数学理卷·2018届福建省宁德市高三第一次质量检查（1月）（2018

数学理卷·2018届福建省宁德市高三第一次质量检查（1月）（2018

‎2018届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 理 科 数 学 本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至2页，第II卷3至5页，满分150．‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数对应复平面上的点，复数满足，‎ 则 A． B． C． D．‎ ‎3．若，则 A． B． C． D．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为 A． B． C． D． ‎ ‎5．设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为 A． B． C． D． ‎ ‎6．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将 正视图 侧视图 俯视图 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有 A．15种 B．18种 ‎ ‎　 C．20种 D．22种 ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知，则 A． B． C． D． ‎ ‎9．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎10．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有 A． B． C． D．‎ ‎11．函数()，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是 A． B． C． D．‎ ‎12．设函数存在零点，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 理 科 数 学 第II卷 ‎ 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效．‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量，的夹角为，，，则__________．‎ ‎14．若双曲线的右焦点关于其中一条渐近线的对称点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率=________．‎ ‎15．若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．‎ ‎16．设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前和为，若，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，； ‎ A B C D F ‎•‎ A C B F ‎（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 正北方向 ‎ A B C D E 如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．‎ ‎ （Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？‎ ‎（Ⅱ）现测得，．已知速度为 海里/小时()的小艇每小时的总费用为 ‎()元，若小张由岛直接乘小艇去市，‎ 则至少需要多少费用？ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为,．过且斜率为的直线与椭圆相交于点,．当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的方程．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数有最大值，，且是 的导数．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当，时，．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎　　在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知,是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知，‎ ‎（Ⅰ）若 ，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若时，的解集为空集，求的取值范围． ‎ ‎2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎　1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D ‎　7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎　13． 14． 15． 16． ‎ 附部分试题解答：‎ ‎10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．‎ ‎11．可知，函数的对称中心为. 对任意，都有，知对称轴是，可知，故b=0．‎ ‎12． 令，得，‎ 设，条件转化为与的图象在上有交点，‎ ‎，得在上为增函数，‎ ‎，得.‎ ‎16．依题意可知：，整理得，‎ ‎，方程表示如图一段弧AB，‎ 可表示弧上一点到直线y=-x的距离的平方，‎ 的最小值是8．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ） ， ．………………………………1分 当时，，得．………………………………2分 当时，，‎ ‎，………………………………3分 ‎，即，‎ ‎ ．………………………………4分 数列是等差数列，且首项为，公差为2，………………………………5分 ‎．………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎，——①………………………………7分 ‎，——②………………………………8分 ‎①–②得………………………………9分 ‎，………………………………10分 化简得．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ 设，‎ 解得 ‎，………………………………9分 ‎.………………………………12分 ‎18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ A B C D F 解:（Ⅰ）连结，．‎ 在矩形中，,‎ ‎, ．………………………………1分 在中，∵,‎ ‎，．………………………………2分 ‎∵，‎ ‎，即．………………………………3分 又在中，‎ A C O E B F ‎，………………………………4分 ‎∴在中，,‎ ‎,………………………………5分 又,‎ ‎∴平面．‎ ‎∴．………………………………6分 ‎（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于. 沿着对角线翻折后，‎ 由（Ⅰ）可知，两两垂直，‎ 以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ‎,………………………………7分 平面,‎ 为平面的一个法向量． ………………………………8分 设平面的法向量为 ‎， ,‎ 由得 取则 , ．………………………………10分 ‎ 即,‎ ‎．‎ 当时，二面角的大小是． …………………12分 ‎19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：‎ ‎，，，．‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎, ………………………………2分 所以客轮的航行速度（海里/小时）． ………………………………3分 因为，所以，‎ 所以．‎ 在中，由余弦定理得，，‎ 整理得：，‎ 解得或（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从处到岛所用的时间小时，‎ 小张到岛所用的时间至少为小时．‎ 由于，‎ 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分 ‎（Ⅱ）在中，，,‎ 所以为锐角，，．………………………………7分 所以 ‎．………………………………8分 由正弦定理得，,‎ 所以,………………………………9分 所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为 ‎ (),………………………………10分 当且仅当，即时，（元）………………………………11分 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元． ………………………………12分 ‎ …‎ ‎20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．‎ 解：（Ⅰ）当时，直线轴，‎ 又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，‎ ‎∴四边形为矩形，且．………………………………………………………1分 ‎∴点的坐标为．………………………………………………………2分 又，‎ ‎∴．………………………………………………………3分 设，则．‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ‎ ‎∴，………………………………………………………5分 ‎∴椭圆的方程为．………………………………………………………6分 x y O P M N ‎（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，‎ 设，，得，．…………7分 故 ‎．………………………………9分 又，……………………… 10分 ‎∴，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎∴直线的方程为．………………………………12分 ‎21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，．………………………………1分 当时，，‎ 在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分 当时，令，得，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，………………………………3分 ‎,‎ ‎,………………………………4分 ‎．………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,‎ ‎．‎ ‎，,‎ 在上单调递增． ………………………………6分 又，且,‎ ‎．………………………………7分 ‎,‎ 当时，，单调递增,‎ 要证，即，只要证，即．……………………8分 ‎，,‎ 所以只要证————（*）, ……………9分 设（其中）,‎ ‎,‎ 在（0，1）上为增函数, ………………………………11分 ‎，故（*）式成立，从而．………………………………………12分 ‎22．选修；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：（1）设，，‎ 则由成等比数列，可得，………………………………1分 即，．………………………………2分 又满足，即，………………………………3分 ‎∴，………………………………4分 化为直角坐标方程为．………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题意可得，故，即直线倾斜角为，………………………………6分 ‎∴直线的参数方程为………………………………7分 代入圆的直角坐标方程，‎ 得，………………………………8分 故，，………………………………9分 ‎∴．………………………………10分 ‎23．选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：(1)当时，化为 ， …………1分 当，不等式化为，解得或，‎ 故；…………2分 当时，不等式化为，解得或，‎ 故； …………3分 当，不等式化为，解得或 故； …………4分 所以解集为或． …………5分 ‎(2) 由题意可知，即为时，恒成立． …………6分 当时，，得；…………8分 当时，，得，‎ 综上，．…………10分