内蒙古赤峰市2020届高三上学期期末考试文科数学试题

内蒙古赤峰市2020届高三上学期期末考试文科数学试题

‎2020年赤峰市高三期末考试试卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内．‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑．‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 ‎1.设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题得=={0，1,2}，所以A∩B={0,1,2}.故选B.‎ ‎2.设复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）．‎ A. B. 的虚部是 C. 在复平面内所对应的点为 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】复数满足，‎ 则，‎ ‎，故选项A错误；‎ 的虚部是1，故选项B错误；‎ 在复平面内所对应的点为，故选项C正确；‎ ‎，故选项D错误；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的相关概念、几何性质、乘除运算，属于基础题.‎ ‎3.设函数，则下列结论正确的是（ ）．‎ A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 一个零点为 D. 在，上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式将函数化简，根据正弦函数图象和性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】函数，‎ 最小正周期为,故A不正确；‎ ‎,所以的图像不关于直线对称，故B不正确；‎ ‎，，所以的一个零点为，故C正确；‎ 当时，，而在单调递增，所以D不正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象和相关性质，考查计算求解与数形结合能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．‎ ‎【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．‎ ‎5.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号（ ）．‎ A. 478 B. ‎324 ‎C. 535 D. 522‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．‎ ‎【详解】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，‎ ‎789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，‎ ‎522，535重复不合适，478合适，‎ 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，478，‎ 则第6个编号为478，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样，随机数表法抽样的具体操作步骤，属于基础题.‎ ‎6.对于直线和平面，能得出的一组条件是（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】A选项中，根据，，，得到或，所以A错误；‎ B选项中，，，，不一定得到，所以B错误；‎ C选项中，因为，，所以.‎ 又，从而得到，所以C正确；‎ D选项中，根据，，所以，而，所以得到，所以D错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.‎ ‎7.已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则 A. ＜ B. π＜3 C. ＞ D. π＞3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】对于A：函数y=xe是（0，+∞）上的增函数，A错；‎ 对于B：π3e﹣2＜3πe﹣2⇔3e﹣3＜πe﹣3，而函数y=xe﹣3是（0，+∞）上的减函数，B错；‎ 对于C：，而函数y=logex是（0，+∞）上的 增函数，C错，‎ 对于D：，D正确；‎ 故答案为：D．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知三点，，，则的外接圆的圆心到原点的距离为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．‎ ‎【详解】因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=2上，‎ 可设圆心P(2,p)，由PA=PB得 ‎|p|=，‎ 得p=‎ 圆心坐标为P(2,)，‎ 所以圆心到原点的距离|OP|=，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形外接圆性质，已知坐标求圆心坐标可设未知数，建立方程解出未知数即可，考查计算能力，属于简单题.‎ ‎9.已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（ ）．‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线与双曲线有公共的渐近线，设双曲线C的方程，其中λ≠0，又因为点在双曲线上，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程，然后求解焦距即可．‎ ‎【详解】双曲线与双曲线有公共的渐近线，‎ 设双曲线C的方程，其中λ≠0，‎ ‎∵点在双曲线上，‎ ‎∴，解之得，‎ 因此双曲线方程为,‎ 故离心率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a，b，c即可求得离心率，属于中等题.‎ ‎10.在中，，，为的中点，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可求面积，根据面积公式可得，再利用余弦定理可求.‎ ‎【详解】在中，，，‎ 为的中点，，‎ ‎∴,‎ 又，‎ 可得，‎ 由余弦定理可得：‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形问题，根据题目的边角关系代入正弦或者余弦定理即可，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知向量，满足，，则的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量三角不等式，可得，从而得取值范围．‎ ‎【详解】根据向量三角不等式，‎ ‎∴，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的性质与向量三角不等式，属于基础题.‎ ‎12.如图，棱长为1的正方体中，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）．‎ ‎①异面直线与所成的角为 ‎②‎ ‎③三棱锥的体积为定值 ‎④的最小值为2．‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据异面直线所成的角的定义即可判断；‎ ‎②由线面垂直的性质即可判断；‎ ‎③先求得M到平面DCC1D1的距离再利用锥体体积公式求解；‎ ‎④将问题转化为平面图形中线段AD1的长度，利用余弦定理解三角形解得即可判断.‎ ‎【详解】①∵∥BC，‎ ‎∴异面直线与所成的角即为BC与所成的角，‎ 可得夹角为，故①正确；‎ ‎②连接，‎ ‎∵平面A1BCD1，‎ 平面A1BCD1，‎ ‎∴，‎ 故②正确；‎ ‎③∵∥平面DCC1D1，‎ ‎∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,‎ 又△DCC1的面积为定值,‎ 因此三棱锥M−DCC1的体积为定值,‎ 故③正确；‎ ‎④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值，‎ 在△D‎1A1A中,∠D‎1A1A=135°,‎ 利用余弦定理解三角形得，‎ 故④不正确.‎ 因此只有①②③正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及空间位置关系及数量关系，综合性强，考查空间推理能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.如图所示，在边长为2的正方形中随机撒1500粒豆子，有300粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率意义，即可得到结论．‎ ‎【详解】正方形的面积S=4，设阴影部分的面积为，‎ ‎∵随机撒1500粒豆子，有300粒落到阴影部分，‎ ‎∴几何概型的概率公式进行估计得，‎ 即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的应用，求几何概型关键是找出几何度量之间的关系，常见几何度量有：长度、面积、体积等，属于基础题.‎ ‎14.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米______斛．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,圆柱形容器体积为 ,所以此容器能装斛米． ‎ ‎15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．‎1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——‎ 英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．‎ ‎【答案】 (1). 12 (2). 90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题目分析，可设这个足球有正五边形皮子x块，则根据题意可得等量关系式：正六边形的块数×3=正五边形的块数×5，由此可以解出正五边形个数，根据两条边组成一条棱，因此可求棱的条数．‎ ‎【详解】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；‎ 每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，‎ 另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.‎ 所以设这个足球有x块正五边形，一共有5x条边，其中白皮三条边和黑皮相连，‎ 又足球表面中的正六边形的面为20个，‎ 根据题意可得方程：，‎ 解得，‎ 该足球表面中的正五边形的面为12个；‎ 因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱，‎ 所以每条棱由两条边组成，‎ 该足球表面的棱为：条.‎ 故答案为：12；90.‎ ‎【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题，考查想象能力与转化能力，属于中等题.‎ ‎16.已知函数的图像上存在两点关于轴对称，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设对称两点坐标为，，代入则有，两边各构造函数，将此方程有解，转化为令，，两函数有交点，求导，利用数形结合即可解答.‎ ‎【详解】由已知函数的图像上存在两点关于轴对称，‎ 设对称两点坐标为，，‎ 则有，此方程有解，‎ 即，‎ 令，，‎ 即需满足时与有交点，‎ ‎，‎ 则恒成立,‎ 处单调递增，‎ ‎，‎ 只需即可，‎ 即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的综合应用，根据条件求参数的取值范围，一般根据条件运用转化思想，转化为方程有解或者函数图像有交点问题，再利用数形结合求交点即可，属于较难题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17.如图，在四棱锥中，平面，是平行四边形，，、交于点，是上一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）已知，若为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证，根据条件只需先证明平面，又平面，得证；‎ ‎（2）由（1）知平面，所以转化为求解即可．‎ ‎【详解】（1）∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ 又∵为菱形，∴．‎ 又，‎ ‎∴平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知平面，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明、棱锥体积的计算，需熟悉垂直判定定理及棱锥体积公式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于简单题.‎ ‎18.已知数列满足，．‎ ‎（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知构造等比数列，可得，化简即为的通项.‎ ‎（2）由已知得，代入，可得，所以数列的前项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 即，‎ 又，‎ ‎∴是以为首项，公比为的等比数列．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由已知得，‎ ‎∵，∴．‎ 所以数列的前项和为：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的定义、等差、等比数列的求和公式以及已知数列的递推公式求通项，属于综合题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.属于中等题.‎ ‎19.‎2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如下表．‎ 组别 女 ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎15‎ ‎21‎ ‎9‎ 男 ‎1‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？‎ ‎（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．‎ 附表及公式：，．‎ ‎【答案】（1）见解析，在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；‎ ‎（2）利用列举法求得所有情况，根据古典概型可计算.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 非“环保关注者”‎ ‎“环保关注者”‎ 合计 女 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 男 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得的观测值 ‎，‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的．‎ ‎（2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人．‎ 设女“环保达人”3人分别为，，；男“环保达人”2人为，．‎ 从中抽取两人的所有情况为：，，，，，，，，，，共l0种情况．‎ 既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有，，，，，，共6种情况．‎ 故所求概率为．‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，相互独立事件的概率计算，考查计算能力，属于简单题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎【答案】（1） ，无极大值．（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数的求导，得，令导函数得0，可求极值点及极值；‎ ‎（2）由知，则1为极小值点，则， ，代入求出的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，‎ 由，得，‎ 由得在上为增函数，‎ 由得在上为减函数，‎ 所以，，无极大值．‎ ‎（2）由知，则1为极小值点，‎ 由（1）知，则，∴，‎ 令，‎ 则，‎ ‎∵的图象在图象的上方，‎ ‎∴，‎ ‎∴，可得，‎ ‎，，‎ ‎∴在为减函数，在为增函数，‎ ‎∴，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用、利用导数证明不等式，通常需要对函数求导，研究其单调性和极值等，属于常考题型；利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，求解函数最值.属于中等题.‎ ‎21.已知为椭圆上的动点，轴于，为的中点，设点的轨迹为．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若点，直线与曲线交于，两点，与椭圆交于，两点，问是否存在与无关实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在请说明理由（，，，分别表示直线，，，的斜率）．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由题意得，又在椭圆上，代入得椭圆S方程即可得到曲线的方程．‎ ‎（2）根据题意，要使成立，只要成立即可，将及 表示出来，利用点在椭圆上，化简可得，，可得.‎ ‎【详解】（1）设，，由题意得，‎ 又在椭圆上，代入得，故曲线的方程为．‎ ‎（2）要使成立，只要成立即可，‎ 设，，，，‎ 又已知点，得，‎ ‎，‎ ‎∵在椭圆上，∴，‎ ‎∵在椭圆上，∴，‎ ‎，，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故存在与无关的实数，使得成立．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程问题、直线与圆锥曲线综合问题，求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，解决直线与椭圆的存在性综合问题时，一般设存在，代入等量关系求解，如果能出现定值则存在，考查综合分析及计算能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题 ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点，，为直线上任意一点，点在射线上运动，且．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求点轨迹围成的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.‎ ‎（2）由（1）知，，则可求直线的极坐标方程为，在极坐标系中，设，，则，点在直线上，代入与Q点关系即可得到Q的轨迹方程，化简并转化为直角坐标方程可得轨迹为圆，求圆面积即可.‎ ‎【详解】（1）∵，∴．‎ 由得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 则直线的直角坐标方程为，‎ 极坐标方程为．‎ 在极坐标系中，设，，则．‎ ‎∵点在直线上，∴，‎ ‎∴，‎ 即，即．‎ ‎∴点轨迹的直角坐标方程为，‎ 即，‎ ‎∴点的轨迹为半径为的圆，圆的面积为．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，求轨迹方程问题，考察转化与化归思想，属于中等题.‎ ‎23.设函数，，存在实数，使得成立．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，且满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据题意解出，再把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（2）由条件和（1）求出，再把不等式的左边利用极值定理解出极小值，不等式得证.‎ ‎【详解】（1）由已知得，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵，，∴，即，‎ ‎∴．‎ 所以当且仅当时等号成立，即，时等号成立．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法：(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.‎