宁夏银川市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

宁夏银川市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

银川九中2019—2020学年度第一学期期末考试试卷 高一年级数学试卷 一、选择题 ‎1. 如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）‎ A. 三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B. 三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C. 三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D. 三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据正视图、侧视图、俯视图可知（1)是一个侧面平放的三棱柱；（2）是一个四棱锥；（3）是一个圆锥；（4）是一个圆台．‎ 考点：根据三视图画出直观图．‎ ‎2. 下列命题为真命题的是（ ）‎ A. 平行于同一平面的两条直线平行； B. 与某一平面成等角的两条直线平行；‎ C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D. 垂直于同一直线的两条直线平行．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐一考查所给命题的真假即可.‎ ‎【详解】逐一考查所给的命题：‎ 平行于同一平面的两条直线可能平行，相交或异面，选项A说法错误；‎ 与某一平面成等角的两条直线可能平行，相交或异面，选项B说法错误；‎ 由线面垂直性质定理的推理可知垂直于同一平面的两条直线平行，选项C说法正确；‎ 垂直于同一直线的两条直线可能平行，相交或异面，选项D说法错误；‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：‎ ‎（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；‎ ‎（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.‎ ‎3. 下列命题中错误是：（ ）‎ A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；‎ B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；‎ C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；‎ D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，在长方体中， 面面，面，即A正确，且选项B错误.故选B.‎ ‎4.下图的正方体中，异面直线与所成的角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需将异面直线与平移至同一个平面内，转化为两条相交直线，即可求出它们所成的角．‎ ‎【详解】在正方体中，因为，‎ 所以即为异面直线与所成的角，‎ 因为，所以异面直线与所成的角为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知该几何体是一个圆柱上、下底面各拼上一个与同底的圆锥构成，其表面积即为两个圆锥的侧面与圆柱侧面之和.‎ ‎【详解】由该几何体的三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个底面半径均为1，高为1的圆锥组合而成.‎ 因为圆锥的底面半径为1，高为1，故其母线长为，‎ 所以该几何体的表面积为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体求体积，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，进而用公式求解．‎ ‎6.如图梯形是一平面图形的斜二侧直观图，若，，，，则四边形的面积是( )‎ A. 10 B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】根据斜二测画法的原则，可得四边形中，，，且，，‎ 所以四边形的面积是.‎ 故选：B.‎ ‎7. 已知一直线斜率为3，且过A（3，4），B（x，7）两点，则x的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎12 ‎C. －6 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得 考点：两点坐标求斜率 点评：则 ‎8.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离为a ‎，则这个三棱柱的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可利用补形的方法，将斜三棱柱以面积为的那个面为一个侧面，补成斜四棱柱，所求的三棱柱的体积即为该斜四棱柱体积的一半．‎ ‎【详解】如图，‎ 把原三棱柱补成四棱柱，‎ 即四棱柱，其底面积为，高为，‎ 故其体积等于，所以所求的三棱柱的体积是．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了柱体的体积的计算方法，柱体的体积公式是“”，而这道题没有直接给出也无法求出与，故把原三棱柱拼补成一个四棱柱，体现了割补的思想方法．当所给多面体的体积不易直接求出时，可以考虑把它分割或拼补成易于求积的多面体．‎ ‎9.一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 球的体积公式为，表面积公式为 ‎，根据球的体积等于表面积列出方程，即可求出求的半径．‎ ‎【详解】设球的的半径为，由题意得，解得．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球的体积和表面积公式的运用．‎ ‎10.若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. 90。‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点间斜率公式,可求得斜率.再由斜率与倾斜角关系即可求得直线的倾斜角.‎ ‎【详解】直线过点 则直线的斜率 设倾斜角为,根据斜率与倾斜角关系可得 由直线倾斜角 ‎ 可得 故选:A ‎【点睛】本题考查了直线斜率的求法,斜率与倾斜角关系,属于基础题.‎ ‎11.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为，高为．现要为个这种相同规格的笔筒涂色（笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计），如果每涂料可以涂，那么为这批笔筒涂色约需涂料（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出一个笔筒的里外面积，再求出100‎ 个笔筒的总面积并将其换算为平方米，然后根据每平米所需的涂料即可求得所需涂料．‎ ‎【详解】由题意知，这种规格的笔筒的表面积为，里外的全面积为，‎ 所以个这种相同规格的笔筒的全面积为，‎ 因为涂料可以涂，所以所需涂料共.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的表面积的求法．‎ ‎12.已知函数，若，则实数a的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于函数 那么结合奇偶性性质可知，当x<0时，--x>0,则可知f(-x)==f(x)‎ 当时，则可知，因此说明函数是偶函数，同时根据函数对称性，因此满足 实数a的取值范围是，故答案为 考点：函数的单调性，与奇偶性运用．‎ 点评：本试题考查了分段函数与不等式的综合运用．考查了分析问题和解决问题的能力，关键是判定单调性，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13.函数的定义域是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使该函数表达式有意义，由分母不能为且对数的真数大于列出不等式组，即可求出该函数的定义域．‎ ‎【详解】由解得且，‎ 故该函数的定义域为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法．求函数定义域时，①由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域；②函数解析式一般不要变形或化简；③定义域要用集合或区间来表示．‎ ‎14.若三点 ，， 在同一直线上，则实数 ________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据三点A、B、C共线，即可求出.‎ 详解：三点 ，， 在同一直线上，‎ ‎，即，解得.‎ 故答案为.‎ 点睛：熟练掌握三点A、B、C共线是解题的关键.‎ ‎15.正六棱锥底面边长为a，体积为，则侧棱与底面所成的角为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正六棱锥底面边长为a，可求出其底面积，再结合体积求出其高，进而求出侧棱的长，根据直线与平面所成的角的概念，即可求出侧棱与底面所成的角．‎ ‎【详解】设正六棱锥的高为，因为正六棱锥底面边长为a，所以其底面积 ‎，‎ 又因为其体积，‎ 所以，所以侧棱长为，‎ 所以侧棱与底面所成的角为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式及直线与平面所成的角的求法，关键是利用六棱锥的体积，求出六棱锥的高．‎ ‎16.将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD=，∠BAC=30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是 .‎ ‎①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为；‎ ‎②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；‎ ‎③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D－ABC体积的最大值为.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①正确：取AB中点E，连接DE,CE,当平面ABD⊥平面ABC时；②错误：在三角板ABD转动过程中，不会有AB⊥CD；③正确：体积最大时平面ABD⊥平面ABC，三棱锥的高为1，体积为 考点：空间线面位置关系 点评：把握好翻折过程中不变的边角 三、解答题 ‎17.如图，圆柱的底面半径为2，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.‎ ‎（1）计算圆柱的表面积；‎ ‎（2）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可得圆柱的高和圆锥的高均为，求出圆柱的侧面积及上底面积、下底面积，即可求得圆柱的表面积；‎ ‎(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式，求出各自的体积，作比即可得到答案.‎ ‎【详解】(1)由已知可得圆柱的高和圆锥的高均为，故圆柱的表面积 ‎．‎ ‎(2)因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的体积 ‎；‎ 因为球的直径与圆柱底面的直径相等，所以球的半径为，‎ 所以球的体积；‎ 又圆柱的体积；‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积的求法及圆锥、球、圆柱的体积的求法，关键是抓住几何体之间的关系，求出所需要的量．‎ ‎18.设集合.‎ ‎(1)求；‎ ‎（2）若求实数的取值范围 ‎【答案】（1）{x|2≤x＜3}；（2）a≤3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C＝C，得到B⊆C，然后求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题意知，B＝{x|2x﹣4≥x﹣2}＝{x|x≥2}，‎ 所以A∩B＝{x|2≤x＜3}，‎ ‎（2）因为B∪C＝C，‎ 所以B⊆C，‎ 所以a﹣1≤2，即a≤3.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及利用集合关系求参数问题，比较基础．‎ ‎19.三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且.‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)求证：平面；‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)要证平面平面，只需证明其中一个平面内一条直线垂直于另一个平面即可，易证平面；‎ ‎(2)要证平面，只需设法在平面知道一条直线与平行即可，故连结交于，则为的中点，再结合为边中点，可得；‎ ‎(3)要求三棱锥的体积，只需确定底面和相应的高，而以为底面的三棱锥的底面面积和高不易求出，发现可变换为以为底面，为高的三棱锥来求解.‎ ‎【详解】(1)因为平面，平面，所以，‎ 因为为等边三角形，为边中点，所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)连结交于，则为的中点，连结.‎ 在中，为的中点，为边中点，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎(3) 三棱柱中，，又平面，‎ 所以平面，所以为三棱锥的高，‎ 在等边中，，为边中点，‎ 所以，，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理及三棱锥体积的求法．求三棱锥的体积时，若底面积或高不易求出，则往往转换顶点和底面，然后进行计算求解，这种方法叫换底法，换底法是求三棱锥体积的一种常用方法，有意识地换底，进行合理的体积转换，往往有助于化难为易，化繁为简，使问题顺利得到解决．‎ ‎20.‎ 如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）求证：AB⊥PB；‎ ‎（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见答案；（Ⅱ）详见答案；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由于点D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA（中位线）．由直线与平面平行的判定方法知，DE∥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）由PC⊥底面ABC得，．又因AB⊥BC，由直线与平面垂直判定方法知，平面 ，所以AB⊥PB．‎ ‎（Ⅲ）由（2）知，PB⊥AB，BC⊥AB，所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．易知为等腰直角三角形，所以∠PBC＝45°，即二面角P—AB—C的大小为.‎ ‎【详解】（1）证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，‎ 所以DE∥PA．‎ 因为PA平面PAC，且DE平面PAC，‎ 所以DE∥平面PAC．‎ ‎（2）因为PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，‎ 所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．‎ 所以AB⊥平面PBC．‎ 又因为PB平面PBC，‎ 所以AB⊥PB．‎ ‎（3）由（2）知，PB⊥AB，BC⊥AB，‎ 所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．‎ 因为PC＝BC，∠PCB＝90°，‎ 所以∠PBC＝45°，‎ 所以二面角P—AB—C的大小为45°．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、直线与直线垂直的判断、求二面角的大小，本题属于中档题.‎ ‎21.已知定义域为R的函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据解得，根据解得 ‎（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为 ‎，求二次函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）定义域为的函数是奇函数 则 ‎，，‎ 根据，解得 ，经检验，满足函数为奇函数 ‎（Ⅱ） ‎ 易知为增函数，故为减函数 即 即 ‎ 所以 恒成立，即 ‎ 当时，有最小值 ‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.‎ ‎22.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．‎ ‎（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）点为的四等分点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，设面，连，则为二面角的平面角，‎ 利用解直角三角形可求其正切值．‎ ‎（2）连，则为异面直线与所成的角，根据勾股定理求得，进而求得后可求的值．‎ ‎（3）可证点为的四等分点．‎ 详解】（1）取中点，设面，连，‎ 则为二面角的平面角，‎ 为侧棱与底面所成的角，，‎ 设，，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）连，为异面直线与所成的角．‎ 因为，，所以平面.‎ 平面，所以.‎ ‎∵,‎ ‎∴。‎ ‎（3）延长交于，取中点，连、．‎ 因为，，，‎ 故平面，因平面，‎ 故平面平面，‎ 又，故为等边三角形，‎ 所以，由平面，故 因为，所以平面.‎ 取的中点，∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，所以 ‎ ‎∴平面．即为四等分点 ‎【点睛】本题考查考查空间中的垂直关系以及空间角的计算，解题时注意三种垂直关系的转化，空间角的计算需构造空间角，把空间角放置在可解的三角形中来讨论，本题为难题.‎