高中数学选修2-2课件2_2_2

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2.2.2 　 反　证　法 问题 引航 1. 反证法的定义是什么 ? 有什么特点 ? 2. 利用反证法证题的关键是什么 ? 步骤是什么 ? 反证法的定义及证题的关键 不成立 假设 错误 原命题成立 已知条件 假设 定义 定理 公理 事实 1. 判一判 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 反证法属于间接证明问题的方法 . 　 ( 　　 ) (2) 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 . 　 ( 　　 ) (3) 反证法的实质是否定结论导出矛盾 . 　 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) 正确 . 反证法其实是证明其逆否命题成立 , 所以它属于间接证明问题的方法 . (2) 错误 . 反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理 . (3) 正确 . 否定结论导出矛盾就是反证法的实质 , 从而肯定原结论 . 答案 : (1)√ 　 (2)× 　 (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 已知 a≠0, 证明关于 x 的方程 ax=b 有且只有一解 , 适宜用 　　　　　 证明 . (2) 用反证法证明命题 “ a,b∈N, 如果 ab 可被 5 整除 , 那么 a,b 至少有一个能被 5 整除 ” , 则假设的内容是 　　　　　 . (3) 用反证法证明命题 “ 如果 a>b, 则 ” 时 , 假设的 内容是 　　　　　 . 【 解析 】 (1) 当直接证明比较困难时 , 可以采用反证法 , 本题即 属于此类型 , 需用反证法证明比较合适 . 答案 : 反证法 (2) “ 至少有一个 ” 的否定是 “ 一个也没有 ” , 即 a,b 至少有一 个能被 5 整除的否定是 a,b 都不能被 5 整除 . 答案 : a,b 都不能被 5 整除 与 的关系有三种情况 : > , = 和 < , 所以 “ > ” 的反设应为 “ = 或 < ” , 即 “ ≤ ” . 答案 : ≤ 【 要点探究 】 知识点 反证法 1. 对反证法的两点说明 (1) 反证法不是直接去证明结论 , 而是先否定结论 , 在否定结论的基础上 , 运用演绎推理 , 导出矛盾 , 从而肯定结论的真实性 . (2) 反证法属逻辑方法范畴 , 它的严谨体现在它的原理上 , 即 “ 否定之否定等于肯定 ” , 其中第一个否定是指 “ 否定结论 ( 假设 ) ” ; 第二个否定是指 “ 逻辑推理的结果否定了假设 ” . 反证法属 “ 间接 解题方 法 ” , 书写格式易错之处是 “ 假设 ” 易错写成 “ 设 ” . 2. 反证法证题的实质、常用的反证方法及应用时的注意点 (1) 实质 : 用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾 , 从而证明原结论正确 . 否定结论时 , 对结论的反面要一一否定 , 不能遗漏 . (2) 常用的反证方法 : 否定一个反面的反证法称为归谬法 , 否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法 . (3) 注意点 : 要注意用反证法证题时 , “ 否定结论 ” 在推理论证中作为已知使用 , 导出矛盾是指在假设的前提下 , 逻辑推理结果与 “ 已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实 ” 等相矛盾 . 【 微思考 】 (1) 用反证法证明命题 “ 若 p, 则 q ” 时 , 为什么 q 假 ,q 就真 ? 提示 : 在证明数学命题时 , 要证明的结论要么正确 , 要么错误 , 二者必居其一 , 所以命题结论 q 的反面 q 错误时 ,q 就一定正确 . (2) 反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗 ? 提示 : 有关 . 反证法的原理为 “ 互为逆否命题的两个命题真假 一致 ” , 即 : “ p⇒q ” ⇔ “ q⇒ p ” . 【 即时练 】 1.(2014 · 西安高二检测 ) 应用反证法推出矛盾的推导过程中 , 要把下列哪些作为条件使用　 ( 　　 ) ① 结论的否定即假设 ;② 原命题的条件 ;③ 公理、定理、定义等 ;④ 原命题的结论 A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 2.(2014· 山东高考 ) 用反证法证明命题：“已知 a,b 为实数，则方程 x 2 +ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A. 方程 x 2 +ax+b=0 没有实根 B. 方程 x 2 +ax+b=0 至多有一个实根 C. 方程 x 2 +ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x 2 +ax+b=0 恰好有两个实根 【解析】 1. 选 C. 由反证法的定义知 , 可把①②③作为条件使用 , 而④原命题的结论是不可以作为条件使用的 . 2. 选 A. “ 方程 x 2 +ax+b=0 至少有一个实根 ” 的反面是 “ 方程 x 2 +ax+b=0 没有实根 . ” 故选 A. 【 题型示范 】 类型一 用反证法证明否定性命题 【典例 1】 (1)(2014 · 广州高二检测 ) 用反证法证明 : “ 若方程 ax 2 +bx+c=0, 且 a,b,c 都是奇数 , 则方程没有整数根 ” , 正确的假设是方程存在实数根 x 0 为　 ( 　　 ) A. 整数 B. 奇数或偶数 C. 自然数或负整数 D. 正整数或负整数 (2) 已知三个正整数 a,b,c 成等比数列 , 但不成等差数列 , 求证 : 不成等差数列 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中所要证明的命题的结论是什么 ? 2. 题 (2) 中 不成等差数列的反设是什么 ? 【 探究提示 】 1. 所要证明的命题的结论是 “ 方程没有整数根 ” . 2. 假设 成等差数列 . 【 自主解答 】 (1) 选 A. 其反设应该是假设方程存在整数根 x 0 . (2) 假设 成等差数列 , 则 即 a+c+2 =4b. 又 a,b,c 成等比数列 , 所以 b 2 =ac, 即 b= , 所以 a+c+2 =4 , 所以 a+c-2 =0, 即 ( ) 2 =0, 所以 , 从而 a=b=c, 所以 a,b,c 可以成等差数列 , 这与已知中 “ a,b,c 不成等差数列 ” 相矛盾 . 原假设错误 , 故 不成等差数列 . 【 方法技巧 】 1. 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可能 ”“ 不存在 ” 等词语的命题称为否定性命题 , 此类问题的正面比较模糊 , 而反面比较具体 , 适合使用反证法 . 2. 用反证法证明数学命题的步骤 【 变式训练 】 若 x,y,z∈(0,2), 求证 :x(2-y),y(2-z),z(2-x) 不可能都大于 1. 【 解题指南 】 此类问题的常用方法是考虑问题的反面 , 即 “ 不都 ” 的反面为 “ 都 ” , 可用反证法来处理 . 【证明】 假设 x(2-y)>1, 且 y(2-z)>1, 且 z(2-x)>1 均成立 , 则三式相乘有 xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1, 　 ① 由于 00, 即 a+b+c>0 与 a+b+c≤0 矛盾 , 所以假设不成立 , 即 a,b,c 中至少有一个大于 0. 【 延伸探究 】 本例题 (1) 改为 “ 任何三角形的内角至少有一个大于或等于 60° ” 的否定为 　　　　　　　　 . 【 解析 】 “ 至少有一个大于或等于 60° ” 的否定是 “ 三个内角都小于 60° ” . 答案 : 存在一个三角形 , 其三个内角都小于 60° 【 方法技巧 】 1. 用反证法证明 “ 若 p, 则 q ” 的过程 2. 应用反证法常见的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 当命题中出现 “ 至多 ”“ 至少 ” 等词语时 , 直接证明不易入手且讨论较复杂 . 这时 , 可用反证法证明 , 证明时常见的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 如下 : 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 0 不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 0 成立 至少有 n 个 至多有 n-1 个 p 或 q p 且 q 至多有 n 个 至少有 n+1 个 p 且 q p 或 q 【 变式训练 】 已知 a,b,c 是互不相等的实数 , 求证 : 由 y 1 =ax 2 +2bx+c,y 2 =bx 2 +2cx+a 和 y 3 =cx 2 +2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点 . 【 证明 】 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点 , 由 y 1 =ax 2 +2bx+c,y 2 =bx 2 +2cx+a,y 3 =cx 2 +2ax+b, 得 Δ 1 =(2b) 2 -4ac≤0, 且 Δ 2 =(2c) 2 -4ab≤0, 且 Δ 3 =(2a) 2 -4bc≤0. 同向不等式求和得 : 4b 2 +4c 2 +4a 2 -4ac-4ab-4bc≤0, 所以 2a 2 +2b 2 +2c 2 -2ab-2bc-2ac≤0. 所以 (a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 ≤0. 所以 a=b=c. 这与题设 a,b,c 互不相等矛盾 , 因此假设不成立 , 从而命题得证 . 【 补偿训练 】 用反证法证明 : 关于 x 的方程 x 2 +4ax-4a+3=0, x 2 +(a-1)x+a 2 =0,x 2 +2ax-2a=0, 当 a≤- 或 a≥-1 时 , 至少有一个方程有实数根 . 【 证明 】 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零 , 得 解得 - ∠BC′D,∠A+∠C>180°, 与∠ A+∠C=180° 矛盾 , 所以假设不成立 ; 若点 C 在☉ O 外 , 则∠ C<∠BC′D,∠A+∠C<180°, 与∠ A+∠C=180° 矛盾 , 所以假设不成立 . 综上所述 , 如果四边形 ABCD 的对角互补 , 那么四边形 ABCD 是圆内接四边形 .