高考数学 17-18版 第7章 第33课 课时分层训练33

高考数学 17-18版 第7章 第33课 课时分层训练33

课时分层训练(三十三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝____________.‎ ‎①；　　　　　　　 ②；‎ ‎③； ④.‎ ‎②　[由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.]‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝__________.‎ ‎12　[当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]‎ ‎3．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．‎ ‎10　[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，‎ 则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．‎ ‎∴a10＝0.08.]‎ ‎4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N＋)，则“λ<‎1”‎是“数列{an}为递增数列”的____________条件．‎ 充分不必要　[当an＋1－an＝(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn ‎＝1＋2n－2λ>0，即λ<时数列{an}为递增数列，又n∈N＋，∴λ<.‎ ‎∴“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．]‎ ‎5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝__________. ‎ ‎【导学号：62172182】‎ ‎2n－1　[法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.‎ 法二：由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]‎ ‎6．数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为____________．‎ ‎6　[由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6.]‎ ‎7．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)，则an＝____________. ‎ ‎【导学号：62172183】‎ ‎3n　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝3n.]‎ ‎8．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝____________.‎ ‎2　[由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，‎ 则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，‎ 所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]‎ ‎9．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝__________.‎ 　[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，‎ －＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，‎ 所以an＝.]‎ ‎10．(2017·南京模拟)对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N＋)，且bn＋1－bn＝1(n∈N＋)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝____________. ‎ ‎【导学号：62172184】‎ ‎8　[由bn＋1－bn＝1(n∈N＋)可知，数列{bn}成等差数列，‎ 又b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，‎ ‎∴b3－b2＝1，‎ ‎∴b2＝b3－1＝－3.‎ ‎∴a3－a2＝－3，‎ ‎∴a2＝3＋a3＝4.‎ ‎∴b1＝b2－1＝－3－1＝－4.‎ ‎∴a2－a1＝－4，‎ ‎∴a1＝a2＋4＝4＋4＝8.]‎ 二、解答题 ‎11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ ‎[解]　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，‎ 解得n＝16或n＝－9(舍去)，‎ 即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．‎ 所以从第7项起各项都是正数．‎ ‎12．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1；‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；‎ 同理，a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝a＋an，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20＝____________.‎ 　[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则‎20a20＝1＋19×5，解得a20＝.]‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.‎ 　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，‎ 两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＝4an(n≥2)．‎ ‎∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，‎ ‎∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，‎ ‎∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．‎ 故an＝]‎ ‎3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N＋，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由n2－5n＋4<0，‎ 解得1an知该数列是一个递增数列，‎ 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N＋，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎4．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝‎4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.‎ 于是a1＝1，‎ a2＝a1，‎ a3＝a2，‎ ‎……‎ an－1＝an－2，‎ an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，‎ 整理得an＝.‎ 显然，当n＝1时也满足上式．‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎