吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

扶余一中2018〜2019学年度下学期期末考试 高二数学（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。‎ ‎4.本卷命题范围：人教版选修2-2，选修2-3，选修4-4。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.‎ 详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.‎ ‎2.定积分（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分基本定理求出即可。‎ ‎【详解】.选C.‎ ‎【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数。‎ ‎3.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A. 0.28 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.‎ ‎【详解】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B.‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.‎ ‎4.三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为 A. 48 B. 72 C. 120 D. 144‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 女歌手不相邻，则先排男生，再对女生插空即可.‎ ‎【详解】由插空法得．选D.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合用插空法解决问题，属于基础题.‎ ‎5.在10个篮球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品两种情况，根据情况写出所有的组合数计算即可.‎ ‎【详解】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品这两种情况为，总数为，所以概率为．选A.‎ ‎【点睛】本题考查概率问题，解题的关键是正确的求出所有可能的结果，属于基础题.‎ ‎6.将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由可得：，代入化简即可求出答案.‎ ‎【详解】由伸缩变换，得代入，得，即．选B.‎ ‎【点睛】本题考查坐标的伸缩变换公式，考查学生的转化能力，属于基础题.‎ ‎7.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.‎ ‎【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.‎ ‎【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.‎ ‎8.已知，则除以9所得的余数是 A. 2 B. 3‎ C. 5 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数的性质，将化简为，再展开即可得出结果.‎ ‎【详解】，所以除以9的余数为7．选D.‎ ‎【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.‎ ‎9.设函数的极小值为，则下列判断正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，利用求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值的范围.‎ ‎【详解】令，得，检验：当 时， ，当 时，，所以的极小值点为，所以的极小值为 ‎，又．∵，∴，∴．选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题.‎ ‎10.设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 2 D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．‎ 解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，‎ 即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，‎ ‎∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，‎ ‎∴P（ξ＞4）=0.5，‎ 由正态曲线的对称性知μ=4，‎ 故选：B．‎ 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎11.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 A. 5种 B. 10种 C. 20种 D. 120种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.‎ ‎【详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.‎ ‎12.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时可得：；令可得函数在上单调递增；利用奇偶性的定义可证得为偶函数，则在上单调递减；将已知不等式变为，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】当时， ‎ 令，则在上单调递增 为奇函数 为偶函数 则在上单调递减 等价于 可得：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.函数的图象在点处的切线方程是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出在1处的导数，再求出在1处的函数值，然后用点斜式求出方程即可.‎ ‎【详解】，∴且，切线方程是，即．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在点处切线方程，属于基础题.‎ ‎14.若的展开式中常数项为，则展开式中的系数为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a的值，再利用通项公式求的系数.‎ ‎【详解】展开式的通项公式为，当时，常数项为，所以．当时，，展开式中的系数为．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题.‎ ‎15.在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，令，可以求出圆的圆心坐标，又因为圆经过点，则圆的半径为C，P两点间的距离，利用极坐标公式即可求出圆的半径，则可写出圆的极坐标方程.‎ ‎【详解】在中，令，得，所以圆的圆心坐标为．因为圆经过点，所以圆的半径，于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为．‎ ‎【点睛】本题考查用极坐标公式求两点间的距离以及求点的坐标，考查圆的极坐标方程，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎16.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关于的方程有两个不相等的实数根，可转化为求有两个不同的解的问题，令，分析的单调性和图像，从而求出c的取值范围.‎ ‎【详解】引入函数，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以．又分析知，当时，；当时，；当时，，所以，所以．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的零点问题，解题的关键是利用导数讨论函数的单调性，此题属于基础题.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：‎ 参与 不参与 总计 男大学生 ‎30‎ 女大学生 ‎50‎ 总计 ‎45‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由.‎ 附：，其中.‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格内的数据计算即可. （2）将表格中的数据代入公式，计算即可求出k的取值，根据参考值得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 参与 不参与 总计 男大学生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 女大学生 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 总计 ‎45‎ ‎55‎ ‎100‎ ‎（2）因为的观测值，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关．‎ ‎【点睛】本题考查列联表和独立性检验的应用，属于基础题.‎ ‎18.（1）若展开式中的常数项为60，求展开式中除常数项外其余各项系数之和；‎ ‎（2）已知二项式（是虚数单位，）的展开的展开式中有四项的系数为实数，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求展开式的通项，根据常数项为60解得a的值，然后在原解析式中代入x=1求得各项系数之和，进而求出结果. （2）求出展开式的通项，因为展开式中有四项的系数为实数，所以r的取值为0,2,4,6，则可得出n的所有的可能的取值.‎ ‎【详解】解：（1）展开式的通项为，常数项为，‎ 由，，得．‎ 令，得各项系数之和为．‎ 所以除常数项外其余各项系数之和为．‎ ‎（2）展开式的通项为，‎ 因为展开式中有四项的系数为实数，且，，‎ 所以或7．‎ ‎【点睛】本题考查二项式展开式的通项，考查求二项式特定项的系数，以及虚数单位的周期性，属于基础题.‎ ‎19.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与直线（为参数，）交于点，与曲线 交于点（异于极点），且，求.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。‎ ‎（2）将直线参数方程转化为极坐标方程，将代入曲线C和直线方程，求得两个值，根据即可求出m的值。‎ 详解：（1）∵，∴，∴，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（为参数）得，‎ 故直线（为参数）的极坐标方程为.‎ 将代入得，‎ 将代入，得，‎ 则，∴.‎ 点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化应用，主要是记住转化的公式，属于简单题。‎ ‎20.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：‎ ‎（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；‎ ‎（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用表示抽得甲组学生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，来自同一小组的取法共有，所以.（2）的可能取值为0，1，2，‎ ‎，，，写出分布列，求出期望。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，‎ 从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，‎ 这两名学生来自同一小组的取法共有，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.‎ 的可能取值为0，1，2，‎ ‎，，.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎.‎ ‎21.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份 ‎（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现与有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊/万只 ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.5‎ ‎25‎ ‎2.6‎ ‎2.7‎ ‎（1）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，）；‎ ‎（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？‎ ‎②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题设中的数据，求得，，利用公式，进而得到，即可得到回归直线的方程；‎ ‎（2）求得第年山羊养殖的只数，①代入，即可得到第一年的山羊的养殖只数；②根据题意，得，求得，即可得到结论 ‎【详解】（1）设关于的线性回归方程为，‎ 则，‎ ‎，‎ 则，所以，‎ 所以关于线性回归方程为。‎ ‎（2）估计第年山羊养殖的只数，‎ ‎①第1年山羊养殖的只数为，故该县第一年养殖山羊约万只；‎ ‎②由题意，得，整理得，‎ 解得或（舍去）‎ 所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了。‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据公式，准确运算得到回归直线的方程，合理利用方程预测是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎(2)当时，证明：.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在上恒成立即在上恒成立，构造新函数求最值即可；‎ ‎（2）对x分类讨论，转证的最值与零的关系即可.‎ ‎【详解】解：（1）由，得在上恒成立.‎ ‎ 令，则.‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎ 故的最小值为.‎ ‎ 所以，即的取值范围为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，.‎ ‎ 令，则.‎ ‎ 当时，，单调递减；‎ ‎ 当时，，单调递增.‎ ‎ 所以，即当时，，‎ ‎ 所以在上单调递减.‎ 又因为 所以当时，当时，‎ ‎ 于是对恒成立.‎ ‎【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎ ‎