辽宁省大连瓦房店市高级中学2018-2019高二下学期期中考试数学（理）试卷

辽宁省大连瓦房店市高级中学2018-2019高二下学期期中考试数学（理）试卷

瓦房店市高级中学2018-2019学年度下学期高二期中考试 ‎ 数学理科试题 一． 单选题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1.i是虚数单位，下列复数是纯虚数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 ‎3.，则z为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值是（ ）‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为（ ）‎ A. a,b,c中至少有两个偶数 B. a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C. a,b,c都是奇数 D. a,b,c都是偶数 ‎6.将3张不同的电影票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数为（ ）‎ A.2160 B.720 C.240 D.120‎ 7. 若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项数是（ ）‎ A.1项 B.k-1项 C.k项 D.项 ‎9.已知函数在处取得极值为10，则（ ）‎ A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3‎ ‎10.某教育有限公司计划利用周五下午14:15-15:00,15:15-16:00,16:15-17:00三个时间段举办语文，数学，英语，物理4科的专题讲座，每科一个时间段，每个时间段至少有一科，且语文，数学不安排在同一时间段，则不同的安排方法有（ ）‎ A.6种 B.24种 C.30种 D.36种 11. 函数，则的值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.8‎ 11. 函数的定义域为R，，若对任意，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”。四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_______‎ ‎14.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______‎ ‎15.在平面几何中，有如下结论：正的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为，外接球体积为，则______‎ ‎16.函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______‎ 三．解答题 ‎17.（本题满分10分）‎ 已知表示的边长，，求证：‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 已知函数 （1） 当时，求曲线在点处的切线方程；‎ （2） 若对任意，有恒成立，求的取值范围。‎ ‎（在19,20两题中任选一题作答，满分12分）‎ ‎19．(本题满分12分)在直角坐标系xoy中,曲线的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线直角坐标方程；‎ ‎（2）设P为曲线上的动点,求点P到上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.‎ ‎20．(本题满分12分) 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数 （1） 求函数的单调区间；‎ （2） 若恒成立，确定实数的取值范围。‎ ‎22.(本题满分12分)已知函数，其中e为自然对数的底数．‎ ‎(1)讨论函数的极值；‎ ‎(2)若，证明：当时，．‎ ‎（在23，24两题中任选一题作答，满分12分）‎ ‎23．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为，点A的极坐标为，设直线l与曲线C相交于P,Q两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎24．(本题满分12分)设函数。‎ ‎（1）求函数的最大值为m，‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，证明：。‎ ‎瓦房店市高级中学2018-2019学年度下学期高二期中考试 ‎ 数学理科参考答案 一．BCCDB BDDCC AA 二．13.甲 14. 15. 16.‎ 三．17.证明：，‎ ‎ ……4分 只需证明 ‎ 方法一，设，….6分 在上为增函数 … 8分 ‎，所以命题成立 …. 10分 方法二，即证 …. 6分 化简得，‎ 得到显然成立，所以命题得证 … 10分 ‎18.（1）当时， ‎ 则切线方程为 …..4分 （2） 对任意 设，则在上单调递增 ….6分 即在上恒成立，， ….8分 在上恒成立 当，成立；当，函数的对称轴为且过（0,1）点 则，即 总上所述， ….. 12分 ‎19. （1）由曲线:得,‎ 即曲线的普通方程为 ….2分 由曲线得:,‎ 即,所以x+y-8=0,‎ 即曲线的直角坐标方程为x+y-8=0. ….4分 ‎（2）由（1）知椭圆与直线无公共点,‎ 依题意有椭圆上的点到直线x+y-8=0的距离为 ‎, ….8分 所以当时,d取得最小值, ….10分 此时,点的P坐标为。 ….12分 ‎20. （1）∵，‎ ‎∴‎ 当x<-1时，不等式可化为-x-1+2x+1+1<0，解得x<-1，所以x<-1； ‎ 当，不等式可化为x+1+2x+1+1<0，解得x<-1，无解； ‎ 当时，不等式可化为x+1-2x-1+1<0，解得x>1，所以x>1‎ 综上所述， …..6分 ‎（2）因为 … 8分 且的解集不是空集，‎ 所以a>1，即a的取值范围是 …..12分 ‎21.（1）的定义域为，且 ….2分 当时，，在上是增函数 ….4分 当时， ‎ ‎ ….6分 (2) 由（1）可得，‎ 当时，在上是增函数，而 ….8分 ‎ ….10分 ‎ ….12分 ‎22.(1)解：． ….2分 当时，1-m<1，令，解得x=1或1-m．‎ 则函数在上单调递减，在内单调递增，在上单调递减．‎ 时，函数取得极小值；x=1时，函数取得极大值． …5分 当时，，函数在R上单调递减，无极值． ….6分 ‎(2)证明：当时，，只要证明即可， ….8分 由(1)可知：在内单调递减，．‎ 只需要证明 令， ….10分 ‎，‎ 为的极大值点，仅有一个极值，则为最值，‎ ‎，‎ 即证明成立 …. 12分 因此原命题成立．‎ ‎23.(1)曲线C的直角坐标方程为：，即 ‎， ….2分 直线l的普通方程为   …..4分                ‎ ‎(2)点A的直角坐标为，设点P，Q对应的参数分别为,点P，Q的极坐标分别为，将与联立得：，‎ 由韦达定理得：        ….8分   ‎ 将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：‎ ‎,‎ 所以， …..12分 24. ‎（1）,‎ 的最大值为3 ，m=3 ….4分 ‎（2）由（1）知，于是 因为,当且仅当时取等号，‎ ‎，当且仅当b=c时取等号，‎ ‎,当且仅当a=c时取等号，‎ 相加可得，当且仅当a=b=c时取等号 …..12分