2018-2019学年四川省雅安中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省雅安中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019 学年四川省雅安中学高一上学期期中考试数学试 题 一、单选题 1．已知集合 ，则下列选项正确的是（　　） A． 0⊆A B． {0}⊆A C． ∅∈A D． {0}∈A 【答案】B 【解析】根据元素与集合的关系，用 ∈ ，集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B 正确. 2．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先根据函数的定义域就是使得式子有意义的 x 的取值所构成的集合，结合分 式、偶次根式以及对数式的要求，列出相应的不等式组，最后求得结果. 【详解】 要使函数有意义，需要 ，解得 ， 所以函数的定义域为 ， 故选 A. 【点睛】 该题考查的是有关函数定义域的问题，这里需要注意的是一定要把握好对应式子的要求， 偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，对数式要求真数大于零， 属于简单题目. 3．设集合 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先解一元二次不等式求得集合 M，解对数不等式求得集合 N，再利用并集中 元素的特征，求得 ，从而得到结果. 【详解】 解不等式 ，得 ，所以 ， 由不等式 ，解得 ，所以 ， 所以 ，故选 B. 【点睛】 该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，利用对 数函数的单调性求解对数不等式的问题以及集合的并集运算，属于中档题目. 4．已知函数 ，则 A． 是奇函数，且在 R 上是增函数 B． 是偶函数，且在 R 上是增函数 C． 是奇函数，且在 R 上是减函数 D． 是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】分析：讨论函数 的性质，可得答案. 详解：函数 的定义域为 ，且 即函数 是奇函数， 又 在 都是单调递增函数，故函数 在 R 上是增函数。 故选 A. 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 5．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 3 【答案】D 【解析】根据已知条件，首先找到 2 适合的函数解析式，代入写出新的表达式，将新的 表达式写出后，再根据新的 x 的取值，找到相应解析式重新代入，直到找到最终解析式 求解即可. 【详解】 ， 故选 D. 【点睛】 该题考查分段函数的应用，解答本题的关键是根据 x 的取值范围，代入对应的函数解析 式求解. 6．在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，对选项中的图象逐个分析， 【详解】 对于 A 项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以 A 项不满足要求； 对于 B 项，幂函数 ，对数函数 ，所以 B 项不满足要求； 对于 C 项，幂函数要求 ，而对数函数要求， ，所以 C 项不满足要求； 对于 D 项，幂函数与对数函数都要求 ，所以 D 项满足要求； 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，需要对相应的函数的图象的 走向了如指掌，注意参数的范围决定着函数图象的走向，再者就是在同一坐标系中两个 函数的图象对应参数的范围必须保持一致. 7．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析： ，故 选 B. 【考点】实数的大小比较. 8．用二分法求方程 x2–2=0 在（1，2）内近似解，设 f（x）=x2–2，得 f（1）<0，f （1.5）>0， f（1.25）<0，则方程的根在区间( ) A． （1.25，1.5） B． （1，1.25） C． （1, 1.5） D． 不能确定 【答案】A 【解析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】 已知 , 所以 , 可得方程的根落在区间 内, 故选 A. 【点睛】 该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点 存在性定理，属于简单题目. 9．下列命题正确的是 A． 小于 的角一定是锐角 B． 终边相同的角一定相等 C． 终边落在直线 上的角可以表示为 ， D． 若 ,则角 的正切值等于角 的正切值 【答案】D 【解析】根据小于 的角不一定是锐角排除 ；根据终边相同的角之差为 的整数倍 排除 ；根据终边落在直线 上的角可表示为 排除 ，从而可得结果. 【详解】 小于 的角不一定是锐角，锐角的范围是 ，所以 错； 终边相同的角之差为 的整数倍，所以 错； 终边落在直线 上的角可表示为 ，所以 错； 由 ，可得 , 正确， 故选 D. 【点睛】 本题主要考查范围角，终边相同的角、锐角的基本定义以及排除法的应用，意在考查对 基本定义掌握的熟练程度，属于基础题. 10．已知函数 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：用换元法求出 ，再解方程 即可. 详解： ，则 ， 故 ， 令 ，则 ，故选 A. 点睛：函数解析式的求法有：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函 数方程法.注意针对问题的特征选择合适的方法. 11．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 （万元）与机器运转时间 （年数， ）的关系为 ，则年平均利润的 最大值是多少万元？（ ） A． 5 万元 B． 6 万元 C． 8 万元 D． 9 万元 【答案】C 【解析】首先根据题意，求得年平均利润为 ，之后利用基本不等式得到 ，并且求得当 时取等号，将 代入求得相应的最值，得到结 果. 【详解】 根据题意，年平均利润为 ， 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 所以当 时，年平均利润最大，最大值是 万元， 故选 C. 【点睛】 该题考查的是有关年平均利润的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有 利用函数解决实际问题，利用基本不等式求最值问题，属于中档题目. 12．已知函数 ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取 值范围是 A． [–1，0） B． [0，+∞） C． [–1，+∞） D． [1，+∞） 【答案】C 【解析】分析：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程 有两个解，将其 转化为 有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的 函数解析式，画出函数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移 动，从图中可以发现，当 时，满足 与曲线 有两个交点，从而求得结 果. 详解：画出函数 的图像， 在 y 轴右侧的去掉， 再画出直线 ，之后上下移动， 可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程 有两个解， 也就是函数 有两个零点， 此时满足 ，即 ，故选 C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程 中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转 化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利 用数形结合思想，求得相应的结果. 二、填空题 13．函数 y=ax﹣1+1（a＞0 且 a≠1）的图象必经过定点__________． 【答案】（1，2）． 【解析】试题分析：由题意令 x-2=0，解得 x=2，再代入函数解析式求出 y 的值为 2，即 可得所求的定点． 令 x-1=0，解得 x=1，则 x=1 时，函数 ，即函数图象恒过一个定点（1， 2）． 【考点】指数函数恒过点 14 ． 已 知 一 扇 形 的 圆 心 角 为 ， 所 在 圆 的 半 径 为 3cm. 求 扇 形 的 面 积 为 ____________. 【答案】 【解析】首先利用角度与弧度的转化，求得 ，之后应用扇形的面积公式求得 结果. 【详解】 因为扇形的圆心角 ，所在圆的半径为 ， 由扇形的面积公式可得 ， 故答案是 . 【点睛】 该题考查的是扇形的面积的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有角度与弧度 的转化，扇形的面积公式，也可以先求弧长，用 来求. 15．函数 f(x)= 的增区间是 _______________________ 【答案】 【解析】由 ,所以定义域为 ,由复 合函数的单调性可知函数 f(x)的单调递增区间为 . 16．用 表示不超过 的最大整数，如 ． 下面关于函数 说法正确的序号是____________.（写上序号） ①当 时， ； ②函数 的值域是 ； ③函数 与函数 的图像有 4 个交点； ④方程 根的个数为 7 个． 【答案】①③ 【解析】首先利用题中所给的条件，明确取整函数的意义所在，之后结合题中所给的函 数解析式，对所给的命题逐个分析，判断正误，从而得到正确的结果. 【详解】 对于①， 时， ，所以 ，所以①正确； 对于②，由题意知， 为整数时， ， 不是整数时， ，所以函数 的 值域是 ，所以②不正确； 对于③，在同一坐标系下画出函数 与 的图象，如图所示， 函数的图象每段斜线段的右上方的端点是圈，不包括，由图象可知两函数图象有 4 个交 点，所以③正确； 对于④，由 得 ，在同一坐标系下画出函数 与 的图象，如 图所示： 图象中斜线段的右上方的端点不包括，是圈，由图象可知两函数图象有 9 个交点， 所以方程 根的个数为 9 个，所以④不正确； 所以正确命题的序号是①③， 故答案是①③. 【点睛】 该题属于判断正确命题个数的问题，在解题的过程中，需要对取整函数的性质要明确， 再者，需要用到数形结合的思想，这就要求必须将函数的图象画对. 三、解答题 17．（1）计算 ； 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）首先根据指数式与对数式的运算法则，化简求值，可得结果； （2）首先应用诱导公式化简函数解析式，之后代入求值即可得结果. 【详解】 (1)原式 (2)原式化简为 ， . 【点睛】 该题考查的是有关化简求值问题，涉及到的知识点有指数式的运算法则，对数式的运算 法则，正余弦的诱导公式，同角三角函数关系式，以及特殊角的三角函数值，遵循先化 简后求值的思路，属于简单题目. 18．（1）已知点 在角 的终边上，且 ，求 和 的值； （2）求证： . 【答案】（1） （2）详见解析. 【解析】（1）根据两点间距离公式，求得 r 的值，之后应用三角函数的定义，结合题中 所给的角的正弦值，得到 t 所满足的等量关系式，求得结果，再利用余弦的定义求得 的值； （2）利用同角三角函数的关系式，证得结果. 【详解】 （1）由已知 ，所以 解得 ， 故 θ 为第四象限角， ； （2）证明：左边 右边， 即等式成立. 【点睛】 该题考查的是有关三角函数的定义以及利用同角三角函数关系式证明等式成立的问题， 在解题的过程中，注意对基础知识的灵活掌握，属于中档题目. 19．已知函数 （ 且 ）， （1）若 ，解不等式 ； （2）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】(1)把 代入函数解析式，由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式 求解；(2)内函数 为减函数，要使函数 在区间 上是单调增函数，则 外函数为减函数，且内函数在 上的最小值大于 0，由此列不等式式即可求得常数 的取值范围. 【详解】 ⑴当 时，原不等式可化为 ∴ ， 解得 ， ∴原不等式的解集为 . ⑵设 ，则函数 为减函数， ∵函数 在区间 上是单调增函数，∴ ， 解得 ∴实数 的取值范围 . 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的 判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注 意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性， 正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）. 20．已知函数 的定义域为 ，且满足下列条件： ① ；②对于任意的 ， ，总有 ；则： （Ⅰ）求 及 的值． （Ⅱ）求证：函数 为奇函数． 【答案】（1）1, ； （2）见解析； 【解析】（1）对 分别赋值，令 ，代入题中所给的式子，得到 ，再重 新赋值，u=1，v=-1，结合 ，求得 ； （2）利用奇函数的定义，对 分别赋值，令 ，从而证得 g(-x)=-g(x)，得到 结果. 【详解】 （Ⅰ）∵对于任意 ，都有 ， ∴令 ，得 ，∴ ． 令 u=1，v=-1，则 ，∴ ． （Ⅱ）令 ，则有 ，∴ ， 因为 ，则 g(-x)=f(x)-1, ∴ ，即：g(-x)=-g(x)． 故 为奇函数． 【点睛】 本题主要考查了抽象函数的性质的判定与证明，以及利用函数的单调性求解不等式问题， 其中解答中合理赋值，正确利用奇偶性的定义判定. 21．已知定义域为 的函数是奇函数 （1）求实数 b 的值 （2）判断并用定义法证明 在 上的单调性 （3）若对任意实数 ,不等式 恒成立,求 的取值范围 【答案】（1）b=1（2）见解析（3） 【解析】（1）由奇函数的条件可得 ，即可得到 b 的值； （2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证； （3）利用奇函数的定义以及函数单调性的条件，将不等式转化为 对 恒成立，讨论 或 解出即可. 【详解】 (1)由于定义域为 的函数 是奇函数, 所以 （2） 在 上是减函数. 证明如下:设任意 ∵ ∴ ∴ 在 上是减函数 , （3）不等式 , 由奇函数 得到 所以 , 由 在 上是减函数,∴ 对 恒成立 ∴ 或 综上: . 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题.解函数不等 式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性 去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义 域内. 22．已知 在区间 上的值域 . (1)求 的值； (2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； (3)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】试题分析：（1）对 配方，求出对称轴 ，讨论若 三种情况，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求 的值； （2）由题意可得 ，化为 ，令 ， 求出 的范围，求得右边函数的最小值即可得到 的范围； （3）令 ，可化为| 有 3 个不 同的实根．令 ，讨论 的范围和单调性， 有两个不同 的实数 已知函数有 3 个零点等价为 或 ，由 二次函数图象可得不等式组，解不等式可得 的范围． 试题解析：（1） ，满足条件； ，综上 （2） 则 （3）问题等价于 有三个不同的 根，令 ，所以方程 有两个不同的解 ，且 ，因此 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等 式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思 想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．