数学理卷·2018届山东省烟台一中、二中（烟台市）高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届山东省烟台一中、二中（烟台市）高三上学期期中考试（2017

‎2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（　　）‎ A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0]‎ ‎2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎3．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）‎ A．ca＞cb B． C．bac＞abc D．logac＞logbc ‎4．设函数f（x）=，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣1或﹣ B．﹣ C．﹣ D．1或﹣‎ ‎5．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，下列关于y=g（x）的说法正确的是（　　）‎ A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称 C．图象关于点（﹣，0）中心对称 D．图象关于x=﹣轴对称 ‎6．两个非零向量，b满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数f（x）=的图象可能是（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎8．已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=（　　）‎ A．1或 B．﹣1或﹣ C． D．﹣‎ ‎10．设函数f（x）=3cosx，若存在f（x）的非零极值点x0满足x02+f（x0）＜4m，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（1，3） B．（2﹣，2+） C．（3，+∞） D．（2+，+∞）‎ ‎11．已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y=﹣f（x）有四个零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎12．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，‎ 若 ＞x，则下列不等关系成立的是（　　）‎ A．f（2）＜2f（1） B．3f（2）＞2f（3） C．ef（e）＜f（e2） D．ef（e2）＞f（e3）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知=（1，﹣1），=（t，1），若（+）∥（﹣），则实数t=　 　．‎ ‎14．已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若+＞m恒成立，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，‎ f（x）=2x﹣m，则f（2107）=　 　．‎ ‎16．在△ABC中，•=2，其面积为，则sin2A+sin2B的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（12分）已知=（sinx，cos2x），=（cosx，1），x∈R，设f（x）=•．‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=，‎ n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若对一切正整数n都有++…+＜，求实数a的最小值．‎ ‎19．（12分）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，‎ y=a（x﹣3）2+，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y=﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．‎ ‎（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；‎ ‎（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知a为实常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（a≠0）．‎ ‎（1）若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；‎ ‎（2）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．D；2．A；3．D；4．B；5．C；6．D；7．A；8．D；9．D；10．A；11．C；12．C；‎ 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：(1) -----------------------1分 ‎ ---------------3分 令 ------------------4分 得 的单调递增区间为 ------------------6分 ‎（2）由, ‎ 得 ------------------7分 又 ----------------8分所以 所以 ------------------9分 ‎ ------------------11分 ‎ ‎ ‎∴面积的最大值为.　　　　　　　　　　　------------------12分 ‎18.解：（1）当时，满足，‎ 且 ‎∴， ----------------------1分 ‎∴，‎ ‎∵，∴， ------------------2分 ‎∴当时，是公差为的等差数列． -----------------3分 ‎∵，，构成等比数列，∴，，‎ 解得， 　 ------------------4分 又由已知，当时，，‎ ‎∴ -----------------5分 ‎∵，‎ ‎∴是首项，公差的等差数列．‎ ‎∴数列的通项公式． 　 ------------------6分 ‎（2）由（1）可得式-------------8分 ‎∴‎ ‎ ----------------10分 解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 的最小值为 　　　 　 ---------------12分 ‎19.解：（1）由题意： ‎ 时 ，∴，‎ 又∵时，∴,可得, ----------------2分 ‎∴ 　　-----------------4分 ‎（2）由题意：‎ ‎ ------------5分 当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由得或 由得 所以在上是增函数，在上是减函数　　------------------7分 因为 所以时，的最大值为　　　　　　　　　　　------------------9分 当1时，‎ ‎------------------10分 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴时有最大值． 　　　　 ------------------11分 ‎∵，‎ ‎∴当时有最大值，‎ 即当销售价格为元的值，使店铺所获利润最大．　　　　 -----------------12分 ‎20.解：（1），定义域为． ------------------1分 因为　 ------------------3分 因为在处取得极小值 所以 即解得　　 -----------------4分 经检验时，在处取得极小值 ------------------5分 ‎（2）解法一:因为 因为若存在单调递减区间，所以有正数解. ------------------6分 即有的解 ------------------7分 即有的解 ------------------8分 问题等价于 ------------------9分 当且仅当取等号 ‎ ------------------11分 ‎ ------------------12分 解法二：因为 因为若存在单调递减区间，所以有正数解. ------------------6分 即有的解 ------------------7分 当时，明显成立 . ------------------8分 ‎②当时，开口向下的抛物线，‎ 总有的解； ------------------9分 ‎③当时，开口向上的抛物线，‎ 只要方程有正根即可.‎ 因为，‎ 所以方程有两正根.‎ ‎，解得． ------------------11分 综合①②③知：． -------------12分 ‎21. 解：（1）=． -----------------1分 当时，＞0，函数在单调递增； ------------3分 当时，=，‎ 令，解得；令，解得．‎ ‎∴函数的单调递增区间为，单调递减为． --------5分 综上可得：当时，函数在单调递增；‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎． --------------6分 ‎（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，不可能有 两个零点， ------------------7分 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ 此时为函数的最小值，‎ 令 令，得， ‎ ‎∴函数的单调递增区间为，且 ‎∴当时， -----------------9分 令 在上单调递减 即当时， ------------------10分 由于 ----------------11分 当时，函数有两个零点 ----------------12分 ‎22.解：（1）不等式等价于 或或 -----------------3分 解得 ------------------5分 ‎（2）解法一：--------------8分 ‎∵∴，的最大值为1 ----------------10分 解法二：‎ ‎ ------------------8分 ‎∵‎ ‎ ∴，的最大值为1 ------------------10分