数学卷·2018届浙江省温州市平阳二中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届浙江省温州市平阳二中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年浙江省温州市平阳二中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．圆心为（2，﹣1）且经过点（﹣1，3）的圆的标准方程是（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=25 B．（x+2）2+（y﹣1）2=25 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x+2）2+（y﹣1）2=5‎ ‎2．直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为（　　）‎ A．， B．﹣，﹣ C．﹣，﹣ D．，‎ ‎3．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知b是实数，则“b=2”是“3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，则椭圆的标准方程是（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +y2=1 D． +=1‎ ‎6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎8．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，5] B．（﹣1，5） C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）‎ ‎9．当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣3k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（，] C．（0，] D．[，+∞）‎ ‎10．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（　　）‎ A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（2，3）‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11‎ ‎11．过点P（1，﹣2）且垂直于直线x﹣3y+2=0的直线方程为　　．‎ ‎12．设椭圆的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（，0），则椭圆的方程为　　．‎ ‎13．F1、F2是椭圆的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，则△F1AB的周长为　　．‎ ‎14．已知在三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为　　．‎ ‎15．如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是　　．‎ ‎16．椭圆上的点到直线的最大距离是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知直线l1：2ax+y﹣1=0，l2：ax+（a﹣1）y+1=0，‎ ‎（1）若l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎（2）若l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．‎ ‎18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，△PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD ‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥面PAB ‎ ‎（Ⅱ）求侧棱PC与底面ABCD所成的角．‎ ‎19．已知圆心为C的圆过点A（0，﹣6）和B（1，﹣5），且圆心在直线l：x﹣y+1=0上．‎ ‎（1）求圆心为C的圆的标准方程；‎ ‎（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程．‎ ‎20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省温州市平阳二中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．圆心为（2，﹣1）且经过点（﹣1，3）的圆的标准方程是（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=25 B．（x+2）2+（y﹣1）2=25 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x+2）2+（y﹣1）2=5‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=R2，‎ 由圆M经过点（﹣1，3）得R2=25，从而所求方程为（x﹣2）2+（y+1）2=25，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为（　　）‎ A．， B．﹣，﹣ C．﹣，﹣ D．，‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】把直线方程化为斜截式即可得出．‎ ‎【解答】解：直线3x+4y+5=0化为．‎ ‎∴直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为，．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．‎ ‎【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，‎ 由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；‎ 若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．已知b是实数，则“b=2”是“3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出圆的标准方程，利用点到直线的距离等于半径，建立方程求出b的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（1，1），半径R=1，‎ 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d===1，‎ 即|b﹣7|=5，则b﹣7=5或b﹣7=﹣5，‎ 则b=12或b=2，‎ 即“b=2”是“3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，则椭圆的标准方程是（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +y2=1 D． +=1‎ ‎【考点】圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用配方化简x2+y2﹣2x﹣15=0得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可．‎ ‎【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣15=0，‎ ‎∴（x﹣1）2+y2=16，‎ ‎∴r=4=2a，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∵e=，∴c=1，∴b2=3．‎ 故选A ‎　‎ ‎6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．‎ ‎【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，‎ ‎∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，‎ 又A1D=A1B=DB=AB，‎ 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．‎ ‎【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，‎ ‎∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，‎ ‎∵n⊥β，‎ ‎∴n⊥l．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，5] B．（﹣1，5） C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）‎ ‎【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线PA的斜率为 k1==5，直线PB的斜率为 k2==﹣1，‎ 结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是 k2≤k≤k1，‎ 即则直线l的斜率k的取值范围是[﹣1，5]，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣3k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（，] C．（0，] D．[，+∞）‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由条件化简可得半圆（图中红线）和直线有两个相异的交点，如图所示，求出NA、BC的斜率，可得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：曲线y=1+，即x2+（y﹣1）2=9（y≥1），‎ 表示以M（0，1）为圆心，半径等于3的一个半圆．‎ 直线kx﹣y﹣3k+4=0即 k（x﹣3）﹣y+4=0，经过定点N（3，4）．‎ 再根据半圆（图中红线）和直线有两个相异的交点，如图所示：‎ 由题意可得，A（﹣3，1）、B（﹣3，1）、C（0，4），‎ 直线NC和半圆相切，NA和半圆相较于两个点．‎ 求得NA的斜率为 =，NC的斜率为0，‎ 故所求的实数k的范围为（ 0，]，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（　　）‎ A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（2，3）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1，利用点到直线的距离公式求出d的值，解 不等式求得半径r的取值范围．‎ ‎【解答】解：设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1．‎ 即r﹣1＜＜r+1，解得 1＜r＜3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11‎ ‎11．过点P（1，﹣2）且垂直于直线x﹣3y+2=0的直线方程为　3x+y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣3y+2=0垂直的直线方程为3x+y+c=0，再把点（1，﹣2）代入，即可求出c值，得到所求方程．‎ ‎【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣3y+2=0垂直，∴设方程为3x+y+c=0‎ ‎∵直线过点（1，﹣2），‎ ‎∴3×1﹣2+c=0‎ ‎∴c=﹣1‎ ‎∴所求直线方程为3x+y﹣1=0．‎ 故答案为3x+y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎12．设椭圆的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（，0），则椭圆的方程为　+y2=1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的性质求出椭圆的几何量，求解椭圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（，0），‎ 可得a=，c=，则b=1．‎ 则椭圆的方程为： +y2=1．‎ 故答案为： +y2=1．‎ ‎　‎ ‎13．F1、F2是椭圆的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，则△F1AB的周长为　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】确定椭圆的几何量，利用椭圆的定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：椭圆中a=2．‎ 根据椭圆的定义，可知△F1AB的周长为|F1A+|F1B|+|AB|=4a=8‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎14．已知在三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为　　．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先作出异面直线所成的角，再在三角形中求解．‎ ‎【解答】解：取AC的中点O，连接OM、ON．‎ ‎∵M为BC的中点，‎ ‎∴OM∥AB且OM=AB；‎ ‎∴∠OMN为异面直线AB、MN所成的角，‎ 又∵AB⊥CD，AB=CD，‎ ‎∴OM=ON，OM⊥ON，‎ ‎∴△OMN为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OMN=‎ 故答案是：‎ ‎　‎ ‎15．如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是　②③④　．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，‎ ‎①，依题意，GH∥AD，而AD与EF异面，从而可判断GH与EF不平行；‎ ‎②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线；‎ ‎③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角；‎ ‎④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直．‎ ‎【解答】解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：‎ 对于①，G、H分别为DE、BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；‎ 对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）；‎ 对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；‎ 对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，‎ 而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③④，‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆上的点到直线的最大距离是　　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】利用椭圆的参数方程来解，根据椭圆的标准方程，得到椭圆的参数方程，所以可设椭圆上的任意一点坐标为（4cosα，2sinα），代入点到直线的距离公式，化简为一角一函数．再根据正弦函数的有界性求出最大值即可．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程为，‎ ‎∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（4cosα，2sinα）‎ ‎∴P到直线的距离d=‎ ‎=‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴d的最大值为 ‎　‎ 三．解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知直线l1：2ax+y﹣1=0，l2：ax+（a﹣1）y+1=0，‎ ‎（1）若l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎（2）若l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．‎ ‎（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值，则根据两平行线之间的距离公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，l1与l2不垂直 当a≠1时，l1⊥l2 时，‎ ‎∴（﹣2a）•（）=﹣1，‎ 解得a=﹣1或，‎ ‎（2）由题意得a≠1，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴﹣2a=，解得a=0或a=‎ 当a=0时，l1与l2重合，‎ 当a=时，l1为3x﹣y﹣1=0，l2为3x﹣y+2=0，‎ ‎∴d==‎ ‎　‎ ‎18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，△PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD ‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥面PAB ‎ ‎（Ⅱ）求侧棱PC与底面ABCD所成的角．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理，结合已知可证得BC⊥侧面PAB；‎ ‎（Ⅱ）在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB．垂足为E，连接EC，根据线面所成角的定义可知∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，在Rt△PEC中，求出此角即可．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面PAB垂直于底面ABCD，‎ 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，‎ 在矩形ABCD中，BC⊥AB，‎ ‎∴BC⊥侧面PAB．‎ 解：（Ⅱ）在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB．垂足为E，连接EC，‎ ‎∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，PE⊥AB．‎ ‎∴PE⊥底面ABCD．于是EC为PC在底面ABCD内的射影，‎ ‎∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，‎ 在△PAB和△BEC中，易求得PE=，‎ 在Rt△PEC中，∠PCE=45°‎ 故所求线面角为45°‎ ‎　‎ ‎19．已知圆心为C的圆过点A（0，﹣6）和B（1，﹣5），且圆心在直线l：x﹣y+1=0上．‎ ‎（1）求圆心为C的圆的标准方程；‎ ‎（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设圆的标准方程，用待定系数的方法，求得圆的方程；（2）点斜式设出直线方程，圆心到切线的距离等于半径，得到方程，注意斜率不存在的情况．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 解：（1）设所求的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2‎ 依题意得：…‎ 解得：a=﹣3，b=﹣2，r2=25‎ 所以所求的圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2=25…‎ ‎（2）设所求的切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣8=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+8=0‎ 又圆心C（﹣3，﹣2）到切线的距离 又由d=r，即，解得…‎ ‎∴所求的切线方程为3x﹣4y+26=0…‎ 若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求．‎ ‎∴综上所述，所求的切线方程为x=2或3x﹣4y+26=0…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=．由=，即可解得m．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，‎ 解得，c=1，a=2．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．‎ ‎∴圆心到直线l的距离d=，‎ 由d＜1，可得．（*）‎ ‎∴|CD|=2==．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，‎ 化为x2﹣mx+m2﹣3=0，‎ 可得x1+x2=m，．‎ ‎∴|AB|==．‎ 由=，得，‎ 解得满足（*）．‎ 因此直线l的方程为．‎