【数学】2020届江苏一轮复习通用版7-3等比数列作业
7.3 等比数列
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
等比数列的概念及运算
1.等比数列的证明
2.等比数列的通项
3.等比数列的求和
2014江苏,7
等比数列的通项
★★★
2017江苏,9
等比数列的求和
等比数列的性质及数列的综合应用
1.等比数列性质运用
2.数列综合应用
2016江苏,20
数列的综合应用
等比数列性质应用
★★★
2018江苏,20
数列的综合应用
等比数列的应用
分析解读 等比数列是数列中的一种重要模型,是江苏高考的重要考点之一,考查时往往和等差数列结合起来考查,考查数列的综合应用,对推理要求比较高,往往放在压轴题的位置.
破考点
【考点集训】
考点一 等比数列及其基本运算
1.(2019届江苏锡山高级中学检测)一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,则其公比为 .
答案 53
2.(2018江苏苏州高三期中)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则a7-a9a3-a5= .
答案 4
考点二 等比数列的性质
1.已知{an}是等比数列,an>0,又知a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5= .
答案 5
2.在等比数列{an}中,若Sn是其前n项和,且S4=3,S8=9,则S12= .
答案 21
3.公比q>0的等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= .
答案 2
炼技法
【方法集训】
方法一 等比数列的判断与证明的方法
(2019届江苏滨海中学检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
解析 (1)证明:Sn=4an-3(n∈N*),
当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.
因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=43an-1.
又a1=1≠0,所以{an}是首项为1,公比为43的等比数列.
(2)由(1)知an=43n-1,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得bn+1-bn=43n-1.
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+1-43n-11-43=3·43n-1-1(n≥2),
当n=1时也满足,
所以数列{bn}的通项公式为bn=3·43n-1-1(n∈N*).
方法二 等比数列的基本运算方法
1.等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·a4=329,且公比q∈(0,1).则an= .
答案 13·12n-6
2.已知{an}是各项都为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且S2=3,S4=15,则a3= .
答案 4
3.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和为 .
答案 2n-1
方法三 解决等差与等比数列综合问题的方法
(2018江苏苏州高三期中)已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=1,Sn+1=3Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在数列{bn}中,b1=3,bn+1-bn=an+1an(n∈N*),若不等式λan+bn≤n2对n∈N*有解,求实数λ的取值范围.
解析 (1)因为Sn+1=3Sn+1(n∈N*),
所以Sn=3Sn-1+1(n∈N*,n≥2),
所以an+1=3an(n∈N*,n≥2),
又当n=1时,由S2=3S1+1得a2=3,符合a2=3a1,所以an+1=3an(n∈N*),
所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,通项公式为an=3n-1(n∈N*).
(2)因为bn+1-bn=an+1an=3(n∈N*),b1=3,
所以{bn}是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以bn=3+3(n-1)=3n(n∈N*),
所以λan+bn≤n2,即3n-1·λ+3n≤n2,即λ≤n2-3n3n-1对n∈N*有解,
设f(n)=n2-3n3n-1(n∈N*),
因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-3(n+1)3n-n2-3n3n-1=-2(n2-4n+1)3n,
所以当n≥4,n∈N*时, f(n+1)
f(n),
所以f(1)f(5)>f(6)>…,
所以f(n)的最大值为f(4)=427,
所以λ≤427.
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8= .
答案 32
2.(2014江苏,7,5分,0.82)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .
答案 4
3.(2018江苏,20,16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.
(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).
解析 本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.
(1)由条件知an=(n-1)d,bn=2n-1.
因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,
即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤52.
因此,d的取值范围为73,52.
(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.
若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,
即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).
即当n=2,3,…,m+1时,d满足qn-1-2n-1b1≤d≤qn-1n-1b1.
因为q∈(1,m2],所以10,对n=2,3,…,m+1均成立.
因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.
下面讨论数列qn-1-2n-1的最大值和数列qn-1n-1的最小值(n=2,3,…,m+1).
①当2≤n≤m时,qn-2n-qn-1-2n-1=nqn-qn-nqn-1+2n(n-1)=n(qn-qn-1)-qn+2n(n-1),
当10.
因此,当2≤n≤m+1时, 数列qn-1-2n-1单调递增,
故数列qn-1-2n-1的最大值为qm-2m.
②设f(x)=2x(1-x),当x>0时, f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0.
所以f(x)单调递减,从而f(x)0,n∈N*,
所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.
因此,ST0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.
设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.
由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,
所以,Sn=n(n+1)2.
(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.
由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得
n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,
整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.
所以,n的值为4.
8.(2018天津理,18,13分)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*).
(i)求Tn;
(ii)证明∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n∈N*).
解析 本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.
(1)设等比数列{an}的公比为q.
由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.
因为q>0,可得q=2,故an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d.
由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.
由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.
所以,数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=n.
(2)(i)由(1),有Sn=1-2n1-2=2n-1,
故Tn=∑k=1n(2k-1)=∑k=1n2k-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.
(ii)证明:因为(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)
=k·2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1,所以,∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=233-222+244-233+…+2n+2n+2-2n+1n+1=2n+2n+2-2.
方法总结 解决数列求和问题的两种思路
(1)利用转化的思想将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.
(2)不能转化为等差或等比数列的,往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和.
9.(2017课标全国Ⅰ文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解析 本题考查等差、等比数列.
(1)设{an}的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n·2n+13.
由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23
=2-23+(-1)n·2n+13=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
方法总结 等差、等比数列的常用公式:
(1)等差数列:
递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.
通项公式:an=a1+(n-1)d.
前n项和公式:Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d.
(2)等比数列:
递推关系式:an+1an=q(q≠0),常用于等比数列的证明.
通项公式:an=a1·qn-1.
前n项和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q≠1).
(3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b或等比中项:a·c=b2来证明.
10.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)由题意得a2=12,a3=14.(5分)
(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.
故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.(12分)
评析本题主要考查了数列的递推公式及等比数列的定义,属基础题.
考点二 等比数列的性质及数列的综合运用
1.(2018浙江改编,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则下列正确的序号是 .
①a1a3,a2a4;④a1>a3,a2>a4.
答案 ②
2.(2015课标Ⅱ改编,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= .
答案 42
3.(2015课标Ⅱ改编,9,5分)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2= .
答案 12
4.(2017课标全国Ⅰ理改编,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是
20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 .
答案 440
5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .
答案 64
6.(2017课标全国Ⅱ文,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
解析 本题考查了等差、等比数列.
设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②
联立①和②解得d=3,q=0(舍去),或d=1,q=2.
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
7.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明an+12是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明1a1+1a2+…+1an<32.
解析 (1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.
又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.
an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an=3n-12.
(2)证明:由(1)知1an=23n-1.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-1≤12×3n-1.
于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32.
所以1a1+1a2+…+1an<32.
评析本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.
C组 教师专用题组
1.(2012课标全国改编,5,5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= .
答案 -7
2.(2011江苏,13,5分)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是 .
答案 33
3.(2013江苏,14,5分,0.206)在正项等比数列{an}中,a5=12,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 .
答案 12
【三年模拟】
一、填空题(每小题5分,共50分)
1.(2019届江苏如东栟茶中学检测)若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是 .
答案 405
2.(2018江苏苏州第一学期期末调研,8)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S6S3=-198,a4-a2=-158,则a3的值为 .
答案 94
3.(2018江苏南通高三调研,9)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a8=3,则a5的值为 .
答案 -6
4.(2018江苏泰州中学二模,6)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63.则S9= .
答案 511
5.(2017江苏南京高三第三次模拟考试,9)若等比数列{an}的各项均为正数,且a3-a1=2,则a5的最小值为 .
答案 8
6.(2019届江苏启东中学检测)在等比数列{an}中,若a1=19,a4=3,则该数列前五项的积为 .
答案 1
7.(2018江苏泰州中学高三学情调研)设正项等比数列{an}满足2a5=a3-a4,若存在两项an,am,使得a1=4an·am,则m+n= .
答案 6
8.(2019届江苏南通第一中学检测)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a72+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11= .
答案 8
9.(2019届江苏南京第一中学检测)已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Tn>1的n的最小值为 .
答案 6
10.(2019届江苏扬州中学检测)一个项数为偶数的等比数列,各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则该数列的通项公式是 .
答案 an=12·13n-1
二、解答题(共20分)
11.(2019届江苏无锡辅仁高级中学检测)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析 (1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
得a1+a2=S2=4a1+2.所以a2=5,
所以b1=a2-2a1=3.
因为Sn+1=4an+2①,
所以当n≥2时,Sn=4an-1+2②,
①-②,得an+1=4an-4an-1,
所以an+1-2an=2(an-2an-1).
因为bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1,
故{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,所以an+12n+1-an2n=34,
故an2n是首项为12,公差为34的等差数列.所以an2n=12+(n-1)·34=3n-14,
故an=(3n-1)·2n-2.
12.(2018江苏启东中学高三月考)已知数列{an}为等比数列,a1=1,公比为q,且q≠1,Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若a3+a5=20,求S8S4;
(2)若调换a1,a2,a3的顺序后能构成一个等差数列,求q的所有可能值;
(3)是否存在正常数c,q,使得对任意正整数n,不等式SnSn-c>2总成立?若存在,求出q的范围,若不存在,请说明理由.
解析 (1)因为a3+a5=20,所以q4+q2-20=0,
所以q2=4或q2=-5(舍去).
所以S8S4=1+q4=17.
(2)若a2,a1,a3或a3,a1,a2成等差数列,
则2a1=a3+a2,q2+q-2=0,
解得q=-2或1(舍去);
若a1,a3,a2或a2,a3,a1成等差数列,
则2a3=a1+a2,2q2-q-1=0,
解得q=-12或1(舍去);
若a3,a2,a1成等差数列,
则2a2=a3+a1,q2-2q+1=0,解得q=1(舍去).
综上,q=-2或-12.
(3)由SnSn-c-2>0,可得Sn-2cSn-c<0,
故等价于c0,所以Sn≥1,得到c<1.
当q>1时,S2>2>2c不可能成立.
当122,得qn<2q-1,
解得n>logq(2q-1).
因为121,
即当n>logq(2q-1)时,Sn>2,
所以Sn<2c不可能成立.
当q=12时,由1-12n1-12<2c,
即1-12n1-c,
即当n>log12(1-c)时,Sn<2c不成立.
当02总成立,q的取值范围为0,12.