命题角度4-3 空间中的折叠问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

命题角度4-3 空间中的折叠问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度3：空间中的折叠问题 ‎1.如图，四边形为等腰梯形， ，将沿折起，使得平面平面， 为的中点，连接.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）到平面的距离为 ‎【解析】试题分析：（1）在图中，作于，由平面几何知识可知，又平面平面所以平面，可证。（2）为的中点， 到平面的距离等于到平面距离的一半，过作于， 平面就是到平面的距离.‎ ‎（2）如图， 为的中点， 到平面的距离等于到平面距离的一半.‎ 而平面平面，所以过作于，又由则平面就是到平面的距离.‎ 由图易得.‎ 到平面的距离为.‎ ‎2.已知下图中，四边形 ABCD是等腰梯形， ， ， 于M、交EF于点N， ， ，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为、且使，如图示．‎ ‎(Ⅰ)证明： 平面ABFE；,‎ ‎(Ⅱ)若图中， ，求点M到平面的距离．‎ ‎【答案】 (Ⅰ)见解析 (Ⅱ) ．‎ ‎【解析】试题分析：（I）折叠前后， ⊥EF、MN⊥EF，故EF⊥平面，故.利用勾股定理可证得，所以 平面ABFE；（II）设点M到平面的距离为h， , ，利用勾股定理证明，利用等体积法可求得点M到平面的距离为.‎ 试题解析：‎ ‎ (Ⅰ) 可知，∴⊥EF、MN⊥EF， ‎ 又，得EF⊥平面， ‎ 得， ‎ ‎∵ ∴， ‎ 又，∴ 平面ABFE． ‎ ‎∴， ‎ ，又，‎ 代入①式，得，解得，‎ ‎∴点M到平面的距离为．‎ ‎3.如图1，在边长为4的正三角形中， 分别为的中点， 为的中点.将与分别沿同侧折起，使得二面角与二面角的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体.‎ ‎（1）在多面体中，求证： 四点共同面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件可证明平面和平面，所以，故四点共同面；‎ ‎（2）利用体积分割求.‎ ‎（2）因为平面， 平面， ，所以是四棱锥的高，点到平面的距离等于点到平面，又， ， ，所以.‎ ‎4.以BD为直径的圆O经过A、C两点，延长DA、CB交于P点，将‎△PAB沿线段AB折起，使P点在底面ABCD的射影恰好为AD的中点Q.若AB=BC=1‎，BD=2‎，线段PB、‎PC 的中点分别为E，F.‎ ‎（1）判断四点A，D，E，F是否共面，并说明理由；‎ ‎（2）求四棱锥E-ABCQ的体积.‎ ‎【答案】（1）四点A,D,E,F不共面.（2）‎‎5‎‎3‎‎32‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明四点不共面,基本方法为反证法,即假设四点共面,则由线线平行EF//BC得到线面平行BC//‎平面AEFD,再由线面平行得到线线平行BC//AD,与条件相交矛盾,反设不成立,得到结论,（2）求四棱锥的体积,关键在于求高,而高的寻求往往借助于线面垂直关系得到,本题根据面面垂直性质定理得到线面垂直,PQ⊥AD，所以PQ为四棱锥P-ABCQ的高,再代入体积公式即可.‎ 试题解析：（1）假设四点A,D,E,F共面，因为EF//BC，BC⊄‎平面AEFD，所以BC//‎平面AEFD，‎ 又因为平面AEFD ‎∩‎平面ABCD=AD，BC⊂‎平面ABCD， 所以BC//AD，与已知BC∩AD=P矛盾，所以四点A,D,E,F不共面.‎ ‎（2）由题意‎∠BAD=∠BCD=‎π‎2‎，又AB⊥AD，AB⊥AP于A， ‎ 所以AB⊥‎平面PAD 所以平面ABCD⊥‎平面PAD，P点在底面ABCD的射影恰为AD的中点Q，所以PQ⊥AD，所以PQ为四棱锥P-ABCQ的高，AB=BC=1‎，‎BD=2‎ ‎∴AD=CD=‎‎3‎，‎∠ADC=‎π‎3‎，∴‎‎∠APB=‎π‎6‎ ‎∴PD=PA=‎‎3‎，AQ=QD=‎‎3‎‎2‎，PQ=‎‎3‎‎2‎，线段PB的中点为E，‎ 所以E点到平面ABCQ的高为 连接CQ， 所以CQ⊥AD，CQ=‎‎3‎‎2‎，‎VE-ABCQ‎=‎1‎‎3‎×‎5‎‎3‎‎8‎×‎3‎‎4‎=‎‎5‎‎3‎‎32‎ ‎5.如图（1），五边形中， .如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）要证明面面垂直，一般先证线面垂直，题中已知平面，由于是的中点，只要取的中点，可证，从而得平面，因此就得到面面垂直；‎ ‎（2）由（1）的垂直可证是等边三角形，因此有，再得，于是有平面，可得，这样可求得图形中各线段长，可得四棱锥的底面积和高，得体积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取的中点，连接，则，‎ 又，所以，‎ 则四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴平面平面PCD；‎ 所以 所以.‎ ，∴为直线与所成的角，‎ 由（1）可得，∴，∴，‎ 由，可知，‎ 则.‎ ‎6.如图（1）所示，已知四边形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中 .且点为线段的中点， ， 现将△沿进行翻折，使得二面角 的大小为，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用线面垂直的判断定理可证得平面，则.‎ ‎(2)利用体积的比值结合体积公式可得点到平面的距离为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为平面 平面，‎ 又，所以平面．　‎ 又平面，‎ 所以．‎ 在直角梯形中， ， ， ，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 又，‎ 所以平面．　‎ 因为平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为，‎ 因为，且，‎ 所，‎ 即，故点到平面的距离为.‎ ‎7. 如图，在矩形中， 分别为的中点，现将沿折起，得四棱锥 .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若平面平面，求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连接，只需证明四边形为平行四边形，即有，可得；‎ ‎（2）先证平面，进而四面体的体积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)取线段的中点，连接，因为为的中点，所以，且，在折叠前，四边形为矩形， 为的中点，所以，且. ，且,所以四边形为平行四边形，故，又平面平面，所以平面.‎ ‎8.如图1，平行四边形中， ， ，现将△沿折起，得到三棱锥 (如图2)，且，点为侧棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面几何知识先证明，再由线面垂直的判定的定理可得平面，从而得，进而可得平面，最后由由线面垂直的判定的定理可得结论；（Ⅱ）由等积变换可得，进而可得结果；（Ⅱ）取中点，连接并延长至点，使，连接， ， ，先证四边形为平行四边形，则有∥，利用平面几何知识可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，有，又因为为侧棱的中点，‎ 所以；‎ 又因为， ，且，所以平面. ‎ 又因为平面，所以；‎ 因为，‎ 所以平面， ‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：因为， 平面，所以是三棱锥的高，‎ 故， ‎ 又因为， , ，所以，‎ 所以有 .‎ ‎（Ⅲ）解：取中点，连接并延长至点，使，连接， ， .‎ 因为，所以射线是角的角分线. ‎ 又因为点是的中点，所以∥，‎ 因为平面， 平面，‎ 所以∥平面. ‎ 因为、互相平分，‎ 故四边形为平行四边形，有∥.‎ 又因为，所以有， ‎ 又因为，故.‎ ‎9.如图，在中， 为直角， ．沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）是棱的中点，过做平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 平面，又平面，‎ 所以，‎ 又因为，所以．‎ 又因为，所以平面．‎ 所以， ．‎ 依题意， ．‎ 所以， ．‎ ‎（Ⅲ）分别取的中点，并连接，‎ 因为平面平面，所以平面与平面的交线平行于，因为是中点，所以平面与平面的交线是的中位线．同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面．‎ 即： ．‎ 由（Ⅰ）可知： 平面，所以，‎ 又∵， ∴．‎ ‎∴四边形是直角梯形．‎ 在中， ∴．‎ ， ， ．‎ ‎∴．‎ 点睛：立体几何是高中数学中的重要知识内容之一，也是高考重点考查的考点之一，在问题的设置上通常设置为考查和检测线面的位置关系和角度距离的计算问题。求解本题的第一问时，直接运用线面垂直的判定定理进行分析推证；解答第二问时，先确定三棱锥的高与底面，运用体积公式求解；第三问的设置是探求截面的位置及形状，然后求其面积，使得问题获解。‎ ‎10.如图1，在边长为3的正三角形中， ， ， 分别为， ， 上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结， ， .（如图2）‎ ‎（Ⅰ）若为中点，求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求证： ；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成角的正切.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 试题解析：证明：（Ⅰ）取中点，连结， .‎ 在中， ， 分别为， 的中点，‎ 所以，且.‎ 因为，‎ 所以，且，‎ 所以， .‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 又因为平面，且平面，所以平面.‎ ‎（Ⅲ）作于，连接，则 因为， ， ，因此平面，‎ 因此平面，因此是在平面内的射影，‎ 因此为与平面所成角，‎ ， ， 中， ，于是 因此，‎ 因此与平面所成角的正切为 ‎ ‎