2016-2017学年高二人教A版数学必修五：第二章数列 复习+练习

2016-2017学年高二人教A版数学必修五：第二章数列 复习+练习

第二章　数列 一、数列的概念和性质 ‎1．数列：按照一定顺序排列着的一列数．‎ ‎2．数列的项：数列中的每一个数．‎ ‎3．数列分类：‎ ‎（1）按项数分类：有穷数列、无穷数列（项数无限的数列）．‎ ‎（2）按单调性分类：递增数列（即：an+1＞an）、递减数列（即：an+1＜an）、常数列（即：an+1＝an）、摆动数列（例如1，－1，1，－1）．‎ ‎4．数列的通项公式：表示数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系的公式．‎ ‎5．数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的函数关系的公式．‎ 例1已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·()n，试问n取何值时，an取得最大值？并求出最大值．‎ 解：∵＝＝·＝(1＋)＝＋·．‎ 令≥1，得＋·≥1，‎ 解得n≤7，‎ 当n＝7时，＝1，即a7＝a8；‎ 又n＜7时，＞1，即an＜an＋1；‎ 当n＞8时，＜1，即an＞an＋1；‎ 可见a1＜a2＜…＜a6＜a7＝a8＞a9＞a10＞…；‎ ‎∴当n＝7或8时，an取得最大值，最大值为a7＝a8＝．‎ 例2某人上一段11级的楼梯，如果一步可上一级，也可上两级，则他共有多少种不同的上楼梯的方法？‎ 解：设此人上n级楼梯共有an种不同的方法．当第一步上一级时，则余下n－1级楼梯，有an－1种不同的上法；当第一步上两级时，则余下n－2级楼梯，共有an－2种不同的上法，∴an＝an－1＋an－2．‎ 显然，a1＝1，a2＝2，∴a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89，a11＝144．‎ ‎∴共有144种不同的上楼梯的方法．‎ 例3已知数列{an}，a1＝a(a＞0，a≠1)，an＝a•an－1(n≥2)，定义bn＝an•lgan，如果数列{bn}是递增数列，求a的取值范围．‎ 解：∵an＝a•an－1(n≥2)，∴＝a(n≥2)．‎ ‎∴＝a，＝a，＝a，…，＝a(n≥2)．‎ 将以上各式相乘，得 ＝an-1，∴an＝a1a n-1＝an(n≥2)．‎ 又a1＝a满足上式，∴an＝an(n∈N*)．‎ ‎∴bn＝an•lgan＝an•lgan＝nan•lga．‎ 由bn＜bn＋1得nan•lga＜(n＋1)an+1•lga（①）．‎ I）当a＞1时，lga＞0，‎ ‎①式为n＜(n＋1)a对一切n∈N*恒成立，‎ 即a＞对一切n∈N*恒成立，‎ 由于数列{bn}＝{}＝{1－}为递增数列，且＜1，‎ ‎∴a＞1．‎ II）当0＜a＜1时，lga＜0，‎ ‎①式为n＞(n＋1)a，‎ 即a＜对一切n∈N*恒成立．‎ 由于≤＜1，∴0＜a＜．‎ 综上所述，数列{bn}是递增数列时，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．‎ 二、等差数列的概念与性质 ‎1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示：．‎ 注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：‎ ‎①（n≥2，d为常数）；②（n≥2）；③ (n，k为常数)．‎ ‎2．由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．‎ ‎3．若等差数列的首项是，公差是，则．‎ ‎4．通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．‎ ‎5．等差数列的性质：‎ ‎①是等差数列，若（、、、），则；若（、、），则．‎ ‎②下标为等差数列的项仍组成等差数列．‎ ‎③数列（为常数）仍为等差数列．‎ ‎④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、也成等差数列．‎ ‎⑤单调性：的公差为，则：‎ ⅰ）为递增数列；‎ ⅱ）为递减数列；‎ ⅲ）为常数列．‎ ‎⑥数列{}为等差数列（p，q是常数）．‎ ‎6．等差数列的前项和的公式：①；②；③．‎ ‎7．等差数列的前项和的性质：‎ ①若项数为，则，且，．‎ ②若项数为，则，且，（其中，）．‎ ③若等差数列的前项和，则是等差数列．‎ 例1在等差数列{an}中：‎ ‎（1）a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；‎ ‎（2）a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d．‎ 解：（1）∵Sn＝n•＋ (－)＝－15，‎ 整理得n2－7n－60＝0，‎ 解得n＝12或n＝－5(舍去)，‎ ‎∴a12＝＋(12－1)×(－)＝－4．‎ ‎（2）由Sn＝＝＝－1 022，‎ 解得n＝4．‎ 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，‎ 解得d＝－171．‎ 例2设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)．‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ 答案：A ‎ 解法一：利用等差数列的性质进行求解．‎ ‎∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，‎ ‎∴S5＝＝5a3＝5．故选A．‎ 解法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．‎ ‎∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，‎ ‎∴a1＋2d＝1，‎ ‎∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．‎ 例3若等差数列共有项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（ ）．‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ 答案：B 解析：当总项数为奇数时，，．‎ 例4已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝(n∈N*)，求．‎ 解：由于等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＝a•n(n＋)，‎ 设Sn＝(7n＋1)•kn，Tn＝(4n＋27)•kn，‎ ‎∴a11＝S11－S10＝(7×11＋1)•11k－(7×10＋1)•10k＝148k，‎ b11＝T11－T10＝(4×11＋27)•11k－(4×10＋27)•10k＝111k．‎ ‎∴＝＝．‎ 例5在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．‎ 解：解法一：由S17＝S9，得 ‎25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2，‎ 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169．‎ 由二次函数性质，得当n＝13时，Sn取得最大值169．‎ 解法二：先求出d＝－2(同解法一)．‎ 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0．‎ 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0．‎ ‎∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0．‎ 故n＝13时，Sn取得最大值169．‎ 例6在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．‎ 解：等差数列{an}的公差d＝＝＝3，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63．‎ 由an＜0，得3n－63＜0，即n＜21．‎ ‎∴数列{an}的前20项是负数，第21项及以后的项都为非负数．‎ 设Sn、S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，‎ 当n≤20时，S′n＝－Sn＝－[－60n＋×3]＝－n2＋n；‎ 当n＞20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋×3－2×(－60×20＋×3)‎ ‎＝n2－n＋1 260．‎ ‎∴数列{|an|}的前n项和S′n＝．‎ 三、等比数列的概念与性质 ‎1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：．（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）‎ 注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：‎ ‎①（n≥2，q为常数，且≠0）； ②（n≥2，）；‎ ‎③ (c，q为非零常数)．‎ ‎2．在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．（注：由不能，，成等比；由，，等比能）．‎ ‎3．若等比数列的首项是，公比是，则．‎ ‎4．通项公式的变形：①；②；③；④．‎ ‎5．等比数列的性质：‎ ①若是等比数列，（、、、），则；若（、、），则．‎ ‎②若是等比数列，为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）．‎ ‎③若是等比数列，数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；‎ 为正项等比数列，则是公差为的等差数列．‎ ‎④若是等比数列，则是等比数列，公比依次是 ‎⑤单调性：‎ 或为递增数列；‎ 或为递减数列；‎ 为常数列；‎ 为摆动数列．‎ ‎⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列．‎ ‎⑦若等比数列的前项和，则、、是等比数列．‎ ‎6．等比数列的前项和的公式：‎ ‎①；②；③．‎ 例1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2•an－1＝128，Sn＝126，求n和q．‎ 解：∵a2•an－1＝a1•an，∴a1an＝128，‎ 解方程组，‎ 得：①，或②．‎ 将①代入Sn＝，‎ 可得q＝，由an＝a1q n-1可解得n＝6．‎ 将②代入Sn＝，可得q＝2，‎ 由an＝a1q n-1可解得n＝6．‎ 例2求和1，3x，5x2，7x3，…，(2n－1)x n-1．‎ 错解：∵Sn＝1＋3x＋5x2＋…＋(2n－1)x n-1，‎ ‎∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2x－1)xn，‎ 两式相减得(1－x)Sn＝1＋2x(1＋x＋…＋x n-2)－(2n－1)xn＝1－(2n－1)xn＋，‎ ‎∴Sn＝．‎ 辨析：在等比数列{an}中，若公比q＝1，则Sn＝na1，若q≠1，则Sn＝，因此在解含参数的等比数列求和问题时，一定要注意其公比能否取到1．‎ 正解：①当x＝1时，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，∴Sn＝n2．‎ ‎②当x≠1时，Sn＝1＋3x＋5x2＋…＋(2n－1)•x n-1，‎ xSn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2x－1)xn，‎ 两式相减，得(1－x)Sn＝1＋2x(1＋x＋…＋x n-2)－(2n－1)xn＝1－(2n－1)xn＋，‎ ‎∴Sn＝．‎ 例3已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81．‎ ‎（1）求数列的前三项a1，a2，a3；‎ ‎（2）是否存在一个实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ 解：（1）由an＝2an－1＋2n－1(n≥2)⇒a4＝2a3＋24－1＝81，∴a3＝33，‎ 同理可得a2＝13，a1＝5．‎ ‎（2）假设存在实数λ符合题意，则－必是与n无关的常数．‎ ‎∵－＝＝＝1－，‎ 要使－是与n无关的常数，则＝0，得λ＝－1，‎ 故存在实数λ＝－1，使得数列{}为等差数列．‎ 例4已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7．‎ ‎（1）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ 解：（1）设{an}的公比为q，{bn}的公差为d．‎ 由题意q＞0，由已知，有，‎ 消去d，得q4－2q2－8＝0．‎ 又因为q＞0，解得q＝2，d＝2．‎ 所以{an}的通项公式为an＝2n-1，n∈N*，‎ ‎{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*．‎ ‎（2）由（1）有cn＝(2n－1)2n－1，‎ 设{cn}的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，‎ ‎2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，‎ 两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3．‎ 所以Sn＝(2n－3)2n＋3，n∈N*．‎ 四、数列通项公式的求法 ‎1．公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时，要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一．‎ ‎2．累加法：‎ 形如型的递推数列（其中是关于的函数），可构造：．‎ 将上述个式子两边分别相加，可得：．‎ ‎3．累乘法：‎ 形如型的递推数列（其中是关于的函数），可构造：．‎ 将上述个式子两边分别相乘，可得：．‎ ‎4．构造数列法：‎ 类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：‎ ‎（1）若时，数列{}为等差数列；‎ ‎（2）若时，数列{}为等比数列；‎ ‎（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．‎ 设，展开移项整理得，与题设比较系数求出，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 例如，设，展开移项整理得，，即是以为首项，2为公比的等比数列．‎ 类型二：形如型的递推式：‎ ‎（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：‎ 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 例如，设，展开整理得，比较系数得到，，即是以为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 ‎（2）当为指数函数类型（即等比数列）时： ‎ 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：．‎ 例如，两边同除以得到，令，则，再根据的方法求解．‎ 类型三：对数变换法 形如，型的递推式 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）‎ 类型四：倒数变换法 ‎（1）形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； ‎ ‎（2）还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成的形式，化归为型求出的表达式，再求．‎ 类型五：形如型的递推式：‎ 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．‎ 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 五、数列求和的常用方法 ‎1．公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列．‎ ‎2．裂项相消法：‎ 适用于（其中是各项不为0的等差数列，c为常数），部分无理数列等．‎ 常见的拆项公式有：‎ ‎①； ②；‎ ‎③，如；‎ ‎④．‎ ‎3．错位相减法：适用于其中是等差数列，是各项不为0的等比数列．‎ ‎4．倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法．特征：‎ ‎5．分组求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．一般分两步：①找通项公式；②由通项公式确定如何分组．‎ 例如，‎ 例1已知数列的通项为，求这个数列的前n项和．‎ 解：观察后发现：，‎ ‎∴．‎ 例2已知数列的通项公式为，求这个数列的前n项之和．‎ 解：由题设得：‎ ‎，‎ 即······①‎ 把①式两边同乘2后得······②‎ 用①－②，即：‎ ‎······①‎ ‎······②‎ 得，‎ ‎∴．‎ 例3已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1，2，3……)．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝，求{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）在（2）的条件下，对任意n∈N*，Tn＞都成立，求整数m的最大值．‎ 解：（1）∵4Sn＝(an＋1)2······①，∴4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)······②， ‎ ‎①－②得4(Sn－Sn－1)＝(an＋1)2－(an－1＋1)2．∴4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2．‎ 化简得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0．‎ ‎∵an＞0，∴an－an－1＝2(n≥2)．由4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，‎ ‎∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1．‎ ‎（2）bn＝＝＝(－)．‎ ‎∴Tn＝＝(1－)＝．‎ ‎（3）由（2）知Tn＝(1－)，‎ Tn＋1－Tn＝(1－)－(1－)＝(－)＞0．‎ ‎∴数列{Tn}是递增数列．∴[Tn]min＝T1＝．‎ ‎∴＜，∴m＜．∴整数m的最大值是7．‎ 本章整合