【数学】2019届一轮复习人教A版简单的三角恒等变换学案

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第六节 简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公 式、二倍角公式及三角函数的恒等变形，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简， 属于基础题. 1．化简： sin 2α－2cos2α sin α－π 4 ＝________. 解析：原式＝2sin αcos α－2cos2α 2 2 sin α－cos α ＝2 2cos α. 答案：2 2cos α 2．化简：sin2α＋β sin α －2cos(α＋β)． 解：原式＝sin2α＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋α＋β]－2sin αcosα＋β sin α ＝sin αcosα＋β＋cos αsinα＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝cos αsinα＋β－sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋β－α] sin α ＝sin β sin α. [怎样快解·准解] 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角 函数式时，一般需要升次． 考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点——追根溯源 三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适当的 化简与求值，属于基础题.,常见的命题角度有：,1给角求值；,2给值求值；,3给值求角. [题点全练] 角度(一) 给角求值 1．(2018·新疆第二次适应性检测)cos 10°1＋ 3tan 10° cos 50° 的值是________． 解析：依题意得cos 10°1＋ 3tan 10° cos 50° ＝cos 10°＋ 3sin 10° cos 50° ＝2sin10°＋30° cos 50° ＝2sin 40° sin 40° ＝ 2. 答案：2 [题型技法] 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化 为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子 分母相约等)的方式来求值． 角度(二) 给值求值 2．已知 tan α＝2. (1)求 tan α＋π 4 的值； (2)求 sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 的值． 解：(1)tan α＋π 4 ＝ tan α＋tan π 4 1－tan αtan π 4 ＝ 2＋1 1－2×1 ＝－3. (2) sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝ 2sin αcos α sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ 2tan α tan2α＋tan α－2 ＝ 2×2 4＋2－2 ＝1. [题型技法] 解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 角度(三) 给值求角 3．若 sin 2α＝ 5 5 ，sin(β－α)＝ 10 10 ，且α∈ π 4 ，π ，β∈ π，3π 2 ，则α＋β的值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π 4 或7π 4 D.5π 4 或9π 4 解析：选 A ∵α∈ π 4 ，π ，∴2α∈ π 2 ，2π ， ∵sin 2α＝ 5 5 ，∴2α∈ π 2 ，π . ∴α∈ π 4 ，π 2 且 cos 2α＝－2 5 5 ， 又∵sin(β－α)＝ 10 10 ，β∈ π，3π 2 ， ∴β－α∈ π 2 ，5π 4 ，cos(β－α)＝－3 10 10 ， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝ －3 10 10 × －2 5 5 － 10 10 × 5 5 ＝ 2 2 ， 又α＋β∈ 5π 4 ，2π ，所以α＋β＝7π 4 . [题型技法] 三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下 原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是 0，π 2 ，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好； 若角的范围为 －π 2 ，π 2 ，选正弦函数较好． [题“根”探求] 看 个性 角度(一)“给角求值”的解题关键是两种变换：角的变换、结构变换； 角度(二)“给值求值”的解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关 系； 角度(三)“给值求角”实质上也转化为角度(一)“给值求值”，关键也是变角， 把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求角 找 共性 研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的 联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解 [冲关演练] 1. 2sin235°－1 cos 10°－ 3sin 10° 的值为( ) A．1 B．－1 C.1 2 D．－1 2 解析：选 D 原式＝ 2sin235°－1 2 1 2cos 10°－ 3 2 sin 10° ＝－cos 70° 2sin 20° ＝－1 2. 2．已知 2tan αsin α＝3，α∈ －π 2 ，0 ，则 cos α－π 6 的值是( ) A．0 B. 2 2 C．1 D.1 2 解析：选 A 由 2tan αsin α＝3，得2sin2α cos α ＝3， 即 2cos2α＋3cos α－2＝0， ∴cos α＝1 2 或 cos α＝－2(舍去)． ∵－π 2 ＜α＜0，∴sin α＝－ 3 2 ， ∴cos α－π 6 ＝cos αcosπ 6 ＋sin αsinπ 6 ＝0. 3．已知锐角α，β满足 sin α＝ 5 5 ，cos β＝3 10 10 ，则α＋β等于( ) A.3π 4 B.π 4 或3π 4 C.π 4 D．2kπ＋π 4(k∈Z) 解析：选 C 由 sin α＝ 5 5 ，cos β＝3 10 10 ，且α，β为锐角，可知 cos α＝2 5 5 ，sin β＝ 10 10 ， 故 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2 5 5 ×3 10 10 － 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 ，又 0<α＋β<π，故α ＋β＝π 4. 考点三 三角恒等变换的综合应用 重点保分型考点——师生共研 三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向 量、解三角形等知识综合命题，难度中等. [典题领悟] (2018·长春模拟)设函数 f(x)＝ 3sin xcos x＋cos2 x＋a. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)当 x∈ －π 6 ，π 3 时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为3 2 ，求实数 a 的值． [思维路径] 由题给条件想到利用恒等变换把函数化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式； 由第(1)问想到在ω＞0 的前提下，利用周期公式 T＝2π ω 即可计算出函数 f(x)的最小正周 期，再利用－π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)解出这个不等式即为函数 f(x)的单调递增区间； 由第(2)问想到由 x∈ －π 6 ，π 3 计算出 u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数 y＝sin u 的 图象确定函数 f(x)的最小值和最大值，列式求出 a 的值． 解：(1)因为 f(x)＝ 3sin xcos x＋cos2x＋a ＝ 3 2 sin 2x＋1 2(1＋cos 2x)＋a ＝ 3 2 sin 2x＋1 2cos 2x＋a＋1 2 ＝sin 2x＋π 6 ＋a＋1 2. 所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. 令－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 6 ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 解得－π 3 ＋kπ≤x≤π 6 ＋kπ(k∈Z)， 故函数 f(x)的单调递增区间为 －π 3 ＋kπ，π 6 ＋kπ (k∈Z)． (2)因为－π 6 ≤x≤π 3 ，所以－π 6 ≤2x＋π 6 ≤5π 6 ， 当 2x＋π 6 ＝－π 6 时，函数 f(x)取得最小值， 即 f(x)min＝－1 2 ＋a＋1 2 ＝a； 当 2x＋π 6 ＝π 2 时，函数 f(x)取得最大值， 即 f(x)max＝1＋a＋1 2 ＝a＋3 2. 所以 a＋a＋3 2 ＝3 2 ，所以 a＝0. [解题师说] 三角恒等变换在研究三角函数性质中的 2 个注意点 (1)三角函数的性质问题，往往都要先化成 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式再求解．要注 意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据 变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成 关于同一个角的三角函数式． (2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代 入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期． [冲关演练] 已知函数 f(x)＝5sin xcos x－5 3cos2x＋5 3 2 (其中 x∈R)，求： (1)函数 f(x)的单调区间； (2)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心． 解：(1)因为 f(x)＝5 2sin 2x－5 3 2 (1＋cos 2x)＋5 3 2 ＝5 1 2sin 2x－ 3 2 cos 2x ＝5sin 2x－π 3 ， 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 kπ－ π 12 ≤x≤kπ＋5π 12(k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调增区间为 kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z)． 由 2kπ＋π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z)， 得 kπ＋5π 12 ≤x≤kπ＋11π 12 (k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调减区间为 kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 (k∈Z)． (2)由 2x－π 3 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋5π 12(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝kπ 2 ＋5π 12(k∈Z)． 由 2x－π 3 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋π 6(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称中心为 kπ 2 ＋π 6 ，0 (k∈Z)． (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．(2016·全国卷Ⅲ)若 tan θ＝－1 3 ，则 cos 2θ＝( ) A．－4 5 B．－1 5 C.1 5 D.4 5 解析：选 D ∵cos 2θ＝cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ ＝1－tan2θ 1＋tan2θ ， 又∵tan θ＝－1 3 ，∴cos 2θ＝ 1－1 9 1＋1 9 ＝4 5. 2．化简： cos 40° cos 25° 1－sin 40° ＝( ) A．1 B. 3 C. 2 D．2 解析：选 C 原式＝ cos220°－sin220° cos 25°cos 20°－sin 20° ＝cos 20°＋sin 20° cos 25° ＝ 2cos 25° cos 25° ＝ 2，故 选 C. 3．函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x － 3cos 2x 的最大值为( ) A．2 B．3 C．2＋ 3 D．2－ 3 解析：选 B f(x)＝1－cos 2 π 4 ＋x － 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＋1＝2sin 2x－π 3 ＋1， 可得 f(x)的最大值是 3. 4．已知 sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ，则 cos 2α＝( ) A．1 B．－1 C.1 2 D．0 解析：选 D ∵sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ， ∴1 2cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－1 2sin α， 即 1 2 － 3 2 sin α＝－ 1 2 － 3 2 cos α， ∴tan α＝sin α cos α ＝－1， ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α sin2α＋cos2α ＝1－tan2α tan2α＋1 ＝0. 5．已知 sin 2α＝24 25 ，0<α<π 2 ，则 2cos π 4 －α 的值为( ) A.1 5 B．－1 5 C．±1 5 D.7 5 解析：选 D 因为 sin 2α＝24 25 ，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝49 25.因为 0<α<π 2 ，所以 sin α＋cos α＝7 5. 所以 2cos π 4 －α ＝ 2× 2 2 (cos α＋sin α)＝7 5. 6．若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4 5 ，且α为第二象限角，则 tan α＋π 4 ＝( ) A．7 B.1 7 C．－7 D．－1 7 解析：选 B sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4 5 ，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝4 5 ，即 cos α＝－4 5.又α为第二象限角，∴tan α＝－3 4 ，∴tan α＋π 4 ＝1＋tan α 1－tan α ＝1 7. 7．函数 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x 的最大值为________． 解析：因为 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x ＝1 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＋cos 2x ＝3 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＝ 3cos 2x＋π 6 ， 故最大值为 3. 答案： 3 8．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 ，则 sin A＝________. 解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A， ∵sinB＝1 3 ，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1 3 ，即 1－2sin2A＝1 3 ，∴sin A ＝ 3 3 . 答案： 3 3 9．化简： 1 tan α 2 －tanα 2 · 1＋tan α·tan α 2 ＝________. 解析：原式＝ cos2 α 2 －sin2 α 2 sinα 2cosα 2 · 1＋sin α cos α· sinα 2 cosα 2 ＝ cos2α 2 －sin2α 2 sinα 2cosα 2 · cos αcosα 2 ＋sin αsin α 2 cos αcos α 2 ＝2cos α sin α · cosα 2 cos αcosα 2 ＝ 2 sin α. 答案： 2 sin α 10．已知方程 x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且α，β∈ －π 2 ，π 2 ， 则α＋β＝________. 解析：由已知得 tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝1. 又∵α，β∈ －π 2 ，π 2 ，tan α＋tan β＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0，∴tan α＜0，tan β＜0，∴α，β∈ －π 2 ，0 ， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π 4 . 答案：－3π 4 B 级——中档题目练通抓牢 1．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角 A 的大小为( ) A.π 4 B.π 3 C.π 2 D.3π 4 解析：选 A 由题意知，sin A＝－ 2cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 在等式－ 2cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C 两边同除 以 cos B cos C 得 tan B＋tan C＝－ 2， 所以 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝－1＝－tan A， 即 tan A＝1，所以 A＝π 4. 2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝ 10 2 ，则 tan 2α＝( ) A.4 3 B.3 4 C．－3 4 D．－4 3 解析：选 C 因为 sin α＋2cos α＝ 10 2 ，所以 sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝10 4 (sin2α＋ cos2α)，整理得 3sin2α－3cos2α－8sin αcos α＝0，则－3cos 2α＝4sin 2α，所以 tan 2α＝－3 4. 3．(2018·合肥质检)已知函数 f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈ －π 4 ，π 4 .若 f(x1)x2 C．x21x22 解析：选 D f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1 4cos 4x＋3 4 ，4x∈[－π， π]，所以函数 f(x)是偶函数，且在 0，π 4 上单调递减，根据 f(x1)|x2|，即 x21>x22. 4．计算 cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝________(用数字作答)． 解 析 ： cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝ cos 10°＋ 3cos 80° 1－cos 80° ＝ cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 40° ＝ 2sin10°＋30° 2sin 40° ＝ 2. 答案： 2 5．已知 cos α＝1 7 ，cos(α－β)＝13 14 ，且 0<β<α<π 2 ，则β＝________. 解析：由 cos α＝1 7 ，0<α<π 2 ， 得 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－ 1 7 2＝4 3 7 ， 由 0<β<α<π 2 ，得 0<α－β<π 2 ，又∵cos(α－β)＝13 14 ， ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－ 13 14 2＝3 3 14 . 由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1 7 ×13 14 ＋4 3 7 ×3 3 14 ＝1 2. ∴β＝π 3. 答案：π 3 6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f 2(x)在区 间 0，2π 3 上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 . ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 . (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴g(x)＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π 6 －1. ∵0≤x≤2π 3 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤7π 6 . ∴－1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1，∴－2≤2sin 2x－π 6 －1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f2(x)在区间 0，2π 3 上的值域是[－2,1]． 7．已知函数 f(x)＝2cos2ωx－1＋2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线 x＝π 3 是函数 f(x)的图象 的一条对称轴． (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)已知函数 y＝g(x)的图象是由 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后 再向左平移2π 3 个单位长度得到的，若 g 2α＋π 3 ＝6 5 ，α∈ 0，π 2 ，求 sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＝2sin 2ωx＋π 6 ， 由于直线 x＝π 3 是函数 f(x)＝2sin 2ωx＋π 6 的图象的一条对称轴， 所以2π 3 ω＋π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)， 解得ω＝3 2k＋1 2(k∈Z)， 又 0<ω<1，所以ω＝1 2 ， 所以 f(x)＝2sin x＋π 6 . 由 2kπ－π 2 ≤x＋π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 2kπ－2π 3 ≤x≤2kπ＋π 3(k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 2kπ－2π 3 ，2kπ＋π 3(k∈Z)． (2)由题意可得 g(x)＝2sin 1 2 x＋2π 3 ＋π 6 ， 即 g(x)＝2cosx 2 ， 由 g 2α＋π 3 ＝2cos 1 2 2α＋π 3 ＝2cos α＋π 6 ＝6 5 ，得 cos α＋π 6 ＝3 5 ， 又α∈ 0，π 2 ，故π 6<α＋π 6<2π 3 ，所以 sin α＋π 6 ＝4 5 ， 所以 sin α＝sin α＋π 6 －π 6 ＝sin α＋π 6 ·cosπ 6 －cos α＋π 6 ·sinπ 6 ＝4 5 × 3 2 －3 5 ×1 2 ＝4 3－3 10 . C 级——重难题目自主选做 如图，现要在一块半径为 1，圆心角为π 3 的扇形铁片 AOB 上剪出一个平 行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上， 设∠BOP＝θ，平行四边形 MNPQ 的面积为 S. (1)求 S 关于θ的函数关系式； (2)求 S 的最大值及相应的θ的大小． 解：(1)分别过 P，Q 作 PD⊥OB 于点 D，QE⊥OB 于点 E， 则四边形 QEDP 为矩形． 由扇形半径为 1，得|PD|＝sin θ， |OD|＝cos θ. 又|OE|＝ 3 3 |QE|＝ 3 3 |PD|， ∴|MN|＝|QP|＝|DE|＝|OD|－|OE|＝cos θ－ 3 3 sin θ， ∴S＝|MN|·|PD|＝ cos θ－ 3 3 sin θ ·sin θ ＝sin θcos θ－ 3 3 sin2θ，θ∈ 0，π 3 . (2)由(1)知 S＝1 2sin 2θ－ 3 6 (1－cos 2θ) ＝1 2sin 2θ＋ 3 6 cos 2θ－ 3 6 ＝ 3 3 sin 2θ＋π 6 － 3 6 ， 因为θ∈ 0，π 3 ， 所以 2θ＋π 6 ∈ π 6 ，5π 6 ，所以 sin 2θ＋π 6 ∈ 1 2 ，1 . 当θ＝π 6 时，S 取最大值，且 Smax＝ 3 6 . (二)重点高中适用作业 A 级——保分题目巧做快做 1.若 tan θ＝ 3，则 sin 2θ 1＋cos 2θ ＝( ) A. 3 B．－ 3 C. 3 3 D．－ 3 3 解析：选 A sin 2θ 1＋cos 2θ ＝2sin θcos θ 2cos2θ ＝tan θ＝ 3. 2．化简： cos 40° cos 25° 1－sin 40° ＝( ) A．1 B. 3 C. 2 D．2 解析：选 C 原式＝ cos220°－sin220° cos 25°cos 20°－sin 20° ＝cos 20°＋sin 20° cos 25° ＝ 2cos 25° cos 25° ＝ 2，故 选 C. 3．函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x － 3cos 2x 的最大值为( ) A．2 B．3 C．2＋ 3 D．2－ 3 解析：选 B f(x)＝1－cos 2 π 4 ＋x － 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＋1＝2sin 2x－π 3 ＋1， 可得 f(x)的最大值是 3. 4．已知 sin 2α＝24 25 ，0<α<π 2 ，则 2cos π 4 －α 的值为( ) A.1 5 B．－1 5 C．±1 5 D.7 5 解析：选 D 因为 sin 2α＝24 25 ，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝49 25.因为 0<α<π 2 ，所以 sin α＋cos α＝7 5. 所以 2cos π 4 －α ＝ 2× 2 2 (cos α＋sin α)＝7 5. 5．在△ABC 中，若 3(tanB＋tan C)＝tanB·tan C－1，则 sin 2A＝( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解析：选 D 由两角和的正切公式知 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan B·tan C ＝ tan B＋tan C － 3tan B＋tan C ＝－ 3 3 ，所以 tan A＝ 3 3 ，又 A∈(0，π)，所以 A＝π 6 ，所以 sin 2A＝ 3 2 . 6．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 ，则 sin A＝________. 解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A， ∵sinB＝1 3 ，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1 3 ，即 1－2sin2A＝1 3 ，∴sin A ＝ 3 3 . 答案： 3 3 7.函数 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x 的单调递增区间为________，最大值为________． 解析：因为 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x ＝1 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＋cos 2x ＝3 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＝ 3cos 2x＋π 6 ， 由 2kπ－π≤2x＋π 6 ≤2kπ，k∈Z， 得 kπ－7π 12 ≤x≤kπ－ π 12 ，k∈Z， 故单调递增区间为 kπ－7π 12 ，kπ－ π 12 (k∈Z)，最大值为 3. 答案： kπ－7π 12 ，kπ－ π 12 (k∈Z) 3 8.定义运算|a b c d|＝ad－bc.若 cos α＝1 7 ，|sin α sin β cos α cos β|＝3 3 14 ， 0<β<α<π 2 ，则β＝________. 解析：依题意有 sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3 3 14 . 又 0<β<α<π 2 ，∴0<α－β<π 2 ， 故 cos(α－β)＝ 1－sin2α－β＝13 14 ， ∵cos α＝1 7 ， ∴sin α＝4 3 7 ， 于是 sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝4 3 7 ×13 14 －1 7 ×3 3 14 ＝ 3 2 ，故β＝π 3. 答案：π 3 9.化简：(1) 3tan 12°－3 sin 12°4cos212°－2 ；(2) cos2α 1 tan α 2 －tan α 2 . 解：(1)原式＝ 3sin 12° cos 12° －3 22cos212°－1sin 12° ＝ 3sin 12°－3cos 12° 2sin 12°cos 12°cos 24° ＝2 3sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60° sin 24°cos 24° ＝4 3sin12°－60° sin 48° ＝－4 3. (2)法一：原式＝ cos2α cosα 2 sinα 2 － sinα 2 cosα 2 ＝ cos2 α cos2 α 2 －sin2 α 2 sinα 2cosα 2 ＝ cos2αsinα 2cosα 2 cos2 α 2 －sin2 α 2 ＝cos2αsinα 2cosα 2 cos α ＝sinα 2cosα 2cos α＝1 2sin αcos α＝1 4sin 2α. 法二：原式＝ cos2αtanα 2 1－tan2 α 2 ＝1 2cos2α· 2tanα 2 1－tan2 α 2 ＝1 2cos2α·tan α＝1 2cos αsin α＝1 4sin 2α. 10.已知函数 f(x)＝sin x－ 3cos x＋2，记函数 f(x)的最小正周期为β，向量 a＝(2，cos α)， b＝ 1，tan α＋β 2 ，0＜α＜π 4 ，且 a·b＝7 3. (1)求 f(x)在区间 2π 3 ，4π 3 上的最值； (2)求2cos2α－sin [2α＋β] cos α－sin α 的值． 解：(1)f(x)＝sin x－ 3cos x＋2＝2sin x－π 3 ＋2， ∵x∈ 2π 3 ，4π 3 ，∴x－π 3 ∈ π 3 ，π ， ∴f(x)的最大值是 4，最小值是 2. (2)由题意知β＝2π， ∴a·b＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝7 3 ， ∴sin α＝1 3 ， ∴2cos2α－sin[2α＋β] cos α－sin α ＝2cos2α－sin 2α cos α－sin α ＝2cos α＝2 1－sin2α＝4 2 3 . B 级——拔高题目稳做准做 1.(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3sin ωxsin ωx＋π 2 (ω>0)的最 小正周期为π，则 f(x)在区间 0，2π 3 上的值域为( ) A. 0，3 2 B. －1 2 ，3 2 C. －1 2 ，1 D. －3 2 ，1 2 解析：选 A f(x)＝sin2ωx＋ 3sin ωxsin ωx＋π 2 ＝sin2ωx＋ 3sin ωxcos ωx＝ 3 2 sin 2ωx －1 2cos 2ωx＋1 2 ＝sin 2ωx－π 6 ＋1 2 ， 因为 T＝2π 2ω ＝π ω ＝π，所以ω＝1，即 f(x)＝sin 2x－π 6 ＋1 2 ，当 x∈ 0，2π 3 时，2x－π 6 ∈ －π 6 ，7π 6 ，所以 sin 2x－π 6 ∈ －1 2 ，1 ，故所求值域为 0，3 2 ，故选 A. 2.(2018·江西赣中南五校模拟)已知 f(x)＝sin2 019x＋π 6 ＋cos 2 019x－π 3 的最大值为 A， 若存在实数 x1，x2 使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则 A|x1－x2|的最小值为 ( ) A. π 2 019 B. 2π 2 019 C. 4π 2 019 D. π 4 038 解析：选 B ∵f(x)＝sin 2 019x＋π 6 ＋cos 2 019x－π 3 ＝sin 2 019xcos π 6 ＋cos 2 019xsin π 6 ＋cos 2 019xcos π 3 ＋sin 2 019xsin π 3 ＝ 3 2 sin 2 019x＋1 2cos 2 019x＋1 2cos 2 019x＋ 3 2 sin 2 019x＝ 3sin 2 019x＋cos 2 019x＝2sin 2 019x＋π 6 ，∴f(x)的最大值为 A＝2； 由题意，得|x1－x2|的最小值为T 2 ＝ π 2 019 ， ∴A|x1－x2|的最小值为 2π 2 019.故选 B. 3．计算 cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝________(用数字作答)． 解 析 ： cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝ cos 10°＋ 3cos 80° 1－cos 80° ＝ cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 40° ＝ 2sin10°＋30° 2sin 40° ＝ 2. 答案： 2 4．已知α，β∈ 0，π 2 ，tan(α＋β)＝9tan β，则 tan α的最大值为________． 解析：∵α，β∈ 0，π 2 ，∴tan α>0，tan β>0， ∴tan α＝tan(α＋β－β)＝ tanα＋β－tan β 1＋tanα＋β·tan β ＝ 8tan β 1＋9tan2β ＝ 8 1 tan β ＋9tan β ≤ 8 2×3 ＝4 3 当且 仅当 1 tan β ＝9tan β时等号成立，∴tan α的最大值为4 3. 答案：4 3 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f 2(x)在区 间 0，2π 3 上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 . ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 . (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴g(x)＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π 6 －1. ∵0≤x≤2π 3 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤7π 6 . ∴－1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1，∴－2≤2sin 2x－π 6 －1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f2(x)在区间 0，2π 3 上的值域是[－2,1]． 6.(2018·湛江一模) 已知函数 f(x)＝Acos ωx－π 3 (A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离 为π 2 ，且 f(0)＝1. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设α，β∈ 0，π 4 ，f α－π 3 ＝－10 13 ，f β＋π 6 ＝6 5 ，求 tan(2α－2β)的值． 解：(1)∵函数 f(x)＝Acos ωx－π 3 (A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π 2 ， ∴T 2 ＝π ω ＝π 2 ，∴ω＝2， 又 f(0)＝1，∴1 2A＝1，∴A＝2， ∴f(x)＝2cos 2x－π 3 . (2)∵α∈ 0，π 4 ， f α－π 3 ＝2cos 2 α－π 3 －π 3 ＝2cos(2α－π) ＝－2cos 2α＝－10 13 ， ∴cos 2α＝ 5 13 ，sin 2α＝ 1－cos22α＝12 13 ， 则 tan 2α＝sin 2α cos 2α ＝12 5 . ∵β∈ 0，π 4 ， f β＋π 6 ＝2cos 2 β＋π 6 －π 3 ＝2cos 2β＝6 5 ， ∴cos 2β＝3 5 ，sin 2β＝ 1－cos22β＝4 5 ， 则 tan 2β＝sin 2β cos 2β ＝4 3. ∴tan(2α－2β)＝ tan 2α－tan 2β 1＋tan 2α·tan 2β ＝ 12 5 －4 3 1＋12 5 ×4 3 ＝16 63.