数学卷·2019届江苏省如东高级中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学卷·2019届江苏省如东高级中学高二上学期期中考试（2017-11）

‎2017-2018学年度第一学期期中学情检测 高二数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..‎ ‎1.命题：“，”的否定为 .‎ ‎2.不等式的解集是 ．‎ ‎3.已知数列的前项和为，且，则数列的首项为 ．‎ ‎4.关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．‎ ‎5.若正项等比数列满足，则的最大值为 ．‎ ‎6.若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为 ．‎ ‎7.等比数列的前项和为，已知，，则公比 ．‎ ‎8.设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么 ．‎ ‎9.某种汽车购车时的费用为万元，每年保险，养路费，汽油费共万元，如果汽车的维修费第年万元，从第年起，每年比上一年多万元，这种汽车最多使用 年报废量合算（即年平均费用最少）.‎ ‎10.下列说法中所有正确命题的序号是 ．‎ ‎①“”是“”成立的充分非必要条件；‎ ‎②、，则“”是“”的必要非充分条件；‎ ‎③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；‎ ‎④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.‎ ‎11.设是数列的前项和，且，，则 ．‎ ‎12.已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为 ．‎ ‎13.对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.已知，均为正数，且，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.设（，）‎ ‎（1）若不等式的解集为，求，的值；‎ ‎（2）记，若且，求的取值范围．‎ ‎16.命题：已知实数，满足约束条件，二元一次不等式恒成立，‎ 命题：设数列的通项公式为，若，使得．‎ ‎（1）分别求出使命题，为真时，实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题与真假相同，求实数的取值范围.‎ ‎17. 设数列的前项和，满足（）；‎ ‎（1）记，求数列的前和.‎ ‎（2）记，且数列的前和为，若不等式，对任意恒成立，求实数的最小值.‎ ‎18. 服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入 万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.‎ ‎（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？‎ ‎19. 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设 ‎（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）若，又数列满足：：‎ ‎①求数列的前和；‎ ‎②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：对任意，，都有成立；‎ ‎（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.‎ ‎2017-2018学年度第一学期期中学情检测 高二数学加试试卷（物理方向考生作答）‎ 解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答对应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎1.矩阵的逆矩阵为，矩阵满足，求，.‎ ‎2.已知矩阵的两个特征向量，，若，求.‎ ‎3.解关于的不等式：.‎ ‎4.已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）设，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度第一学期期中学情检测 高二数学参考答案 一、填空题 ‎1.， 2. 3. 4. 5. 6. 7.或 ‎8. 9. 10.②③④ 11. 12. 13. 14.‎ 二、解答题 ‎15.解：（1）由题意得：‎ 解得 ‎（2）∵，∴‎ 由题意得：‎ 解得 ‎16.解：（1）约束条件，画出可行域，结合图象可得 当目标函数过点时，目标函数取得最大值.‎ 得，则的最大值为.‎ 所以命题为真：‎ 由 ‎（当且仅当，即时取等号.）‎ 所以命题为真：‎ ‎（2）因为命题与真假相同 ‎①若与同为真：则，∴.‎ ‎②若与同为假，则，∴.‎ 综上：或.‎ ‎17.解：（1）因为（）‎ 当时，，‎ 当时，，对适用 所以 所以 所以 ‎（2）因为 所以 故从而的最小值为 ‎18.解：（1）由题意知：每件产品的销售价格为 所以 ‎（）‎ 所以（）‎ ‎（2）由 当且仅当，即时取等号.‎ 又 当时，当时，有最大值；‎ 当时，易证关于为增函数，所以时，有最大值；‎ 答：当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大；‎ 当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大.‎ ‎19.解：（1）因为.‎ 故，即，所以 故数列为等比数列，且，所以 ‎（2） ‎ ‎，故数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 易求出 ‎①‎ 以上两式相减得：‎ 所以 ‎②证明：由且，知，‎ 对于给定的，若存在，，且，，‎ 只需 只需 取，则 所以对于数列中的任意一项，‎ 都存在与，使得，‎ 即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.‎ ‎20.解：（1）因为，恒成立，‎ 令 ，则 所以，解得 ‎（2）对任意，，‎ ‎（3）对称轴，由不等式恒成立得且 因为，当，即时，则，在为减函数.‎ 由题意知：‎ 由且 解得：‎ 所以时，‎ 当，即时，则总成立 由题意得：，在为减函数.‎ 在为增函数，‎ 又，则，‎ 由，解得 所以时，‎ 综上 数学（加试）参考答案 ‎21.解：由逆矩阵公式，‎ 则 ‎22.解：设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由可解得：，，‎ 又，‎ 所以 ‎23.解：（1），原不等式的解为 ‎（2），原不等式可化为 方程的解为和 ‎①原不等式的解为：或 ‎②‎ 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当，原不等式的解集为 综上：当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 ‎24.解：（1）由与的等差中项为得，①‎ 当时，②‎ ‎①②得，，有因为在①中令，得 是以，公比为的等比数列 数列的通项公式为 ‎（2）原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；当为偶数时，等价于恒成立，令，，则等价于对恒成立 故在上递增 故即故正整数的最大值为 ‎（3）由及 得，‎ 当时，；当时，‎ ‎，，，，‎ 由集合恰有个元素，得