专题09+三角恒等变换与解三角形（仿真押题）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

专题09+三角恒等变换与解三角形（仿真押题）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

‎1．已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B． C． D．－ 解析：因为α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝－，所以tan＝＝＝，故选C.‎ 答案：C ‎2．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝(　　)‎ A．2　　　 B. C．3　　　　D. 解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒a2＝9＋(a＋2)2－2×3×(a＋2)×⇒a＝2，故选A.‎ 答案：A ‎3．已知α∈，tan＝，那么sin 2α＋cos 2α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案：A ‎4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A.3 B. C. D.3 解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.‎ ‎∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得 ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，故选C.‎ 答案　C ‎5.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 解析　依题意得sin β＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝＜sin β，因此有α＋β＞(否则，若α＋β≤，则有0＜β＜α＋β≤，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.‎ 答案　A ‎6．若＝，则sin αcos α＝(　　)‎ A．－　　　　 B．－ C．－ D. ‎7．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选B.∵a⊥b，‎ ‎∴a·b＝4sin＋4cos α－ ‎＝2sin α＋6cos α－ ‎＝4sin－＝0，‎ ‎∴sin＝.‎ ‎∴sin＝－sin＝－.‎ ‎8．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tan A·tan B＝(　　)‎ A．4 B. C．－4 D．－ ‎9．已知sin＝，则cos的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选D.cos＝2cos2－1‎ ‎＝2sin2－1＝2×－1＝－.‎ ‎10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.‎ ‎11．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，则角B为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.因为acos C＋c＝b，所以sin Acos C＋·sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A为△ABC的内角，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，知1＝b2＋c2－bc，‎ 联立解得c＝，b＝1，由＝，得sin B＝＝＝，∵b＜c，∴B＜C，则B＝，故选B. ‎ ‎12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a＝3，B＝，则b ‎＝________.‎ 解析：由题意可得S＝acsin B，解得c＝1，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－3＝7，故b＝.‎ 答案： ‎13．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.‎ 解析：∵tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tan x＝2，故tan x＝－2.所以＝＝＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎14．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin α＋cos α的值为________．‎ ‎ sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝.‎ 答案： ‎15.若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.‎ ‎ ‎ ‎16.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.‎ 解析　如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.‎ 由正弦定理，可得＝.‎ 所以＝，得AD＝400(米).‎ 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得 AC2＝AD2＋CD2－2·AC·CD·cos∠ADC ‎＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米).故索道AC的长为400米.‎ 答案　400 ‎17．已知△ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值是________．‎ 答案： ‎18．已知函数f(x)＝2cos2 ＋sin x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；‎ ‎(2)若tan ＝，求f(α)的值．‎ 解析：(1)f(x)＝1＋cos x＋sin x ‎＝2cos＋1，‎ 所以当cos＝1，即x－＝2kπ，x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为3，‎ 此时相应的x的取值集合为 .‎ ‎(2)f(α)＝2cos2 ＋2sin cos ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎19．如图在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos ∠BAC＝－，AB＝3，BD＝.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎20.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值.‎ 解　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.‎ 由正、余弦定理得 a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.‎ 由于0＜A＜π，‎ 所以sin A＝＝＝.‎ 故sin＝sin Acos ＋cos Asin ＝×＋×＝.‎ ‎21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin B＝bcos C＝3.‎ ‎(1)求b；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求c.‎ ‎ ‎ ‎22．已知f(x)＝2sin(x－)－，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．‎ ‎(1)求f()＋g()的值；‎ ‎(2)若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．‎ 解　(1)因为g(x)＝2sin[(x＋)－]－＋＝2sin(x＋)，‎ 所以f()＋g()＝2sin(－)－＋2sin＝1.‎ ‎(2)因为g(x)＝2sin(x＋)，‎ 所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 即x∈＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取得最大值．‎ 因为x＝B时g(x)取得最大值，‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ 而b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac≥16－3·()2＝16－12＝4，‎ 所以b≥2.又b0)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．‎ ‎ ‎ ‎24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.‎ ‎(1)求cosC的值；‎ ‎(2)若a＝5，求△ABC的面积．‎ 解　(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc可得a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc，‎ 所以a2＝b2＋c2－bc，‎ 所以cosA＝＝，‎ 所以sinA＝＝，‎ 所以cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－(×－×)＝.‎ ‎(2)由(1)可得sinC＝＝，‎ 在△ABC中，由正弦定理＝＝，‎ 得c＝＝8，‎ ‎∴S＝acsinB＝×5×8×＝10.‎ ‎25.已知向量m＝(cosx，－1)，n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值，求A，b和△ABC的面积.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 得1＝b2＋3－2××b×cos，‎ 所以b＝1或b＝2，经检验均符合题意.‎ 从而当b＝1时，△ABC的面积 S＝××1×sin＝；‎ 当b＝2时，△ABC的面积 S＝××2×sin＝.‎ ‎26.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝，AB＝a，BC＝a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A ‎′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ.‎ ‎(1)若θ＝时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；‎ ‎(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.‎ 由正弦定理得＝，‎ 设AM＝ax(0

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