数学理卷·2017届山西省运城市高三上学期期中考试（2016

数学理卷·2017届山西省运城市高三上学期期中考试（2016

山西省运城市2017届高三上学期期中考试 ‎ 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知向量，，若，则实数等于（ ）‎ A． B． C．或2 D．‎ ‎3.已知，且，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若，，则一定有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.函数满足的值为（ ）‎ A．1 B． C．或 D．1或 ‎6.把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ）‎ A． B．C． D．‎ ‎7.函数是偶函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.设向量，满足，，，则（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎9.已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和为（ ）‎ A．9 B．27 C．54 D．72‎ ‎10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ ‎11.已知函数，设，且的零点均在区间内，其中,，，则的最小整数解为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知点在△内部一点，且满足，则△，△，△的面积之比依次为（ ） ‎ A．4：2:3 B．2:3:4 C．4:3:2 D．3:4:5‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若一个幂函数图象过点，则 ．‎ ‎14.设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 ．‎ ‎15.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 ．‎ ‎16.如图，在△中，，，，为△内一点，‎ ‎，，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求函数的最小正周期与单调减区间．‎ ‎18.已知各项均为正数的数列，满足，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎19.在△中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，边上中线，求的面积．‎ ‎20.已知函数，且．　‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对于任意，都有，求的最小值．‎ ‎21.为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一顿二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 ‎100元．‎ ‎（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎22.已知函数．　‎ ‎（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．　‎ 运城市2016-2017学年第一学期期中高三调研测试数学（理）答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C B D A B B B A D A 二、填空题 ‎13.2 14. 15.3 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：．‎ 解得，‎ 所以函数的单调减区间为，．‎ ‎18.解：（1）因为，（），所以，‎ 因为，所以（）．‎ ‎（2）由（1）知，，所以，‎ 所以，①‎ 则，②‎ ‎①②，得，‎ 所以．‎ ‎19.解：（1）∵，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，∴，可知△为等腰三角形，‎ 在△中，由余弦定理，得，‎ 即，∴，‎ ‎△的面积．‎ ‎20.解：（1）对求导，得，‎ 所以，解得．‎ ‎（2）由，得，‎ 因为，所以对于任意，都有．‎ 设，则，‎ 令，解得，‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ 增 极大值 减 所以当时，，‎ 因为对于任意，都有成立，所以，‎ 所以的最小值为．‎ ‎21.解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．‎ ‎（2）设该单位每月获利为，则 ‎，‎ 因为，所以当时，有最大值．‎ 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．‎ ‎22.解：（1）因为点在曲线上，所以，解得．‎ 因为，所以切线的斜率为0，‎ 所以切线方程为．‎ ‎（2）因为，‎ ‎①当时，，，‎ 所以函数在上单调递增，则；‎ ‎②当，即时，，，‎ 所以函数在上单调递增，则；‎ ‎③当，即时，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 则；‎ ‎④当，即时，，，‎ 函数在上单调递减，则．‎ 综上，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎（3）不妨设，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 可得，，‎ 要证明，即证明，也就是，‎ 因为，‎ 所以即证明，‎ 即，‎ 令，则，于是，‎ 令（），‎ 则，‎ 故函数在上是增函数，‎ 所以，即成立，所以原不等式成立．‎