果 ，证明直线 过定点，并求出定点坐标. 而 直 线 的 方 程 为 ， 因 为 也 抛 物 线 上 ， 所 以 代入上述方程并整理得 ， ， . 令 ，则 ，代入 的方程得 ， 整理得 ， 若上式对任意变化的 恒成立，则 ，解得 故直线 经过定点 . 12. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，椭圆 ， 为椭圆 的右顶点，过原点且异于 轴的直线与椭圆 交于 两点， 在 轴的上方，直线 与圆 的另一交点为 ，直线 与圆 的另一交点为 ， （1）若 ，求直线 的斜率； （2）设 与 的面积分别为 ，求 的最大值.