【数学】2020届一轮复习人教B版放缩法证明数列不等式学案

【数学】2020届一轮复习人教B版放缩法证明数列不等式学案

微专题57 放缩法证明数列不等式 一、基础知识：‎ ‎ 在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 ‎1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：‎ ‎（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可 ）‎ ‎（2）若，则，此性质可推广到多项求和：‎ 若，则: ‎ ‎（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 ‎2、放缩的技巧与方法：‎ ‎（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：‎ ‎① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）‎ ‎② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）‎ ‎③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 ‎④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 ‎（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：‎ ‎① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ‎② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）‎ ‎③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。‎ ‎④ 若放缩后求和发现放“过”‎ 了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。‎ ‎（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：‎ ‎① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）‎ ‎② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为 。‎ 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 ‎（4）与数列中的项相关的不等式问题：‎ ‎① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ‎② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明 ‎3、常见的放缩变形：‎ ‎（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。‎ 注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：‎ ‎（2），从而有：‎ 注：对于还可放缩为：‎ ‎（3）分子分母同加常数：‎ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。‎ ‎（4） ‎ ‎ ‎ 可推广为：‎ ‎ ‎ 二、典型例题：‎ 例1：已知数列的前项和为，若，且 ‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式 ‎（2）设，数列的前项和为，求证： ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎，由令可得：‎ ‎ ‎ ‎ ，验证符合上式 ‎ ‎ ‎（2） 由（1）得： ‎ 可知当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 不等式得证 例2：设数列满足：，设为数列的前项和，已知， ‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求证：对任意的且，有 ‎ 解：（1） 为公比是的等比数列 ‎ ‎ 在中，令，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是公比为的等比数列 ‎ ‎ ‎（2）证明： ‎ 例3：已知正项数列的前项和为，且 ‎（1）求证：数列是等差数列 ‎（2）记数列，证明：‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ 为等差数列 ‎（2）思路：先利用（1）可求出的公式进而求出，则，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。‎ 解：令代入可得：‎ 即 由为等差数列可得：‎ ‎ ‎ 考虑先证 ‎ 时 时，‎ 再证 综上所述： ‎ 小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：‎ 例4：已知数列满足 ‎（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式 ‎（2）设，求证：‎ 解：（1）‎ ‎ 是公比为的等比数列 ‎（2）思路：，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以，再进行放缩调整为裂项相消形式。‎ 解：‎ 而 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。‎ ‎（2）‎ 在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。‎ 例：已知数列的前项和，且 ‎（1）求 ‎（2）求数列的前项和 ‎（3）设数列的前项和，且满足，求证：‎ 解：（1）在中，令可得：‎ ‎（2） ①‎ ‎ ②‎ ‎① ②可得：‎ ‎ ‎ 是公差为6的等差数列 ‎（3）由（2）可得：‎ ‎ ‎ 例6：已知数列满足 ‎ ‎（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由 ‎（2）设，数列的前项和为，求证：对任意的 ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ 为公比是的等比数列 ‎（2）思路：首先由（1）可求出的通项公式，对于可发现为奇数时，，为偶数时，，结合通项公式可将其写成，从而求出，无法直接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而，求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。‎ 解：，由（1）可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 当时， ‎ ‎ ‎ 因为为正项数列 ‎ ‎ ‎ 例7：已知数列满足：，且 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）证明：对于一切正整数，均有 解：（1）‎ 设即 ‎ ‎ 为公比是的等比数列 ‎ 而 ‎ ‎ ‎（2）思路：所证不等式可化简为：，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为，所以结合不等号方向，将分子向该形式转化：，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。‎ 证明：所证不等式为：‎ 等价于证明：‎ 设 ‎ ‎ ‎ 即不等式得证 小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。‎ ‎（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：（分子小与分母），（分子大于分母）‎ 例8：已知函数 ‎（1）若函数在处切线斜率为，，已知，求证：‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：‎ 解：（1）‎ 整理后可得：‎ ‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，成立 假设成立，则时 ‎ ‎ 时，不等式成立 ‎（2）‎ 由（1）可知 ‎ 例9：已知数列的各项均为正值，对，，且 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）当且时，证明对，都有成立 解：（1）‎ ‎ 由可得：‎ 为公比是的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：所证不等式为：左边含有两个变量，考虑通过消元简化所证不等式。设，则只需证明：，易知为递增数列。所以只需证明，即，左边共项，结合的特点可考虑将项分为3组：‎ ‎，再求和即证不等式 解：所证不等式由（1）可得：‎ ‎ 只需证：‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为递增数列 ‎ ‎ 只需证 而 例10：数列是公差不为零的等差数列，，数列满足：‎ ‎（1）当时，求证： ‎ ‎（2）当且时，为等比数列 ‎① 求 ‎ ‎② 当取最小值时，求证： ‎ 解：（1）由可得： ‎ ‎ ‎ 两式相除可得： ‎ ‎（2）① 思路：本题的突破口在于既在等差数列中，又在等比数列中，从而在两个不同风格的数列中均能够用进行表示，然后便 得到与的关系式，抓住的特点即可求出的值 为等差数列 ‎ ‎ ‎ 另一方面，为等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可视为以为首项，为公比的等比数列前项和 ‎ ‎ ‎ ‎ 能够被6整除 且 ‎ 或 ‎ 经检验：或均符合题意 ‎② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，，，所以对于右侧，显然无法直接找到求和方法。而对于，虽然没有通项公式，但 可对向可求和的方式进行变形，得到，从而可想到利用裂项相消的方式进行求和，得到。对于右侧只能考虑进行放缩，针对的特点可向等比数列靠拢，结合不等号方向可得：。所以。于是所证的不等式就变为只需证明，即证明，考虑对进行放缩，抓住这个特点，由已知可得为递增数列，则，但右侧为，无法直接放缩证明，所以要对的放缩进行调整，计算出可得，进而，但此时只能证明时，不等式成立。对于有限的项，逐次验证即可。‎ 由（1）可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 只需证明：即可 即证明： ‎ 由可知为递增数列 ‎ ‎ 由可得： ‎ ‎ ‎ ‎ 时， ‎ 时， ‎ 当时，可知成立 得证 时，‎ 成立 当时， ‎ 当时，，‎ ‎ ‎ 综上所述：恒成立