专题13+同角三角函数的基本关系与诱导公式（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题13+同角三角函数的基本关系与诱导公式（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

1.cos 的值是　(　　) A.- B. C. D.- 【解析】选 C.cos =cos =cos = . 2.已知 α∈(0，π)，且 sinα+cosα= ，则 sinα-cosα 的值为　(　　) A.- B.- C. D. 3.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中 a，b，α，β 都是非零实数，若 f(2015)=-1，那么 f(2016)等于　(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选 C.因为 f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα- bcosβ=-1，所以 f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+ bcosβ=1. 4.若 tanα=2，则 的值是　(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选 A.由 tanα=2，则 = =- . 5.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上，则 + =　(　　) A.-2 B.2 C.-2 或 2 D.0 【解析】选 D.由题意得 α 在第二或第四象限，所以 + = + =0. 6.已知 α 为第一象限角，且 =3+2 ，则 cosα=　(　　) A. B. C. D. 7.设 θ 是三角形的内角，若函数 f =x2cosθ-4xsinθ+6 对一切实数 x 都有 f >0，则 θ 的取值范围是　 (　　) A. B. C. D. 【解析】选 D.由题意得 解得 cosθ> ，所以 θ 的取值范围是 . 8.已知 cosα 是 3x2-x-2=0 的根，且 α 为第三象限角，则 =(　　) A. B.- C.- D. 【解析】选 D.因为 α 为第三象限角，所以 cosα<0，cosα=- ， 原式= =tan2α= = = . 9.已知 α 是第四象限角，sin α＝－ 12 13，则 tan α＝(　　) A.－ 5 13 B. 5 13 C.－ 12 5 D. 12 5 【解析】因为 α 是第四象限角，sin α＝－ 12 13， 所以 cos α＝ 1－sin2α＝ 5 13，故 tan α＝ sin α cos α＝－ 12 5 . 【答案】C 10.已知 tan θ＝3，则 cos(3π 2 ＋2θ)＝(　　) A.－ 4 5 B.－ 3 5 C. 3 5 D. 4 5 【解析】∵tan θ＝3，∴cos(3π 2 ＋2θ)＝sin 2θ＝ 2sin θcos θ sin2θ＋cos2θ ＝ 2tan θ tan2θ＋1＝ 6 9＋1＝ 3 5. 【答案】C 11. 1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝(　　) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 【答案】A 12.向量 a＝(1 3，tan α)，b＝(cos α，1)，且 a∥b，则 cos(π 2 ＋α)＝(　　) A.－ 1 3 B. 1 3 C.－ 2 3 D.－ 2 2 3 【解析】∵a＝(1 3，tan α)，b＝(cos α，1)，且 a∥b， ∴ 1 3×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝ 1 3， ∴cos(π 2 ＋α)＝－sin α＝－ 1 3. 【答案】A 13.已知 sin(α＋π 3 )＝ 12 13，则 cos(π 6 －α)＝(　　) A. 5 13 B. 12 13 C.－ 5 13 D.－ 12 13 【解析】因为 sin(α＋π 3 )＝12 13，所以 cos(π 6 －α)＝sin[π 2 －(π 6 －α)]＝sin(α＋π 3 )＝ 12 13. 【答案】B 14.已知 sin α＝ 5 5 ，则 sin4α－cos4α的值为(　　) A.－ 1 5 B.－ 3 5 C. 1 5 D. 3 5 【解析】sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－ 3 5. 【答案】B 15.已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 018)的值为(　　) A.－1 B.1 C.3 D.－3 【答案】C 16.已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|< π 2 ，则 θ 等于(　　) A.－ π 6 B.－ π 3 C. π 6 D. π 3 【解析】∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－ 3cos θ， ∴tan θ＝ 3，∵|θ|＜ π 2 ，∴θ＝ π 3 . 【答案】D 17.若 sin θ，cos θ是方程 4x2＋2mx＋m＝0 的两根，则 m 的值为(　　) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1± 5 D.－1－ 5 【解析】由题意知 sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝ m 4. 又(sin θ＋cos θ) 2 ＝1＋2sin θcos θ， ∴ m2 4 ＝1＋ m 2，解得 m＝1± 5. 又 Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0 或 m≥4，∴m＝1－ 5. 【答案】B 18.若 sin(π－α)＝ 1 3，且 π 2 ≤α≤π，则 sin 2α的值为________. 【解析】由 sin(π－α)＝ 1 3，得 sin α＝ 1 3， 又 π 2 ≤α≤π，所以 cos α＝－ 2 2 3 ， 则 sin 2α＝2sin αcos α＝－ 4 2 9 . 【答案】－ 4 2 9 19.化简： sin2（α＋π）·cos（π＋α）·cos（－α－2π） tan（π＋α）·sin3(π 2 ＋α)·sin（－α－2π） ＝________. 【解析】原式＝ sin2α·（－cos α）·cos α tan α·cos3α·（－sin α）＝ sin2αcos2α sin2αcos2α＝1. 【答案】1 20.已知 sin(π 3 －α)＝ 1 2，则 cos(π 6 ＋α)＝________. 【解析】∵(π 3 －α)＋(π 6 ＋α)＝ π 2 ， ∴cos(π 6 ＋α)＝cos[π 2 －(π 3 －α)]＝sin(π 3 －α)＝ 1 2. 【答案】 1 2 21.已知 tan α＝3，则 1＋2sin αcos α sin2α－cos2α 的值是________. 【解析】原式＝ sin2α＋cos2α＋2sin αcos α sin2α－cos2α ＝ （sin α＋cos α）2 （sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝ sin α＋cos α sin α－cos α＝ tan α＋1 tan α－1＝ 3＋1 3－1＝2. 【答案】2 22.sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________. 【答案】 91 2 23.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当 0≤x<π时，f(x)＝0，则 f (23π 6 )＝________. 【解析】由 f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得 f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)， 所以 f (23 6 π )＝f (11 6 π＋2π) ＝f (11 6 π )＝f (π＋5 6π)＝f (5 6π )＋sin 5 6π. 因为当 0≤x<π时，f(x)＝0. 所以 f (23 6 π )＝0＋1 2＝ 1 2. 【答案】 1 2 24.已知 cos = ，且-π<α<- ，则 cos =　　　　. 【答案】- 25.已知 sinα+cosα= ，则 sinα-cosα=　　　　　. 【解析】由 sinα+cosα= ， 平方得 1+2sinαcosα=2①， 设 sinα-cosα=t， 平方得 1-2sinαcosα=t2② 由①②相加得 2=2+t2，所以 t2=0，t=0. 【答案】0 26.若 tan = ，则 sinθcosθ=　　　　. 【解析】tan = = ，得 tanθ= ， 所以 sinθcosθ= = = = . 【答案】 27.已知 sin(α-3π)=2cos(α-4π)，则 =　　　　　　. 【解析】由已知得，-sinα=2cosα，即 tanα=-2， 所以 = = =- . 【答案】- 28.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　　　. 【答案】44.5 29.已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f ′(x)=2f(x)，f ′(x)是 f(x)的导函数，则 =　　　　. 【解析】因为 f ′(x)=cosx+sinx，f ′(x)=2f(x)，所以 cosx+sinx =2(sinx-cosx)，所以 tanx=3， 所以 = = = =- . 【答案】- 30.在△ABC 中，若 sin =- sin cos =- cos ，求这个三角形的内角. 【解析】由题意得 sinA= sinB，① cosA= cosB，② 由①②两边平方，然后相加得 sin2A+3cos2A=2，所以 sin2A= ， 由②知 cosA，cosB 同号， 又因为在△ABC 中，所以 cosA>0，cosB>0，所以 A， B 都是锐角， 所以 sinA= ，A= ，代入②得 cosB= ，B= ，所以 C=π-B-A= . 所以三个内角分别为 A= ，B= ，C= . 31.已知 θ 是三角形中的最小角，并且满足关于 θ 的方程 cos2θ+2msinθ-2m-2=0 有实数解，求实数 m 的 取值范围.