数学（文）（提高卷）卷·2018届天津市静海一中高三12月学生学业能力调研考试（2017

数学（文）（提高卷）卷·2018届天津市静海一中高三12月学生学业能力调研考试（2017

静海一中2017-2018第一学期高三数学（文12月）提高卷 ‎1.(15分) 给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m (m≥3，m∈N) 阶子数列，且b1＝(k为常数，k∈N，k≥2)，求证：m≤k＋1；‎ ‎（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m (m≥3，m∈N) 阶子数列，‎ 求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－．‎ ‎[]‎ ‎ 2.(15分)已知函数是定义在，，上的奇函数，当，时, （）.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，，，求证：当时，恒成立；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使得当，时，的最小值是？如果存在，‎ ‎ 求出实数的值；如果不存在，请说明理由. ‎ ‎[]‎ 答案:‎ 解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．‎ 又因为a2＝，a3＝，a6＝，‎ 代入得－＝－，解得a＝0．‎ ‎（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．‎ 因为b1＝，所以b2≤，‎ 从而d＝b2－b1≤ －＝－．‎ 所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．‎ 又因为bm＞0，所以－＞0．‎ 即m－1＜k＋1．所以m＜k＋2．‎ 又因为m，k∈N，所以m≤k＋1．‎ ‎（3）设c1＝ (t∈N)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．‎ 因为c2≤，所以q＝≤．‎ 从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N）．‎ 所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋ ‎＝[1－] ‎ ‎＝－．‎ 设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N）．‎ 当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．‎ 因为当t∈N，所以1＜≤2．所以f()≤2－．‎ 即c1＋c2＋…＋cm≤2－．‎ ‎（Ⅰ）解：设，则，所以，‎ 又因为是定义在上的奇函数，所以， ‎ 故函数的解析式为. …………3分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：当且时，‎ ‎，，设，‎ 因为，‎ 所以当时，，此时单调递减；‎ 当时，，此时单调递增，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以当时，，此时单调递减，‎ 所以，‎ 所以当时，即. …………8分 ‎（Ⅲ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是，[]‎ 则， …………9分 ‎（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，‎ ‎，不满足最小值是，‎ ‎（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，‎ ‎，也不满足最小值是，‎ ‎（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数，[]‎ 所以，解得（舍去），[]‎ ‎（ⅳ）当时，则当时，，此时函数 是减函数；当时，，此时函数是增函数，‎ 所以，解得， …………13分 综上可知，存在实数，使得当时，有最小值. ………14分