数学（理）卷·2017届天津市一中高三上学期第三次月考（2016

数学（理）卷·2017届天津市一中高三上学期第三次月考（2016

天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考 ‎ 试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（本卷共8道题,每题5分,共40分）‎ 一、选择题：‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则“”是“”的必要不充分条件 ‎ B．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 ‎ C．若命题“”，则是真命题 ‎ D．命题“，使得”的否定是“”‎ ‎3.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A．5 B．4 C. 3 D．2‎ ‎4.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ）‎ A．的图象上 B．的图象上 ‎ C. 的图象上 D．的图象上 ‎5. 在中，，，分别为角，，所对的边，，，面积，则为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.数列满足，对任意的都有，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知双曲线与抛物线的交点为，直线经过抛物线的焦点，且线段的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．3 C. D．2‎ ‎8.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）‎ 二、填空题：‎ ‎9.若复数（，为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则 ．‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示（单位:），则该几何体的体积是___________．‎ ‎11.若，则二项式的展开式各项系数的和为 ．‎ ‎12.在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.若曲线与相交于两点，则线段的长等于 ．‎ ‎13.是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是 ．‎ ‎14.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （共6题，80分） ‎ ‎15.函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求及图中的值；‎ ‎（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.‎ ‎（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；‎ ‎（2）记实验次数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎17. 如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎18. 已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列.‎ ‎（1）求证:数列是等比数列；‎ ‎（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；‎ ‎（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.‎ ‎19. 已知椭圆的焦距为，其上下顶点分别为，点.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）点的坐标为，过点任意作直线与椭圆相交于点两点，设直线的斜率依次成等差数列，探究之间是否满足某种数量关系，若是，请给出的关系式，并证明；若不是，请说明理由.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（2）令，已知函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-4: DAAD 5-8:BDBA ‎ 二、填空题 ‎9. 10. 11. -1 12.8 13. 14.‎ 三、解答题 ‎15.解：（1）由题图得，所以，因为，故.‎ 由于的最小正周期等于2，所以由题图可知，故，‎ ‎.‎ 当时，.所以，‎ 故，即时，取得最大值；‎ 当，即时，取得最小值.‎ ‎16.解：（1）；‎ ‎（2）∵；；‎ ‎；.‎ ‎∴的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎17.试题解析：依题意，平面，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，.‎ ‎（1）证明：依题意，.‎ 设为平面的法向量，则，即.‎ 不妨设，可得，又，可得，‎ 又因为直线平面，所以平面.‎ ‎（2）解：易证：为平面的一个法向量.‎ 依题意，.‎ 设为平面的法向量，则，即.‎ 不妨设，可得.‎ 因此有，于是，‎ 所以，二面角的正弦值为.‎ ‎（3）解：由，得.因为，所以，有，从而，因此.所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎18.解：（1）证明：由题意可得，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵常数且，‎ ‎∴为非零常数，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（2）当时，，，‎ 所以，‎ 因为，所以是递增数列，‎ 因而最小值为.‎ 由（1）知，，‎ 要使对一切成立，‎ 即对一切恒成立；‎ 当时，，对一切恒成立，‎ 只需.‎ ‎∵单调递增，‎ ‎∴当时，.‎ ‎∴，且，∴.‎ 综上所述，存在实数满足条件.‎ ‎19.解：（1）∵，，，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，解得，∴.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ 离心率.‎ ‎（2）之间满足数量关系.下面给出证明：‎ ①当取，时，，，.‎ ‎∵直线的斜率依次成等差数列，∴，化为：.‎ ②当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，，‎ ‎.‎ 联立，化为：，‎ ‎∴，.‎ ‎，,.‎ ‎∵直线的斜率依次成等差数列，‎ ‎∴，‎ 由于 ‎，‎ ‎∴，化为：.‎ ‎20.解：（1），‎ 时，，，，.‎ 在处的切线方程为.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以，所以.‎ ‎（3）由，解得，，‎ ‎∵，∴.‎ 而在上单调递增，∴在上单调递增.‎ ‎∴在上，.‎ 所以，“存在，使不等式恒成立”等价于“不等式恒成立”，‎ 即，不等式对任意的恒成立.‎ 令，则.‎ ‎.‎ ①当时，，在上递减.‎ ‎，不合题意.‎ ②当时，.‎ 若，记，则在上递减.‎ 在此区间上有，不合题意.‎ 因此有，解得，‎ 所以，实数的取值范围为.‎ ‎、‎