2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，若，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，集合A={x||x-2|＜1}={x|1＜x＜3}，∵集合B={x|x＜m}，A⊆B ∴m≥3,∴m的取值范围是{m|m≥3} 故选A．‎ ‎2．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得双曲线方程为 ，所以选B(此时)‎ ‎3．已知，则=‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵， ，∴，则，故选C.‎ ‎4．下列说法正确的是 A． ，则的充分条件是 B． 若 ，则的充要条件是 C． 对任意，的否定是存在，‎ D． 是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，当a＜0时，由b2-4ac≤0不能得到f（x）≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”错误．‎ 对于B，若 m，k，n∈R，由mk2＞nk2的一定能推出m＞n，但是，当k=0时，由m＞n不能推出mk2＞nk2，故B错误，‎ 对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02＜0”，故C错误，‎ 对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，‎ 故选D.‎ ‎5．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 该球直径为正方体对角线长，即，选C. ‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎6．设为抛物线的焦点，曲线与交于点， 轴，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.‎ ‎【考点】1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.‎ ‎7．圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.‎ ‎【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．‎ ‎8．已知为等差数列的前项和，若，则=‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵3a1+4a9=a17，∴4a1+4a9=a1+a17，即4（a1+a9）=2a9，即4a5=a9，则 ‎ 故选C.‎ ‎9．若执行右侧的程序框图，当输入的的值为时，输出的的值为，则空白判断框中的条件可能为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示： 故其体积V，‎ 故选A.‎ ‎11．设函数，则是 A． 奇函数，且在上是增函数 B． 奇函数，且在上是减函数 C． 偶函数，且在上是增函数 D． 偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函数的定义域为（-1，1），函数f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，，显然f（0）＜f，函数是增函数，所以B错误，A正确．‎ 故选A．‎ ‎12．（2017新课标全国II文科）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 与抛物线方程 联立解得 ，因此 ,所以M到直线NF的距离为 ,选C.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量.若向量与垂直，则=_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】向量， ， ,则,解得m=7,故填7.‎ ‎14．若满足约束条件，则的最小值为 ______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大， 有最小值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15．函数的最大值为___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎，∴当时， 有最大值为4，故答案为4.‎ ‎16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,‎ 解方程组得： ，所以点的坐标为,‎ 抛物线的焦点的坐标为: .因为是的垂心，所以,‎ 所以， .‎ 所以， .‎ ‎【考点】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.‎ 三、解答题 ‎17．已知分别是内角的对边，.‎ ‎（I）若，求； ‎ ‎（II）若，且， 求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2)1‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再根据余弦定理解得；（2）根据勾股定理解得.再根据直角三角形面积公式求面积 试题解析：（I），由正弦定理得：；‎ ‎，‎ 由余弦定理得：‎ ‎（II）由（I）可得：，‎ ‎，解得.‎ ‎.‎ ‎18．为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过与作差可得，进而可知数列是首项为，公差为的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）通过（1）可知，裂项可得，并项即可求解数列的和．‎ 试题解析：（1）由，可知，‎ 可得，即 ‎，‎ 由于，可得．‎ 又，解得（舍去），．‎ 所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为 ‎（2）由可知，‎ ‎．‎ 设数列的前项和为，则 ‎【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： ，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（1）0.4；（2）20；（3）3:2.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由频率分布直方图知，‎ 分数在的频率为，‎ 分数在的频率为，‎ 则分数小于70的频率为，‎ 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为.‎ ‎(2)由频率分布直方图知，‎ 样本中分数在区间的人数为 (人)，‎ 已知样本中分数小于40的学生有5人，‎ 所以样本中分数在区间内的人数为 (人)，‎ 设总体中分数在区间内的人数为，‎ 则，得，‎ 所以总体中分数在区间内的人数为20人.‎ ‎(3)由频率分布直方图知，‎ 分数不小于70的人数为 (人)，‎ 已知分数不小于70的男女生人数相等，‎ 故分数不小于70分的男生人数为30人，‎ 又因为样本中有一半男生的分数不小于70，‎ 故男生的频率为： ，‎ 即女生的频率为： ，‎ 即总体中男生和女生人数的比例约为： .‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎20．如图所示，正三棱柱的高为，是的中点，是的中点 ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)2‎ ‎【解析】试题分析：（1）由三角形中位线性质得DE//AC1，再根据线面平行判定定理得结果（2）根据平行性质得D到平面BCC1B1的距离是A到平面BCC1B1的距离的一半，再根据锥体体积公式列方程解得底面边长 试题解析：（Ⅰ）证明：如图，连接AB1，AC1， ‎ 易知D是AB1的中点，‎ 又E是B1C1的中点，‎ 所以在中，DE//AC1， ‎ 又DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1， ‎ 所以DE//平面ACC1A1. ‎ ‎（Ⅱ）解：， ‎ D是AB1的中点，‎ D到平面BCC1B1的距离是A到平面BCC1B1的距离的一半， ‎ 如图，作AFBC交BC于F，由正三棱柱的性质，易证AF平面BCC1B1，‎ 设底面正三角形边长为，则三棱锥D−EBC的高h=AF=， ‎ ‎，所以， ‎ 解得. ‎ 所以该正三棱柱的底面边长为2．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21．中心在原点的双曲线的右焦点为，渐近线方程为.‎ ‎（I）求双曲线的方程；‎ ‎（II）直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 存在， ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设双曲线的方程为 ，（a＞0，b＞0），则有c=，，c2=a2+b2，解得即可; （Ⅱ）由 得（2-k2）x2+2kx-2=0，根据韦达定理和向量的数量积得出关于k的方程，即可求出k的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设双曲线的方程为，则有 得，所以双曲线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由得， ‎ 依题意有 解得且，① ‎ 且，， ‎ 设，，‎ 依题意有，所以， ‎ 又， ‎ 所以，化简得， ‎ 符合①，所以存在这样的圆.‎ ‎22．已知函数；‎ ‎（I）当时，求函数的最值；‎ ‎（II）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（I）化简函数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值；‎ ‎（II）由，得 利用换元法令，所以对恒成立.利用分类讨论①当时，；②当时，分离得，求右侧函数的最小值即得实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ 又在上单调递减，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ）由，得 令 所以对恒成立.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，，令 由于在递减，在递增.‎ 所以，则；‎ 综上知.‎ 点睛：本题考查不等式恒成立，分类讨论以及转化思想的应用，利用对数的运算性质对函数进行化简，采用换元法，把函数化繁为简，进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.‎