2020届高三数学（理）“大题精练”11

2020届高三数学（理）“大题精练”11

‎2020届高三数学（理）“大题精练”11‎ ‎17．已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（1）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎18．为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）．最后该公司共收回份评分表，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：‎ ‎（1）求个样本数据的中位数；‎ ‎（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”．‎ ‎①请根据个样本数据，完成下面列联表：‎ 第 14 页 共 14 页 根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？‎ ‎②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19．如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．‎ 第 14 页 共 14 页 ‎（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．‎ 第 14 页 共 14 页 ‎（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；‎ ‎（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．‎ ‎21．已知函数f(x)=ln(1+x)−‎x(1+λx)‎‎1+x.‎ ‎（Ⅰ）若x≥0‎时，f(x)≤0‎，求λ的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设数列‎{an}‎的通项an‎=1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+⋯+‎‎1‎n，证明：a‎2n‎−an+‎1‎‎4n>ln2‎.‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线l：（t为参数）与曲线E交于A，B两点，‎ ‎（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；‎ ‎（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；‎ 第 14 页 共 14 页 ‎23．已知函数fx=m−‎x+4‎m>0‎，且fx−2‎≥0‎的解集为‎−3,−1‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c都是正实数，且‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c=m，求证：a+2b+3c≥9‎.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎2020届高三数学（理）“大题精练”11（答案解析）‎ ‎17．已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（1）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【解】（1）∵,,∴．‎ 当时,,‎ 两式相减,得,即,‎ ‎∵,．∴．即,即,（）,‎ ‎∴是等比数列,公比,‎ 当时,,即,‎ ‎∴；‎ ‎（2）若,则,即,‎ 则,得 ‎18．为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对 第 14 页 共 14 页 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）．最后该公司共收回份评分表，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：‎ ‎（1）求个样本数据的中位数；‎ ‎（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”．‎ ‎①请根据个样本数据，完成下面列联表：‎ 根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？‎ ‎②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【解】（1）由茎叶图可知：‎ ‎（2）因为，，所以 第 14 页 共 14 页 ‎①由茎叶图值，女性试用者评分不小于的有个，男性试用者评分不小于的有个，根据题意得列联表：‎ 满意型 需改进型 合计 女性 男性 合计 由于 查表得：‎ 所以有的把握认为“认定类型”与性别有关 ‎②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性名，男性名 的所有可能取值为，，‎ 则，，‎ 所以的分布列如下：‎ 第 14 页 共 14 页 所以的数学期望为：‎ ‎19．如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．‎ ‎（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【解】（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点．‎ 理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,‎ ‎∵,∴,‎ 第 14 页 共 14 页 ‎∴．‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴．‎ ‎∴Q是中点．‎ ‎（2）V棱锥棱锥．‎ ‎（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系 则,,,,‎ ‎,,‎ 设面的法向量为,则 取,,即 设与面所成角为 则 化简得 解得或（舍去）‎ 所以存在点Q,且点Q为的中点 第 14 页 共 14 页 ‎20．如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．‎ ‎（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；‎ ‎（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．‎ ‎【解】设,OT与x轴正方向夹角为,则 即 化简得,即P点的轨迹E的方程为 ‎（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为时,原点O至直线l的距离,‎ 即,解得 联立方程得 设,,则,‎ 第 14 页 共 14 页 则 ‎21．已知函数f(x)=ln(1+x)−‎x(1+λx)‎‎1+x.‎ ‎（Ⅰ）若x≥0‎时，f(x)≤0‎，求λ的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设数列‎{an}‎的通项an‎=1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+⋯+‎‎1‎n，证明：a‎2n‎−an+‎1‎‎4n>ln2‎.‎ ‎【解】（Ⅰ）由已知f(0)=0‎，f‎'‎‎(x)=‎‎(1−2λ)x−λx‎2‎‎(1+x)‎‎2‎，f‎'‎‎(0)=0‎.‎ 若λ<‎‎1‎‎2‎，则当‎00‎，所以f(x)>0‎.‎ 若λ≥‎‎1‎‎2‎，则当x>0‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，所以当x>0‎时，f(x)<0‎.‎ 综上，λ的最小值是‎1‎‎2‎.‎ ‎（Ⅱ）证明：令λ=‎‎1‎‎2‎.由（Ⅰ）知，当x>0‎时，f(x)<0‎，即x(2+x)‎‎2+2x‎>ln(1+x)‎.‎ 取x=‎‎1‎k，则‎2k+1‎‎2k(k+1)‎‎>ln(k+1‎k)‎.‎ 于是a‎2n‎−an+‎1‎‎4n=k=n‎2n−1‎‎(‎1‎‎2k+‎1‎‎2(k+1)‎)‎=k=n‎2n−1‎‎2k+1‎‎2k(k+1)‎>k=n‎2n−1‎lnk+1‎k=ln2n−lnn=ln2‎.‎ 所以a‎2n‎−an+‎1‎‎4n>ln2‎.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线l：（t为参数）与曲线E交于A，B两点，‎ ‎（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；‎ ‎（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；‎ ‎【解】（1）根据,进行化简得C：,‎ ‎∴曲线C的参数方程（为参数）,‎ ‎∴,‎ 则的最小值为；‎ ‎（2）∵,∴代入C得∴E：,‎ 将直线l的参数方程（t为参数）,‎ 代入曲线E方程得：,‎ ‎∴,．‎ ‎23．已知函数fx=m−‎x+4‎m>0‎，且fx−2‎≥0‎的解集为‎−3,−1‎ 第 14 页 共 14 页 ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c都是正实数，且‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c=m，求证：a+2b+3c≥9‎.‎ ‎【解】（I）依题意f(x-2)=m-|x+2|≥0‎,即‎|x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m,‎ ‎∴m=1‎ ‎ ‎（II）方法1:∵‎‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c=1(a,b,c>0)‎ ‎∴‎a+2b+3c=(a+2b+3c)(‎1‎a+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c)‎ ‎=3+(a‎2b+‎2ba)+(a‎3c+‎3ca)+(‎2b‎3c+‎3c‎2b)≥9‎ 当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=‎3‎‎2‎,c=1‎时取等号 ‎ 方法2: ∵‎‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c=1(a,b,c>0)‎ ‎∴由柯西不等式得‎3=a⋅‎1‎a+‎2b⋅‎1‎‎2b+‎3c⋅‎‎1‎‎3c ‎‎≤a+2b+3c⋅‎‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎‎1‎‎3c 整理得a+2b+3c≥9‎ 当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=‎3‎‎2‎,c=1‎时取等号.‎ 第 14 页 共 14 页