数学理卷·2018届河南省南阳市高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届河南省南阳市高三上学期期末考试（2018

‎2017秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是关于的方程 （）的一个根，则（ ）‎ A．-1 B．1 C．-3 D．3‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知各项均为正数的等比数列，，若，则（ ）‎ A． B． C．128 D．-128‎ ‎6．已知：，则目标函数（ ）‎ A．， B．，‎ C．，无最小值 D．，无最小值 ‎7．设，、，且，则下列结论必成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输出的值是，则的值可以为（ ）‎ A．2014 B．2015 C．2016 D．2017‎ ‎10．我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：①作一个正方形 ‎；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作；④以为圆心，以长为半径作交于，则为黄金三角形。根据上述作法，可以求出（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线：（），过其焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则的值是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎12．已知：，若方程有唯一的实数解，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13． （小数点后保留三位小数）．‎ ‎14．已知向量，，，若，则与的夹角的大小是 ．‎ ‎15．已知：，则的取值范围是 ．‎ ‎16．在四边形中，，，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长= ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知数列的前项和为，且满足（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎18． 如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形1沿折起如图2所示，连接、、．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的正弦值．‎ ‎19． 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ 直径/mm ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．‎ ‎（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：①．②．③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备的性能等级．‎ ‎（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品 ‎①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；‎ ‎②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．‎ ‎20． 平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点、．‎ ‎①求证：；‎ ‎②求面积的最大值．‎ ‎21． 已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当时，．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：与不可能同时成立．‎ ‎2017秋期终高三数学试题（理）答案 一、选择题 ‎1-5:CADBB 6-10:CDBCB 11、12：AB 二、填空题 ‎13．1.172 14．120° 15． 16．1‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）当时，，解得．‎ 当时，，，‎ 两式相减得，化简得，‎ 所以数列是首项为-1，公比为-1的等比数列，‎ 可得．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当为偶数时，，；‎ 当为奇数时，为偶数，．‎ 所以数列的前项和．‎ ‎18．证明：（1）取的中点，连接，，，‎ ‎∵在平行四边形中，，，，‎ ‎、分别为、的中点，‎ ‎∴，为正三角形，‎ 则，，又∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面 ‎∴；‎ ‎（2）∵，，，、分别为、的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，则，‎ 则三角形为直角三角形，则，‎ 以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 则 则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 令，则，，即，‎ 则 ‎∴二面角的正弦值是.‎ ‎19．解：（1），‎ ‎，‎ 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；‎ ‎（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06．‎ ‎①由题意可知，于是 ‎②由题意可知的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故 ‎20．解：（1）由题意可得，‎ 令，可得，即有，‎ 又，所以，．‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）①当时，显然，满足题意；‎ 当时，设，，直线方程为，‎ 代入椭圆方程，整理得，‎ 则，所以．‎ ‎，‎ 则 ‎．‎ 则，即；‎ ‎②‎ 当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．‎ 则面积的最大值是．‎ ‎21．解析：（1）因为，故，故①；‎ 依题意，；又，‎ 故，故②，‎ 联立①②解得，；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 要证，即证；‎ 令，‎ 令，，，，故，‎ 在上单调增加，在单调减少。‎ 而，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 故当时，；‎ 而当时，，故函数 所以，当时，，即.‎ ‎22．解：（1）由得，化为直角坐标方程为 （2） 将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得 （）‎ 由，故可设是方程（）的两根，‎ ‎∴‎ 又直线过点，故结合的几何意义得：‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎23．解：（1）∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 由题设条件知，‎ ‎∴．‎ 证明：（2）∵，而，故.‎ 假设与同时成立．‎ 即与同时成立,‎ ‎∵，，则，，∴，这与矛盾，‎ 从而与不可能同时成立．‎