数学理卷·2018届内蒙古包头三十三中高二下学期期中考试（2017-05）
包33中2016～2017学年度第二学期期中Ⅱ考试
高二年级数学（理）试卷
命题人： 韩飞 2017年5月22日
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每题只有一个正确答案)
1．已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为( )
A．8 B．4 C．2 D．3
2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是( )
A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β C．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α
3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋ C.＋ D.＋＋
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )
A. B.
C．1 D.
7．函数y＝x2ex的图像大致( )
8．已知点F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，在此椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝2|PF2|，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于( )
A．－2 B．2 C．－ D .
10．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
11. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A. B. C．3 D．2
12．已知函数y＝f(x)对任意的x∈(－，)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A.f(－)
2f() D．f(0)>f()
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13.动圆与定圆A：外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是 。（填椭圆，双曲线，抛物线中的一种）
14.若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 。
15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12
成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，______，成等比数列．
16.F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
三、简答题(共70分),写出必要的解题过程.
17．(本题满分10分)
已知函数
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间上[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
18．(本题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
19. (本题满分12分)
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长．
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
20. (本题满分12分)
如图，在四棱锥A－EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．
(1)求证：AO⊥BE；
(2)求二面角F－AE－B的余弦值；
21. (本题满分12分)
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点K(－1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛的线C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设·＝，求直线l的方程．
22. (本题满分12分)
已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；
(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理
包33中2016~2017学年度第二学期期中Ⅱ考试
高二年级数学（理）试卷答案
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
B
D
A
C
C
C
C
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13. 抛物线 ； 14. ；
15 ， ； 16 ；
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17【解析】 (1)f′(x)＝-3x2+6x+9.
令f′(x)<0，解得x<-1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(3，+∞)．增区间为（-1，3）
(2)因为f(-2)＝8+12-18+a＝2+a，f(2)＝-8+12+18+a＝22+a，所以f(2)>f(-2)．
因为在(-1，3)上f′(x)>0，所以f(x)在[-1，2]上单调递增，
又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值．
于是有22+a＝20，解得a＝-2
故f(x)＝-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)＝1+3-9-2＝-7，
即f(x)函数在区间[-2，2]上的最小值为-7.
【答案】 (1)减区间为(-∞，-1)，(3，+∞) (2)-7
18. 【解析】 (1)由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN.
由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，
＝(0，2，－4)，＝(，1，－2)，＝(，1，2)．
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即
eq lc{(avs4alco1(2y－4z＝0，,f(
(5),2)x＋y－2z＝0，))
可取n＝(0，2，1)．于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
【答案】 (1)略 (2)
19. 【解析】 (1)由已知得b＝4，且＝，即＝.
∴＝，解得a2＝20.∴椭圆方程为＋＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立．消去y，得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝.
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知＝2.
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)．故得x0＝3，y0＝－2，
即得Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1.
以上两式相减，得＋＝0.
∴kMN＝＝－·＝－×＝.
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.
20. 【解析】 (1)因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.
又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，
所以AO⊥平面EFCB，所以AO⊥BE.
(2)取BC中点G，连接OG.
由题设知EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.
由(1)知AO⊥平面EFCB，又OG⊂平面EFCB，所以OA⊥OG.
如图建立空间直角坐标系O－xyz，
则E(a，0，0)，A(0，0，a)，B(2，(2－a)，0)，
＝(－a，0，a)，＝(a－2，(a－2)，0)．
设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，
则可得
令z＝1，则x＝，y＝－1.于是n＝(，－1，1)．
平面AEF的法向量为p＝(0，1，0)．
所以cos＝＝－.
由题知二面角F－AE－B为钝角，所以它的余弦值为－.
21. 答案 (1)y2＝4x (2)3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0
解析 (1)依题意知－＝－1，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)．
将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.
由Δ>0，得m2>1，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.
所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1.
因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，
故8－4m2＝，解得m＝±满足m2>1.
所以直线l的方程为x＝±y－1.
即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.
22. 【解析】 (1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，
∴当00，此时f(x)单调递增．
∴f(x)的极小值为f(1)＝1.
(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，
∴[f(x)]min＝1.又g′(x)＝，
∴当00，g(x)在(0，e]上单调递增．
∴[g(x)]max＝g(e)＝<.
∴[f(x)]min－[g(x)]max>.
∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
(3)假设存在正实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，
则f′(x)＝a－＝.
①当0<
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