专题36+圆的方程（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题36+圆的方程（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4‎ B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝4‎ D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4‎ ‎【答案】C ‎2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)‎ A．8 B．－4‎ C．6 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6。‎ ‎3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0‎ B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0‎ D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】将已知直线化为y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0。‎ ‎4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4‎ D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ ‎【答案】A ‎5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4, 2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是(　　)‎ A．(x－4)2＋(y－2)2＝1‎ B．x2＋(y－2)2＝4‎ C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5‎ D．(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎【答案】D ‎【解析】设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆。圆心为(2,1)。半径r＝＝。‎ ‎∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5。 ‎ ‎6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10，选B。‎ ‎7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a ‎＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．‎ ‎【答案】(－2，－4)　5‎ ‎8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．‎ ‎【答案】(x－2)2＋2＝ ‎【解析】因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．‎ 又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，‎ 解得m＝－.‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋2＝.‎ ‎9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．‎ ‎【答案】(0，－1)‎ ‎【解析】圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1，所以当k＝0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，－1)．‎ ‎10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．‎ ‎【答案】x＋y－1＝0‎ ‎【解析】过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，‎ ‎∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，‎ 即x＋y－1＝0.‎ ‎11．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则的最大值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离．‎ 当x≥0，y≥0时，x2＋y2－x－y＝0化为2＋2＝，曲线上的点到原点的距离的最大值为2× ‎ ‎12．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为______________．‎ ‎【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎【解析】由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，‎ ‎∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．‎ ‎∵△OPQ为直角三角形，‎ ‎∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，‎ 因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. ‎ ‎13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．‎ ‎【答案】74‎ ‎【解析】设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，‎ ‎∴dmax＝74.‎ ‎14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________________________．‎ ‎【答案】(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ ‎15．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________。‎ ‎【解析】方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝∈[0，]，解得m的最大值为10。‎ ‎【答案】10‎ ‎16．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________。‎ ‎【解析】∵圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，‎ ‎∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上。‎ 又已知圆心在2x－y－7＝0上，‎ ‎∴解得即圆心C(2，－3)，‎ 半径r＝|AC|＝＝，‎ ‎∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5。‎ ‎【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝5‎ ‎17．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。‎ ‎【答案】x2＋y2＝36‎ ‎【解析】如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°。而圆心到直线3x ‎＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6。所以所求圆的方程为x2＋y2＝36。‎ ‎18．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆。‎ ‎(1)求t的取值范围；‎ ‎(2)求其中面积最大的圆的方程； ‎ ‎(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。‎ ‎19．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0。‎ ‎(1)求2x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围。‎ ‎【解析】由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，‎ ‎(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为 ‎∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1，‎ ‎∵－≤2cosθ＋sinθ≤，‎ ‎∴1－≤2x＋y≤＋1。‎ 方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时＝1。‎ ‎∴b＝1±，‎ ‎∴1－≤2x＋y≤1＋。‎ ‎(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝sin＋1，‎ ‎∴x＋y＋c的最小值为1－＋c，‎ ‎∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－＋c≥0，‎ ‎∴c的取值范围为c≥－1。‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切。‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围。‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．‎ 解　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，‎ 则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.‎ ‎∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.‎ ‎∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.‎ ‎(2)设P点的坐标为(x0，y0)，‎ 则＝，即|x0－y0|＝1.‎ ‎∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.‎ ‎22．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；‎ ‎(2)求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．‎ 解　(1)将P(a，a＋1)代入圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得a＝4，所以P(4,5)，‎ ‎|PQ|＝＝2，‎ kPQ＝＝.‎ ‎(2)圆C：(x－2)2＋(y－7)2＝(2)2，‎ 圆心C(2,7)，R＝2，|QC|－R≤|MQ|≤|QC|＋R，‎ ‎∵|QC|＝4，∴2≤|MQ|≤6，‎ ‎∴|MQ|的最小值为2，最大值为6.‎ ‎(3)由题意知m2＋n2－4m－14n＋45＝0， 学……&科网 即(m－2)2＋(n－7)2＝(2)2，分析可得k＝表示该圆上的任意一点与Q(－2,3)相连所得直线的斜率，设该直线斜率为k，则其方程为y－3＝k(x＋2)，又由d＝≤2，得2－≤k≤2＋.所以k＝的最小值为2－，最大值为2＋.‎