2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题02 简易逻辑（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题02 简易逻辑（讲）（解析版）

专题02 简易逻辑(理科专用)(讲)‎ ‎1．【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.‎ ‎2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )‎ A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 ‎ C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 ‎【答案】B ‎【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.‎ ‎【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.‎ ‎3．【2019年高考天津理数】设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由可得，由可得，易知由推不出，‎ 由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.‎ ‎4．【2019年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-||+|2>‎ ‎|-|2·>0与的夹角为锐角，故“与的夹角为锐角”是 “|+|>||”的充分必要条件.‎ ‎【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.‎ 一、考向分析： ‎ 简易逻辑 命题及其关系 逻辑联结词 全称（特称）命题 充分必要条件 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 四种命题 ‎1、判断命题真假的思路方法 ‎(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．‎ ‎(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：‎ ‎①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；‎ ‎②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．‎ ‎2．判断四种命题真假的方法 ‎(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．‎ ‎(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．　‎ 充分必 要条件 ‎1、充分、必要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠‎1”‎是“x≠1或y≠‎1”‎的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝‎1”‎是“xy＝‎1”‎的何种条件．‎ ‎2、根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．　‎ 逻辑联结词 ‎1、判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤 ‎(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．‎ ‎(2)判断命题真假的步骤 ‎2、根据复合命题真假求参数的步骤 ‎(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．‎ 全称(特称)命题 ‎1、对全(特)称命题进行否定的方法 全(特)称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时：‎ ‎(1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；‎ ‎(2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．‎ ‎[提醒]　对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．‎ ‎2、全(特)称命题真假的判断方法 ‎(1)全称命题真假的判断方法 ‎①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．‎ ‎②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．‎ ‎(2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．‎ 考查四种命题：‎ ‎【例1】命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝‎0”‎的逆否命题是(　　)‎ A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0‎ B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ ‎【答案】D ‎【解析】将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠‎0”‎．‎ ‎【例2】给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是(　　)‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．‎ 考查充分必要条件 ‎【例1】【福建省龙岩市(漳州市)2019届高三5月月考数学】若，则“”是“”的( )‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由a>1，得等价为x>y；等价为x>y>0，故“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指数函数和对数函数的单调性，掌握充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎【例2】已知“x>k”是“<‎1”‎的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】由<1，得－1＝<0，解得x<－1或x>2.因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.‎ 考查逻辑联结词：‎ ‎【例1】若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是 ‎[1，＋∞)，则(　　)‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C． 是真命题 D．是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，为假命题，为真命题．故选D.‎ ‎【例2】设命题p：f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】[1,2]‎ ‎【解析】对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数 y＝2x－＋1为增函数，所以<1，故a≥1.命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，即或故1≤a≤2.‎ 考查全称(特称)命题：‎ ‎【例1】下列命题中为假命题的是(　　)‎ A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0‎ C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上知选B.‎ ‎【例2】若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,3] B．(－1,3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<‎0”‎是真命题等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－‎2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.‎ 讲方法 充分条件与必要条件判定的三种方法 ‎1．定义法：‎ ‎(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(6)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎2．利用集合间的包含关系判断：记条件p，q对应的集合分别是A，B，则 ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；‎ ‎(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB，且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎3．等价法：利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系．‎ ‎【例1】【天津市第一中学2019届高三下学期第月考】设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由可得，由可得，据此可知“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎【例2】【河南省郑州市2019届高三第三次质检】“”是“方程表示椭圆”的( )‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】方程表示椭圆，即且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的概念，充分条件和必要条件的判断，容易遗漏椭圆中，属于基础题.‎