【数学】2019届一轮复习人教A版变量间的相关关系与统计案例学案

【数学】2019届一轮复习人教A版变量间的相关关系与统计案例学案

变量间的相关关系与统计案例 ‎【考点梳理】‎ ‎1．回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是散点图；统计量有相关系数与相关指数．‎ ‎(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．‎ ‎(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．‎ ‎(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系．‎ ‎2．线性回归方程 ‎(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．‎ ‎(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则＝＝，＝－.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距．‎ ‎3．残差分析 ‎(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i＝1,2，…，n，i称为相应于点(xi，yi)的残差．‎ ‎(2)相关指数：R2＝1－.‎ ‎4．独立性检验 ‎(1)利用随机变量 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．‎ ‎(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则随机变量 2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、相关关系的判断 ‎【例1】(1)两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)‎ A．①②③　　　　　　　 　 B．②③①‎ C．②①③ D．①③②‎ ‎(2)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与 正相关．下列结论中正确的是(　　)‎ A．x与y正相关，x与 负相关 B．x与y正相关，x与 正相关 C．x与y负相关，x与 负相关 D．x与y负相关，x与 正相关 ‎(3)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)‎ A．r26.635，故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 g的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，‎ 箱产量低于55 g的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35( g)．‎ ‎【类题通法】‎ 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：‎ ‎(1)根据样本数据制成2×2列联表；‎ ‎(2)根据公式 2＝计算 2的观测值 ；‎ ‎(3)比较 与临界值的大小关系，作统计推断．‎ ‎【对点训练】‎ 为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩(百分制)作为样本，按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示，成绩落在[70,80)中的人数为20.‎ ‎(1)求a和n的值；‎ ‎(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；‎ ‎(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1∶2，成绩落在[80，100)中的男、女生人数比为3∶2，完成2×‎ ‎2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为物理成绩优秀与性别有关.‎ 男生 女生 合计 优秀 不优秀 合计 附：参考公式和数据： 2＝，‎ P( 2≥ 0)‎ ‎0.50‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.005‎ ‎ 0‎ ‎0.455‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎7.879‎ ‎[解析] (1)由题意得‎10a＝1－(0.005＋0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.5，‎ 解得a＝0.05，则n＝＝40.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知各组的频率分别为0.05，0.2，0.5,0.15,0.1，‎ 所以＝55×0.05＋65×0.2＋75×0.5＋85×0.15＋95×0.1＝75.5，‎ ‎(m－70)×0.05＝0.5－(0.05＋0.2)，得m＝75.‎ ‎(3)由频率分布直方图可知成绩优秀的人数为40×(0.015＋0.01)×10＝10，则不优秀的人数为40－10＝30.‎ 所以优秀的男生为6人，女生为4人；‎ 不优秀的男生为10人，女生为20人．‎ 所以2×2列联表如下：‎ 男生 女生 总计 优秀 ‎6‎ ‎4‎ ‎10‎ 不优秀 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ 所以 2＝≈2.222＜3.841，‎ 所以在犯错误的概率不超0.05的前提下不能认为物理成绩优秀与性别有关．‎