高考数学专题复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

高考数学专题复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

‎1.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 ‎1、现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　)‎ A．56 B．65‎ C． D．6×5×4×3×2‎ ‎2、某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)‎ A．14 B．‎16 ‎ C．20 D．48‎ ‎3、有4名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这4名高中毕业生报名的方案数为(　　)‎ A．12 B．‎7 ‎ C．34 D．43‎ ‎4、集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，…，9}且PQ，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点，则这样的点的个数是(　　)‎ A．9 B．‎14 ‎ C．15 D．21‎ ‎5、二年级(1)班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生作代表参加学校组织的社会调查团，则选取代表的方法种数为(　　)‎ A．94 B．2 ‎128 ‎ C．684 D．56‎ ‎6、有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、可亮绿灯、可不亮灯，则共可以出的不同信号有(　　)‎ A．25种 B．52种 C．35种 D．53种 ‎7、从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有(　　)‎ A．12种 B．19种 C．32种 D．60种 二、填空题 ‎8、加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．‎ ‎9、将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为________．‎ ‎10、在由0,1,3,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有________个．‎ 三、解答题 ‎11、书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有6本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书．‎ ‎(1)从这些书中任取1本，有多少种不同的取法？‎ ‎(2)从这些书中任取1本数学书，1本语文书，1本英语书共3本书的不同的取法有多少种？‎ ‎(3)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法．‎ ‎12、用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？‎ ‎13、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同的选法？‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[每位同学可自由选择5个讲座中的其中1个讲座，故6名同学的安排可分6‎ 步进行，每步均有5种选择，因此共有56种不同选法．]‎ ‎2、B　[按题意分成两类：‎ 第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，‎ 由分步乘法计数原理知有N1＝2×6＝12(种)情况；‎ 第二类：3人全来自其余4家企业，有4种情况．‎ 综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(种)情况．]‎ ‎3、C　[4名高中毕业生报考3所大学，可分4步，每步有3种选择，则这4名高中毕业生报名的方案数为3×3×3×3＝34.]‎ ‎4、B　[当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共7个点；‎ 当x＝y时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共7个点．‎ ‎∴这样的点共有7＋7＝14(个)．]‎ ‎5、C　[男生为38人，女生为18人，‎ 第1步从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；‎ 第二步从女生18人中任选1人，有18种不同的选法．‎ 只有上述两步完成后，才能完成从男生中和女生中各选1名代表这件事，‎ 根据分步乘法计数原理共有38×18＝684(种)选取代表的方法．]‎ ‎6、C　[一个窗有3种可能情况(红、绿、不亮)，每个窗出现一种情况的方法种数为3×3×3×3×3＝35(种)，即为表示的不同信号．]‎ ‎7、B　[从甲地到乙地有两类方案：甲地直达乙地，甲地经丙地到乙地，‎ 共有4＋3×5＝19(种)方法．]‎ 二、填空题 ‎8、120‎ ‎9、120‎ 解析　如右图，若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选，则不同染色方法共有5×4×3×2＝120(种)．‎ ‎10、10‎ 解析　先考虑个位和千位上的数，‎ 个位数字是0的有3×2×1＝6(个)，个位数字是5的有2×2×1＝4(个)，‎ 所以共有10个．‎ 三、解答题 ‎11、解　(1)因为共有17本书，从这些书中任取1本，共有17种取法．‎ ‎(2)分三步：第一步，从6本不同的数学书中取1本，有6种取法；‎ 第二步，从6本不同的语文书中取1本，有6种取法；‎ 第三步：从5本不同的英语书中取1本，有5种取法．‎ 由分步乘法计数原理知，取法总数为N＝6×6×5＝180(种)．‎ ‎(3)实际上是从17本书中任取3本放在三个不同的位置上，完成这个工作分三个步骤，‎ 第一步：从17本不同的书中取1本，放在第一个位置，有17种方法；‎ 第二步：从剩余16本不同的书中取1本，放在第二个位置，有16种方法；‎ 第三步：从剩余15本不同的书中取1本，放在第三个位置，有15种方法；‎ 由分步乘法计数原理知，排法总数为N＝17×16×15＝4080(种)．‎ ‎12、解　完成这件事有三类方法：‎ 第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：‎ 第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；‎ 第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；‎ 第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．‎ 依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；‎ 第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；‎ 第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类，可得有36个．‎ 对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个)．‎ ‎13、解　依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语．‎ 第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时选会日语的有2＋1＝3(种)方法．‎ 由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18(种)．‎ 第二类：从既会英语又会日语的1人中选有1种方法，此时选会日语的有2种方法．‎ 由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2(种)．‎ 综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种)．‎