内蒙古自治区赤峰市赤峰二中呼市二中2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

内蒙古自治区赤峰市赤峰二中呼市二中2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

呼市赤峰2020届高三校级第一次联考 数学试卷（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的补集交集运算即可求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了集合交集补集运算，属于容易题.‎ ‎2.设为虚数单位，复数的实部为（ ）‎ A. 3 B. ‎-3 ‎C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则及复数的概念即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以复数的实部为3，‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.‎ ‎3.若函数是周期为4的奇函数，且，则（ ）‎ A. -2 B. ‎2 ‎C. -3 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期可知，再根据奇函数性质即可求解.‎ ‎【详解】因为函数是周期为4的奇函数，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，属于中档题.‎ ‎4.已知，满足，则的最大值为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，根据简单线性规划求解即可.‎ ‎【详解】作出可行域如图：‎ 由可得：，‎ 平移直线经过点A时，有最大值，‎ 由解得，‎ 平移直线经过点A时，有最大值，‎ ‎.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.‎ ‎5.观察下列等式：，，，记.根据上述规律，若，则正整数的值为（ ）‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由规律得再解方程即可 ‎【详解】由已知等式的规律可知，当时，可得.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 ‎6.已知，，，则（ ）‎ A. 有最大值，最大值为6 B. 有最大值，最大值为9‎ C. 有最小值，最小值为6 D. 有最小值，最小值为9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，根据均值不等式，即可求出最值.‎ ‎【详解】∵，‎ 当且仅当时等号成立,‎ 的最小值为9.‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.‎ ‎7.如图是一个程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，模拟计算过程即可求解.‎ ‎【详解】程序框图的执行过程如下：‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，，‎ 循环结束.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.‎ ‎8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则“为钝角三角形”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据大边对大角及余弦定理可求解.‎ ‎【详解】由，有，‎ 又，‎ 故“为钝角三角形”是“”充要条件.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了三角形的性质，余弦定理，属于中档题.‎ ‎9.在平行四边形中，，，点在上，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以向量为基底，根据向量加减法的运算可将表示出来，利用数量积法则运算即可.‎ ‎【详解】因为，，设，‎ 则，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题.‎ ‎10.若函数（，且）的定义域和值域均为，则的值为（ ）‎ A. 或4 B. 或 C. 或8 D. 或16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出的值.‎ ‎【详解】由题意有，‎ ‎①当时，，‎ 有，得，解得，‎ 由，解得；‎ ‎②当时，，有，得，解，‎ 代入 ，解得.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎11.已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为，利用单调性即可求解.‎ ‎【详解】令，‎ 有，‎ 故函数单调递增，‎ 又由，‎ 不等式可化为，‎ 则不等式的解集为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题.‎ ‎12.已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不等的实数解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据分段函数的单调性求出，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解.‎ ‎【详解】由在上递增，得，‎ 又由在上单调递增，则，解得 如图所示，在同一坐标系中作出函数和的图象，‎ 当时，由图象可知，上，有且仅有一个解，在上同样有且仅有一个解.‎ 当时，直线与相切时有一个交点，‎ 由（其中），‎ 得：，‎ 则，‎ 解得或 此时切点横坐标分别为与矛盾，‎ 故或不符合题意,‎ 综上所述.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设向量，，若，则实数的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直知其数量积为0,根据坐标计算即可.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎,‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量垂直的条件，属于中档题.‎ ‎14.已知角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的正半轴，终边上有一点的坐标为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求出，，利用诱导公式即可求解.‎ ‎【详解】由题意有，，‎ 则.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.‎ ‎15.幂函数在上是减函数，则实数的值为______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】由幂函数知，‎ 得或.‎ 当时，在上是增函数，‎ 当时，在上是减函数，‎ ‎∴.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.‎ ‎16.已知曲线，则过点，且与曲线相切直线方程为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】设切点为，‎ 因，‎ 所以为切点的切线方程为：，‎ 代入点坐标有：，‎ 解得：或.‎ 当时，切线方程为：；‎ 当时，切线方程为：.‎ 故答案为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角大小；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得，由二倍角公式得，进而求得C;‎ ‎（2）利用面积公式得，结合余弦定理得，则可求 ‎【详解】（1）∵，∴，，.‎ ‎∵，故，，.‎ ‎（2）由的面积为，，知，∴，‎ 由余弦定理知，故，，‎ 解得.‎ ‎【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．‎ ‎18.已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1.‎ ‎（1）求函数的增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值、最小值及相应的的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）时，函数的最小值为-2；时，函数的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简，进而得及则解析式可求；‎ ‎（2）由得，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 ‎【详解】（1）由.‎ 由函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1，有，有，得，故.‎ 令，得.‎ 故函数的增区间为.‎ ‎（2）当时，.‎ 则当，即时，函数的最小值为2；‎ 当，即时，函数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．‎ ‎19.已知数列是各项均为正数的等比数列，前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件联立方程即可求出首项与公比，即可写出通项公式（2）利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 又，‎ ‎∴，解得（舍）或，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 则 相减得 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，错位相减法，属于中档题.‎ ‎20.已知向量，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件知，，，利用向量的数量积运算即可求解（2）利用同角三角函数的关系求出，，再根据角的变换可知即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，，，‎ 又，‎ 得.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 又∵，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，数量积的性质，同角三角函数的关系，两角差的正弦公式，属于中档题.‎ ‎21.已知函数（且）.‎ ‎（1）当时，用定义法证明函数在定义域上单调递增；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数单调性的定义，注意做差后变形，即可求证（2）分和两种情况分类讨论，根据对数函数的单调性求解.‎ ‎【详解】（1）证明：由得，故函数的定义域为，‎ 令，‎ 因为 ‎，‎ 由，有，，，可得，‎ 由，且，‎ 得，‎ 所以，‎ 故当时，函数在定义域单调递增，‎ ‎（2）不等式可化为，‎ ‎①当时，不等式可化为，解得，‎ ‎②当时，不等式可化为，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义，对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，为实数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设是函数的导函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数求导后，分三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分离参数可得，时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域是.‎ ‎.‎ ‎（i）当时，令，得；‎ 令，得或，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增；‎ ‎（ii）当时，对任意恒成立，且不恒为0，‎ 所以函数在上单调递增；‎ ‎（iii）当时，令，得；‎ 令，得或，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.‎ ‎（2）等价于，得，得，‎ 因为，所以.‎ 所以不等式两边同时除以，得，‎ 即，‎ 得.‎ 所以.‎ 即对任意恒成立.‎ 设，，，‎ 则，.‎ 所以函数在区间上是增函数，在区间上是增函数.‎ 所以，.‎ 所以.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.‎