2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题23 立体几何角的计算问题（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题23 立体几何角的计算问题（讲）（解析版）

专题23 立体几何角的计算问题 在立体几何命题中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键．空间的角与距离的计算(特别是角的计算)是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．本文就高考命题中立体几何角的计算问题加以总结探讨，以提高高考获取高分.‎ ‎1.异面直线所成的角的计算问题 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．‎ ‎②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．‎ ‎③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．‎ ④几何法：求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．‎ ‎【例】(2020·河南高一期末)长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在长方体中，如图：,‎ 异面直线与所成角为(或其补角)，‎ 在中，，，，‎ ‎,故选：C ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，余弦定理，属于中档题.‎ ‎【例】(2019·山西高三(文))在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为直角梯形，其中，，若，分别是线段与线段的中点，则直线和所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】过点作线段的垂线作为轴，以，为轴，建立空间直角坐标系设，则 ‎，所以直线和 所成角的余弦值为 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了求异面直线所成角，属于中档题.‎ ‎【例】(2020·四川高二期末(理))如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为 ‎，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：， ， ；在线段上，设， ；；‎ ‎；设，；函数是一次函数，且为减函数，；‎ 在恒成立，；在上单调递减；时，取到最大值．‎ ‎【点睛】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．‎ ‎2. 直线和平面所成角的计算问题 向量法求线面角的方法：‎ ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.‎ ‎(3)如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.‎ ‎【例】(2020·河北枣强中学高二期末)如图，在正方体中，，E，F分别为AD，DC的中点，则与平面所成角的正弦值为( )‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，分别以所在的直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，可得，，，‎ 设平面的法向量，则，解得，‎ 不妨令，取.‎ 设与平面所成的角为，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面所成角的求解，以及空间向量的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎【例】(2020·四川高二期末(理))在中，，是的中点，平面，如果、与平面成的角分别是30°和60°，那么与平面所成的角为( )‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，∵在中，，是的中点，平面，、与平面成的角分别是和，∴，，是与平面所成角，‎ ‎∴，，，，∴，∴，∴，∴与平面所成角的大小为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.‎ ‎21．(2020·陕西西安中学高二期末(理))如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 在线段EC上存在点P,理由见解析.‎ ‎【解析】证明：Ⅰ，M是AB的中点，，‎ 平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，‎ 平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎(2) 平面ABCD，，是正三角形，‎ ‎、MC、ME两两垂直．‎ 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，‎ ‎0，，则0，，，‎ 假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与 平面ABE所成的角为．设，，‎ 则，直线AP与平面ABE所成的角为，‎ ‎，‎ 由，解得，‎ 在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且 ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．‎ ‎3. 二面角的计算问题 ‎(1)二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．‎ ‎(2)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．‎ ‎(3)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．‎ ‎【例】(2019·天津南开中学高二期中(理))已知四面体中，，，，则二面角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在上取，过作，交于，作，交于，连接，‎ 所以为二面角的平面角，‎ 在中，，，所以，，‎ 在中，，，所以，，‎ 因为，所以，‎ 在中，由余弦定理得.‎ 所以二面角的余弦值为.故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了二面角的平面角，求二面角的大小，余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎【例】(2019·湖南长沙一中高二月考)如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为， ，，，．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．‎ ‎【答案】(1)详见解析；(2)点满足.‎ ‎【解析】(1)因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，‎ 因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，‎ 又因为BC∩CF＝C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．‎ ‎(2)∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE为二面角A-CD-F的平面角∴∠ADE=60°‎ ‎∵CD⊥面ADE，平面平面，作于点，‎ 则平面，由，‎ 得，以为原点，平行于的直线 为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，设，‎ 则，设平面的法向量为，‎ 则由，得，取，‎ 得平面的一个法向量为，又面的一个法向量为，‎ ‎，，解得或(舍去)，‎ 此时，得，即所求线段上的点满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎【例】【2018年全国卷Ⅲ理】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】分析：(1)先证平面CMD,得,再证，进而完成证明。‎ ‎(2)先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值。‎ 详解：(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.‎ ‎(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，‎ ‎，设是平面MAB的法向量,则 即可取.是平面MCD的法向量,因此 ‎，，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.‎ ‎【反思提升】 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．‎ ‎(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|；②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角；③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化．‎