北京师范大学附中2018-2019学年高一（国际班）下学期期末考试数学试题

北京师范大学附中2018-2019学年高一（国际班）下学期期末考试数学试题

北京师大附中 2018-2019 学年下学期高一年级期末考试 数学试卷 AP 一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案 填在答题纸上。 1.一个圆柱的母线长为 5，底面半径为 2，则圆柱的轴截面的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是矩形， 由题意知该矩形的长、宽分别为 ，根据矩形面积公式可得结果. 详解：因为圆柱的轴截面是矩形， 由题意知该矩形的长是母线长 ， 宽为底面圆的直径 ， 所以轴截面的面积为 ，故选 B. 点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题. 2.经过平面 α 外两点，作与 α 平行的平面，则这样的平面可以作 (　　) A. 1 个或 2 个 B. 0 个或 1 个 C. 1 个 D. 0 个 【答案】B 【解析】 若平面 α 外的两点所确定的直线与平面 α 平行，则过该直线与平面 α 平行的平面有且只有 一个；若平面 α 外的两点所确定的直线与平面 α 相交，则过该直线的平面与平面 α 平行的 平面不存在;故选 B. 3. 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5,4 5 4 4 5 20× = 3 2 3 3 3 4 3 【解析】 三棱锥的表面积为四个边长为 1 的等边三角形的面积和，故 。选 A。 4.已知直线 平面 ，直线 平面 ，下列四个命题中正确的是（ ）． （ ） （ ） （ ） （ ） A. （ ）与（ ） B. （ ）与（ ） C. （ ）与（ ） D. （ ）与 （ ） 【答案】D 【解析】 ∵直线 l⊥平面 α，若 α∥β，则直线 l⊥平面 β，又∵直线 m⊂平面 β，∴l⊥m，即(1)正确； ∵直线 l⊥平面 α，若 α⊥β，则 l 与 m 可能平行、异面也可能相交，故(2)错误； ∵直线 l⊥平面 α，若 l∥m，则 m⊥平面 α，∵直线 m⊂平面 β，∴α⊥β；故(3)正确； ∵直线 l⊥平面 α，若 l⊥m，则 m∥α 或 m⊂α，则 α 与 β 平行或相交，故(4)错误； 故选 D. 5.若平面 ∥平面 ，直线 ∥平面 ,则直线 与平面 的关系为( ) A. ∥ B. C. ∥ 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线 与平面 的位置关系. 【详解】设平面 为长方体的上底面，平面 为长方体的下底面， 因为直线 ∥平面 ，所以直线 通过平移后，可能与平面 平行，也可能平移到平面 234 ( 1 )4S = × ×表面 3= l ⊥ α m ⊂ β 1 l mα β ⇒ ⊥ 2 l mα β⊥ ⇒  3 l m α β⇒ ⊥ 4 l m α β⊥ ⇒  1 2 3 4 2 4 1 3 α β a α a β a β a ⊂ β a β a ⊂ β a Aβ∩ = a β α β a α a β β 内，所以 ∥ 或 . 【点睛】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力. 6.经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 无数个 D. 1 个或无 数个 【答案】D 【解析】 【分析】 讨论平面 外一点和平面 内一点连线，与平面 垂直和不垂直两种情况. 【详解】（1）设平面 为平面 ，点 为平面 外一点，点 为平面 内一点， 此时，直线 垂直底面，过直线 的平面有无数多个与底面垂直； （2）设平面 为平面 ，点 为平面 外一点，点 为平面 内一点， 此时，直线 与底面不垂直，过直线 的平面，只有平面 垂直底面.综上，过 平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 1 个或无数个，故选 D. 【点睛】借助长方体研究空间中线、面位置关系问题，能使问题直观化，降低问题的抽象性. 7.如果直线 与平面 不垂直，那么在平面 内（ ） A. 不存在与 垂直 直线 B. 存在一条与 垂直的直线 C. 存在无数条与 垂直的直线 D. 任意一条都与 垂直 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线 l 与平面 不垂直，必然会有一条直线与其垂直，而所有与该直线平行直 的 a β a ⊂ β α α α α α α ABCD α 1A α A α 1AA 1AA ABCD α 1B α A α 1AB 1AB 1 1ABB A α α α l α α l l l l α 线也与其垂直，因此选 C 8.正四棱柱的高为 3cm,体对角线长为 cm,则正四棱柱的侧面积为( ) A. 10 B. 24 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 设正四棱柱 ，设底面边长为 ，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一 顶点出发的三条棱的平方和，可得关于 的方程. 【详解】如图，正四棱柱 ，设底面边长为 ， 则 ，解得： ， 所以正四棱柱 侧面积 . 【点睛】本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体 的侧面积计算. 二、填空题:请将答案填在答题纸上。 9.圆台两底面半径分别为 2 cm 和 5 cm，母线长为 cm，则它的轴截面的面积是 ________cm2. 【答案】63 【解析】 【分析】 首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果. 详解】画出轴截面， 的 【 17 1 1 1 1ABCD A B C D− x x 1 1 1 1ABCD A B C D− x 2 2 2 23 ( 17)x x+ + = 2x = 24 (2 3) 24S cm= × × = 3 10 如图，过 A 作 AM⊥BC 于 M， 则 BM＝5－2＝3(cm)， AM＝ ＝9(cm)， 所以 S 四边形 ABCD＝ ＝63(cm2)． 【点睛】本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 10.圆锥的底面半径是 3，高是 4，则圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 分析：由已知中圆锥的底面半径是 ，高是 ，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长， 代入圆锥侧面积公式 ，即可得到结论. 详解： 圆锥的底面半径是 ，高是 ， 圆锥的母线长 ， 则圆锥侧面积公式 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属 于简单题. 11.平面 ⊥平面 , , ， ，直线 ，则直线 与 位置关系是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】 利用面面垂直的性质定理得到 平面 ，又直线 ，利用线面垂直性质定理得 的 2 2AB BM− ( )4 10 9 2 + × 15π 3 4 S rlπ=  3r = 4h = 5l = 15S rlπ π= = 15π α β lα β = n β⊂ n l⊥ m α⊥ m n //m n n ⊥ α m α⊥ . 【详解】在长方体 中，设平面 为平面 ，平面 为平面 ， 直线 为直线 ，由于 ， ，由面面垂直的性质定理可得： 平面 ， 因为 ，由线面垂直的性质定理，可得 . 【点睛】空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质 定理进行求解. 12.正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ． 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 可 得 ： 该 三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 都 为 ， 所 以 三 棱 锥 的 体 积 . 考点：三棱锥的体积公式. 13.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5 ，且它的 8 个顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积是 【答案】 【解析】 【分析】 利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果. 【详解】本题主要考查空间几何体的表面积与体积。 //m n 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1ADD A α ABCD β AD l n β⊂ n l⊥ n ⊥ α m α⊥ //m n 2 3 50π 长方体的体对角线是长方体外接球的直径, 设球的半径为 ，则 , 可得 ，球的表面积 故答案为 . 【点睛】本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题. 14.正六棱柱底面边长为 10,高为 15,则这个正六棱柱的体积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 正六棱柱是底面为正六边形的直棱柱，利用 计算可得结果. 【详解】因为正六棱柱底面边长为 10，所以其面积 ， 所以体积 . 【点睛】本题考查正六棱柱的概念及其体积的计算，考查基本运算能力. 三、解答题:写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，在三棱锥 中， 垂直于平面 ， .求证： 平面 . 【答案】证明见解析 【解析】 分析：由线面垂直的性质可得 ，结合 ，利用面面垂直的判定定理可得 R 2 2 2 2(2 ) 3 4 5 50R = + + = 5 2 2R = 24 50Rπ π= 50π 2250 3 V S h= ⋅ 216 ( 10 sin60 ) 150 32S = ⋅ ⋅ ⋅ = 150 3 15 2250 3V S h= ⋅ = ⋅ = P ABC− PA ABC AC BC⊥ BC ⊥ PAC PA BC⊥ AC BC⊥ 平面 . 详解：∵ 面 ， 在面 内， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ 面 . 点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面 面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 16.已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点， 且ＥＨ∥Ｆ Ｇ．求证：EH∥BD. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】证明： 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 平面 ABD, 平面 平面 , . 17.已知 是圆的直径， 垂直圆所在的平面, 是圆上任一点．求证:平面 ⊥平面 . BC ⊥ PAC PA ⊥ ABC BC ABC PA BC⊥ AC BC⊥ PA AC A∩ = BC ⊥ PAC ( || , )a b a bα α⊥ ⇒ ⊥ ( ), ||a aα α β β⊥ ⇒ ⊥ EH ⊄ BCD FG ⊂ BCD //EH FG / /EH BCD EH ⊂ ABD ∩ BCD BD= / /EH BD∴ AB PA C ABC PAC 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 先证直线 平面 ，再证平面 ⊥平面 . 【详解】证明: ∵ 是圆的直径， 是圆上任一点， ， ， 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 ⊥平面 . 【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理 应用，考查垂直关系的 简单证明. 的 BC ⊥ PAC ABC PAC AB C ∴ 90ACB∠ =  ∴ BC AC⊥  PA ⊥ ABC BC ⊂ ABC ∴ BC PA⊥ PA AC A= ∴ BC ⊥ PAC BC ⊂ ABC ∴ ABC PAC