【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(1)学案

【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(1)学案

‎1．3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎ [知识梳理]‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)概念 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；‎ 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；‎ 对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.‎ ‎(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 ‎ (4)命题的否定与否命题的区别 ‎①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若 p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．‎ ‎②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．‎ ‎2．全称量词和存在量词 ‎3．全称命题和特称命题 ‎4．复合命题的否定 ‎(1)“綈p”的否定是“p”；‎ ‎(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；‎ ‎(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．(　　)‎ ‎(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(　　)‎ ‎(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)‎ ‎(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤‎0”‎的否定是(　　)‎ A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0‎ B．∃x>0，使得x2－x＋3>0‎ C．∀x>0，都有x2－x＋3>0‎ D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0‎ 答案　B 解析　命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤‎0”‎的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.‎ ‎(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　)‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧(綈q)是真命题 D．命题p∨(綈q)是假命题 答案　C 解析　由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，‎ 依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，‎ 进而得到命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．故选C.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ 答案　D 解析　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题．故选D.‎ ‎(2)(2015·山东高考)若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　若0≤x≤，则0≤tanx≤1，∵“∀x∈，tanx≤m”是真命题，∴m≥1.∴实数m的最小值为1.‎ 题型1　含有逻辑联结词的命题的真假　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 　　(2018·江西七校联考)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解；命题q：若m＝，则f ‎[f(－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ 利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．‎ 答案　B 解析　因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，‎ 所以命题p为假命题；‎ 当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，‎ 所以f[f(－1)]＝f＝－2＝0，‎ 所以命题q为真命题，‎ 逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题．故选B.‎ 　　(2017·武汉模拟)若存在正常数a，b，使得∀x∈R有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数”．给出下列三个函数：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝sinx2，其中是“限增函数”的是(　　)‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．③‎ 注意放缩法的应用．‎ 答案　B 解析　对于①，f(x＋a)≤f(x)＋b可化为 ‎(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，‎ 即2ax≤－a2－a＋b，即x≤对一切x∈R均成立，因函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a，b，故f(x)＝x2＋x＋‎ ‎1不是“限增函数”；‎ 对于②，若f(x)＝是“限增函数”，则 f(x＋a)≤f(x)＋b可化为：≤＋b，‎ ‎∴|x＋a|≤|x|＋b2＋2b恒成立，又 ‎|x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，‎ ‎∴≥，显然当a‎0”‎是“x>‎4”‎的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案　C 解析　因为01.20＝1，c＝log1.20.30可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>‎0”‎是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.‎ ‎2．(2018·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案　C 解析　当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题．故选C.‎ 题型2　全称命题与特称命题 角度1　全称命题、特称命题的真假判断 　　(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是(　　)‎ A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 C．∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)‎ D．∀a>0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点 本题用赋值法、分离常数法．‎ 答案　B 解析　取α＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，A正确；取φ＝时，函数f(x)＝sin＝cos2x是偶函数，B错误；对于三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0，C正确；当f(x)＝0时，ln2 x＋ln x－a＝0，则有a＝ln2 x＋ln x＝2－≥－，所以∀a>0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点，D正确．故选B.‎ 角度2　全称命题、特称命题的否定 　　(2018·厦门模拟)已知命题p：∀x∈，sinx0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，使得g(x0)＝0，则下列说法正确的是(　　)‎ A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)<0‎ B．p是假命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)≤0‎ C．q是真命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0‎ D．q是假命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0‎ 答案　C 解析　f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，即当x＝0时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f(0)＝e0－0＝1－0＝1>0，‎ 所以∀x∈R，f(x)>0成立，即p是真命题．‎ g(x)＝ln x＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x→0时，g(x)<0，g(1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x0∈(0，＋∞)，使得g(x0)＝0成立，即命题q是真命题．‎ 则綈p：∃x0∈R，f(x0)≤0，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0，‎ 综上只有C成立．故选C.‎ ‎2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p：存在x∈，使sinx＋cosx>；命题q：“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－‎1”‎的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－‎1”‎，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确命题的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　因为sinx＋cosx＝sin≤，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q)为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题．‎ ‎∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.‎ 题型3　由命题的真假求参数的取值范围 　　已知命题P：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若P∨Q是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ 注意分情况讨论．‎ 答案　a≤－2或a>2‎ 解析　命题P：函数y＝loga (1－2x)在定义域上单调递增，∴02，所以P∨Q为假时a≤－2或a>2.‎ ‎[结论探究]　在本例条件下，若P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　　－20，总有f(x)＝a－x－|lg x ‎|≤0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，lg e－lg (lg e)] B．(－∞，1]‎ C．[1，lg e－lg (lg e)] D．[lg e－lg (lg e)，＋∞)‎ 用数形结合法．‎ 答案　A 解析　对任意的x>0，总有f(x)＝a－x－|lg x|≤0，即a－x≤|lg x|恒成立，设y＝－x＋a，g(x)＝|lg x|，如图，当直线y＝－x＋a与g(x)相切时，a取得最大值，设切点为A(x，y)，‎ 则－1＝(－lg x)′，得到x＝lg e，所以y＝－lg (lg e)，‎ 所以切线方程为：y＋lg (lg e)＝－(x－lg e)，令x＝0得到y＝lg e－lg (lg e)，‎ 所以a的取值范围为(－∞，lg e－lg (lg e)]．故选A.‎ 方法技巧 利用命题真假求参数取值范围的求解策略 ‎1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：‎ ‎(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.‎ ‎2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.‎ 冲关针对训练 ‎(2018·寿县月考)已知命题P：∀x∈(2,3)，x2＋5>ax是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B. C. D．(－∞，2]‎ 答案　A 解析　若∀x∈(2,3)，x2＋5>ax恒成立，则aax是假命题，‎ ‎∴a≥2，实数a的取值范围是[2，＋∞)．故选A.‎ ‎1．(2017·山东高考)已知命题p：∀x＞0，ln (x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案　B 解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0，‎ ‎∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．‎ ‎∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，‎ ‎∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．‎ ‎∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.‎ ‎2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为(　　)‎ A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3‎ C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3‎ 答案　B 解析　由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B.‎ ‎3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是(　　)‎ A．若a>b>0，则ln a(n＋2)·2n－‎1”‎的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－‎‎1”‎ D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 答案　D 解析　A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(‎2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－‎1”‎的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－‎1”‎，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<‎0”‎，该逆命题是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，正确．故选D.‎ ‎4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)‎ C．(2,3] D．[3，＋∞)‎ 答案　B 解析　若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a≥3x2在区间[－1,1]上恒成立，所以a≥3；若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.由题意知，p与q一真一假．当p真q假时，则a∈∅；当p假q真时，则a≤－2或2≤a<3.‎ 综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.‎ ‎ [基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1‎ D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1‎ 答案　B 解析　“∀x>0，总有(x＋1)ex>‎1”‎的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤‎1”‎．故选B.‎ ‎2．下列四个命题：‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p‎4 C．p2，p3 D．p2，p4‎ 答案　D 解析　‎ ‎3．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)‎ A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)‎ C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)‎ 答案　C 解析　由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．故选C.‎ ‎4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是(　　)‎ A．若p∨q为假命题，则p∧q为假命题 B．若a，b∈[0,1]，则不等式a2＋b2<成立的概率是 C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥‎‎0”‎ D．已知函数f(x)可导，则“f′(x0)＝‎0”‎是“x0是函数f(x)的极值点”的充要条件 答案　D 解析　选项A，若p∨q为假命题，则p为假命题，q为假命题，故p∧q为假命题，正确；选项B，使不等式a2＋b2<成立的a，b∈，故不等式a2＋b2<成立的概率是＝，正确；选项C，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D，令f(x)＝x3，则f′(0)＝0，但0不是函数f(x)＝x3的极值点，错误．故选D.‎ ‎5．(2017·河西区三模)已知命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.若綈p是假命题，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，e2] B．(－∞，e]‎ C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)‎ 答案　B 解析　命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.‎ ‎∴a≤(ex)min＝e，‎ 若綈p是假命题，∴p是真命题，∴a≤e.‎ 则实数a的取值范围为(－∞，e]．故选B.‎ ‎6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．[－2,0)‎ C．(－2,0) D．(0,2)‎ 答案　C 解析　由题可知若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真，则m2－4<0，即－20，则x>sinx恒成立；‎ ‎②命题“若x－sinx＝0，则x＝‎0”‎的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠‎0”‎；‎ ‎③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∀x∈R，x－ln x>‎0”‎的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<‎0”‎．‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　对于①，令y＝x－sinx，则y′＝1－cosx≥0，则函数y＝x－sinx在R上递增，则当x>0时，x－sinx>0－0＝0，即当x>0时，x>sinx恒成立，故①正确；‎ 对于②，命题“若x－sinx＝0，则x＝‎0”‎的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠‎0”‎，故②正确；‎ 对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；‎ 对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>‎0”‎的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤‎0”‎，故④错误．‎ 综上，正确结论的个数为3.故选C.‎ ‎8．(2017·广东七校联考)已知命题p：∃a∈，函数f(x)＝在上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在区间上无零点．则下列命题中是真命题的是(　　)‎ A．綈p B．p∧q C．(綈p)∨q D．p∧(綈q)‎ 答案　D 解析　设h(x)＝x＋.易知当a＝－时，函数h(x)为增函数，且h＝>0，则此时函数f(x)在上必单调递增，即p是真命题；∵g＝－<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在上有零点，即q是假命题，根据真值表可知p∧(綈q)是真命题．故选D.‎ ‎9．(2018·广州测试)已知命题p：∃x>0，ex－ax<1成立，q：函数f(x)＝－(a－1)x在R上是减函数，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　作出y＝ex与y＝ax＋1的图象，如图．当a＝1时，ex≥x＋1恒成立，故当a≤1时，ex－ax<1不恒成立；当a>1时，可知存在x∈(0，x0)，使得ex－ax<1成立，故p成立，即p：a>1，由函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，可得a－1>1，得a>2，即q：a>2，故p推不出q，q可以推出p，p是q的必要不充分条件．故选B.‎ ‎10．(2017·泰安模拟)已知命题p：存在x0∈R，mx＋1<1，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2]‎ C．[0,2] D．R 答案　C 解析　对于命题p，mx2＋1<1，得mx2<0，若p为真命题，则m<0，若p为假命题，则m≥0；对于命题q，对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题，则m<－2或m>2.因为p∨(綈q)为假命题，则需要满足命题p为假命题且命题q为真命题，即解得0≤m≤2，故选C.‎ 二、填空题 ‎11．若∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使asinθ≥a成立，则cos的值为________．‎ 答案　 解析　因为∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使asinθ≥a成立，所以sinθ≥1.又sinθ∈[－1,1]，所以sinθ＝1，故θ＝＋2kπ(k∈Z)．所以cos eq lc( c)(avs4alco1(θ－f(π,6)))＝cos＝cos＝cos＝.‎ ‎12．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(1,2)‎ 解析　由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－21.所以所求的m的取值范围是10)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋‎2a]，则有2－a≥－1且2＋‎2a≤3，即a≤.又a>0，故a的取值范围是.‎ ‎14．(2017·衡水调研)直线x＝1与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记＝a＋b(a，b∈R)，其中O为抛物线C的顶点．‎ ‎(1)当与平行时，b＝________；‎ ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①∀a，b∈R，△PMN不是等边三角形；‎ ‎②∃a<0且b<0，使得与垂直；‎ ‎③无论点P在准线上如何运动，a＋b＝－1恒成立．‎ 其中，所有正确命题的序号是________．‎ 答案　(1)－1　(2)①②③‎ 解析　(1)∵＝(1,2)，＝(1，－2)，‎ ‎∴＝a＋b＝(a＋b,‎2a－2b)．‎ ‎∵∥，∴‎2a－2b＋2(a＋b)＝0，‎ ‎∴a＝0.∵抛物线的准线为x＝－1，点P在准线上，‎ ‎∴P点的横坐标为－1，∴a＋b＝－1，∴b＝－1.‎ ‎(2)对于①，假设是等边三角形，则P(－1,0)，|PM|＝2，|MN|＝4，|MN|≠|PM|，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，与垂直，·＝0，得到a＝b，∴②正确；③显然成立．‎ 三、解答题 ‎15．(2018·吉林大学附中模拟)设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x＋＋7.若“∃x∈[0，＋∞)，f(x)0时，9x＋－7≥a＋1，结合基本不等式有6|a|－7≥a＋1，得a≥或a≤－，①②‎ 取交集得a的取值范围是a≤－.‎ ‎16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，命题q：函数y＝x2＋(‎2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．‎ 解　若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，‎ 因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，‎ 所以所以00，得‎4a2－‎12a＋5>0，解得a<或a>.‎ 因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．‎ ‎①若p真q假，则所以≤a<1；‎ ‎②若p假q真，则 所以a≤0或a>.‎ 故实数a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.‎