数学卷·2018届安徽省合肥市第一中学高二上学期第一次月考文数试题 （解析版）

数学卷·2018届安徽省合肥市第一中学高二上学期第一次月考文数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！安徽省合肥市第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考 文数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.空间三条直线交于一点，则它们确定的平面数可为（ ）‎ A．1 B．1或2或3 C．1或3 D．1或2或3或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当三条直线共面时，此时确定一个平面；当三条直线不共面时，此时能确定三个平面，故选C．‎ 考点：确定平面的个数．‎ ‎2.如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长 是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：平面图形的直观图．‎ ‎3.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）‎ A．1：2：3 B．1：3：5 C．1：2：4 D．1：3：9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由此可得到三个圆锥，根据题意则有，底面半径之比：，母线长之比：，侧面积之比：，所以三部分侧面积之比：‎ ‎，故选B．‎ 考点：圆锥的结构特征．‎ ‎4.在下列图形中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 是异面直线的图形有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，可知（1）中，直线；图（2）中，三点共面，但面，因此直线与异面；图（3）中，连接，因此与，所以直线与共面；图（4）中，共面，但面，所以直线与异面，故选B．‎ 考点：异面直线的判定．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间中异面直线的判定问题，其中解答中涉及到异面直线的定义和异面直线的判定方法、三棱柱的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握三棱柱的基本结构特征和异面直线的概念与判定方法是解答的关键．‎ ‎5.正方体中，为中点则图中阴影部分在平面内的射影 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：平行投影及平行投影．‎ ‎6.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．‎ 考点：圆锥的体积公式．‎ ‎7.已知表示两条不同直线，表示平面，有下列四个命题，其中正确的命题的个数（ ）‎ ‎①若，则；②若，则；‎ ‎③若，则；④若，，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【答案】D 考点：线面位置关系的判定与证明．‎ ‎8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分 体积的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：几何体的三视图及体积的计算．‎ ‎9.如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是 的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：取的中点，连接，再取的中点，连接，则为异面直线所成的角，在中，，由余弦定理，可得，故选A．‎ 考点：异面直线所成的角的求解．‎ ‎10.有一棱长为的正方体框架，其内放置一个气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形 状），则气球表面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：球的表面积及组合体的性质．‎ ‎11.正方体中，分别为棱的中点，则在空间中与三条直线 都相交的直线（ ）‎ A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：在上任意取一点，直线与确定一个平面，这个平面与有且仅有个交点，当取不同的位置就确定不同的平面，从而与有不同的交点，二直线与这条异面直线都有交点，如图所示，故选D．‎ 考点：空间中点、线、面的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，其中解答中涉及到立体几何中空间直线相交问题、空间几何体的结构特征、异面直线的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握空间几何体的结构特征是解答的关键．‎ ‎12.一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条棱侧棱上各有一个小洞，且知 ‎，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】C 考点：几何体体积的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求解问题，解答关键是掌握相应的体积公式及几何体的结构，将求不规则几何体的体积变为几个规则的几何体的体积，分割法求体积是求解不规则几何体的体积的常用技巧和方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，圆柱的底面周长为，可知底面半径为，则圆柱的表面积 ‎．‎ 考点：圆柱的表面积的求解．‎ ‎14.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下四个判断中，正确的序号是_________．‎ ‎①与平行；②与是异面直线；③与成60°角；④与是异面直线．‎ ‎【答案】③④‎ 考点：异面直线的判定．‎ ‎15.直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若，‎ 则此球的表面积为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图底面的外心是，，在中，，，可得，由正弦定理，，可得外接圆的半径为，设此圆圆心为，球心为，在中，易得球的半径，所以此球的表面积为．‎ 考点：球的表面积公式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了球的表面积的求解，其中解答中涉及到组合体的性质，几何体的结构特征、球的性质及三角形的正弦定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中线求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法，也是解答的关键，属于中档试题．‎ ‎16.如图所示，在直三棱柱中，底面为直角三角形，‎ 是上一动点，则的最小值是______________．‎ ‎【答案】‎ 考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到棱柱的结构特征及两点间的距离公式，棱柱的侧面展开图等知识点的综合考查，本题的解答中将在同一个平面内，沿展开 是等腰直角三角形，将一个空间问题转化为平面内的两点之间的距离问题是解答的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与云散能力，属于中档试题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 如图，正四棱台，它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧 棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积．‎ ‎【答案】．‎ 考点：棱台的侧面积与表面积．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，，点是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ 考点：直线与平面平行的判定与证明．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，分别是的中点．‎ 求证：（1）四点共面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由是的中位线，∴，进而证明得出，即可证明四点共面；（2）分别为的中点，得出，求得平面．再根平行四边形的性质得出，求得平面 ‎，即可证明平面平面．‎ 试题解析：证明：（1）∵是的中位线，∴，‎ 又，∴，∴四点共面．‎ 考点：直线与平面平行的判定及面面平行的判定与证明．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图所示，正方体的棱长为分别是的中点．‎ ‎（1）画出过三点的平面与平面的交线以及与平面的交线；‎ ‎（2）设过三点的平面与交于，求的长．‎ ‎【答案】（1）作图见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设 三点确定的平面为，则与平面交于，得出是与平面的交线，即可画出结论；（2）在中，根据，得出，在中，理由勾股定理，即可求解的长．‎ 试题解析：（1）设 三点确定的平面为，则与平面交于．　‎ 设，‎ 则是与平面的交线．　‎ 设，则是与平面的交线，如图所示；‎ 考点：正方体的结构特征，线段的长度的计算．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 在底面是菱形的四棱锥中，，点 在上，‎ 且，面面．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）是棱的中点．‎ 试题解析：（1）∵菱形，‎ ‎∴，又面，面，‎ ‎∴面，又面，面面，‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎（2）当是棱的中点时，平面．‎ 证明如下，如图取的中点，连结，由于为中点，为中点，‎ 所以①‎ 由为中点，得，知是的中点，‎ 连结、，设，因为四边形是菱形，则为的中点，‎ 由于是的中点，是的中点，所以②‎ 由①、②知，平面平面，‎ 又平面，‎ 所以平面．‎ 考点：线面平行的判定与性质；立体几何的存在性问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了立体几何问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、菱形的性质和三角形性的中位线的应用、以及平面与平面平行的判定与性质，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，此类问题的解答的关键在于充分认识几何体的结构特征和熟记线面位置关系的判定与性质．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 在底面是菱形的四棱锥中，．‎ ‎（1）若为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若为线段上的点，且，则为何值时，平面？‎ ‎（3）若分别为线段的中点，求五面体的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连设交点为，连结为的中位线，利用线面平行的判定定理，即可证明面；（2）过作垂足为，在 中，求得，又，即可得出面；（3）将五面体分割成四棱锥和三棱柱，利用棱锥的体积公式，即可计算得到体积．‎ ‎（3）将五面体分割成四棱锥和三棱柱，计算得到体积为： ．‎ 考点：线面位置关系的判定与证明；几何体的体积的计算．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明、几何体的体积的计算，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理与性质定理，三角形的性质和几何体的体积的计算，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中熟记定理和几何体的结构特征是解答的关键．‎ ‎ ‎