专题12-5 二项分布及其应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题12-5 二项分布及其应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】第十二章 概率与统计 第05节 二项分布及其应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 条件概率 了解条件概率和两个事件相互独立的概念．‎ 以小题形式考查条件概率，以解答题形式考查独立事件和二项分布。‎ 备考重点：‎ 以实际生活为背景考查二项分布是考试的重点和热点。‎ 二项分布及其应用 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．‎ ‎2015课标2‎ ‎2016课标1‎ ‎2017课标2‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.条件概率及其性质 ‎（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝ 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.‎ ‎（2）条件概率具有的性质：‎ ‎(1) 0≤P(B|A)≤1；‎ ‎(2)如果B和C是两互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ 对点练习 先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为为偶数，事件为 ，则概率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2.相互独立事件 ‎（1）对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．‎ ‎（2）若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，‎ P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)‎ ‎（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．‎ ‎（4）若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．‎ 对点练习 ‎【2018广西贺州桂梧高中模拟】科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为.填 ‎3.二项分布 ‎（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎（2）在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)‎ ‎ (p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为二项分布，记为X～B(n，p)．‎ 对点练习 为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（ ）‎ A. 30 B. 40 C. 60 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【考点深度剖析】‎ 二项分布的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式，是高考必考考点．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点 二项分布及应用 ‎【1-1】【2018广东德庆香山中学一模】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)‎ 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，‎ 设A={超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常},B={超过1000小时时,元件3正常}，‎ C={该部件的使用寿命超过1000小时}‎ 则P(A)=1−(1−P)2,P(B)= ，‎ ‎∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A. B同时发生的事件 ‎∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)= .‎ 本题选择D选项.‎ ‎【1-2】【2018山东省济南外国语学校模拟】“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【1-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由二项分布的期望和方差得，解的 ‎【1-4】甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是，则甲最后获胜的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【1-5】某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】记事件 “用满小时不坏”， ‎ 记事件 “用满小时不坏， ‎ 则 ‎ 故答案选 ‎【领悟技法】‎ ‎1. 条件概率的求法 ‎(1)定义法：先求和，再由，求；‎ ‎(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.‎ ‎2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．‎ ‎3. 二项分布满足的条件 ‎(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．‎ ‎(2)各次试验中的事件是相互独立的．‎ ‎(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．‎ ‎(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．‎ ‎4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”‎ 一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．‎ ‎5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：‎ ‎(1) 、中至少有一个发生的事件为；‎ ‎(2) 、都发生的事件为；‎ ‎(3) 、都不发生的事件为；‎ ‎(4) 、恰有一个发生的事件为；‎ ‎(5) 、至多一个发生的事件为.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得。‎ ‎【变式二】【2018福建四校联考】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：‎ 售出水量x（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收益y（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ ‎(Ⅰ) 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？‎ ‎(Ⅱ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.‎ ‎⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；‎ ‎⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。‎ 附： ， 。‎ ‎【答案】（Ⅰ）186元；（Ⅱ）（1）；（2）分布列见解析，期望为600.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意可求得回归方程为，据此预测售出8箱水时，预计收益为186元；‎ ‎(Ⅱ) (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是；‎ ‎(2) 由题意可得X的取值可能为0，300，500，600， 800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为600. ‎ 试题解析：‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎…‎ 当  时， ‎ 即某天售出8箱水的预计收益是186元。‎ ‎ (Ⅱ) ⑴设事件 A 为“学生甲获得奖学金”，事件 B 为“学生甲获得一等奖学金”，‎ 则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 ‎ 三、易错试题常警惕 易错典例：某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)‎ ‎(1)5次预报中恰有2次准确的概率；‎ ‎(2)5次预报中至少有2次准确的概率；‎ ‎(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．‎ 易错分析：解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”、“至少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错误，不能把问题归结为只要在第1,2,4,5次预报中预报1次准确即可，出现仍然用5次独立重复试验二项分布模型解决问题的错误．‎ 正确解析：　设“5次预报中恰有2次准确”为事件A，“5次预报中至少有2次准确”为事件B，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C.‎ ‎(1)P(A)＝C23＝10××≈0.05.‎ ‎(2)P(B)＝1－C05－C×4≈0.99.‎ ‎(3)P(C)＝C×3×≈0.02.‎ 温馨提醒： 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况.‎ ‎ 要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决.‎ ‎ ‎