天津市和平区2020届高三下学期线上学习阶段性评估检测数学试题

天津市和平区2020届高三下学期线上学习阶段性评估检测数学试题

和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测数学学科试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）‎ A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，5} D. {x∈R|﹣1≤x≤5}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出A∪B＝{1，2，4，6}，再与集合C求交集即可.‎ ‎【详解】∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，‎ 又C＝，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.‎ ‎2.设a∈R，则“|a﹣1|≤‎1”‎是“﹣a2+‎3a≥‎0”‎（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断.‎ ‎【详解】|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+‎3a≥0，解得：0≤a≤3，‎ ‎∴“|a﹣1|≤‎1”‎是“﹣a2+‎3a≥‎0”‎的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.‎ ‎3.已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.‎ 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.‎ ‎4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元) ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ 销售额y(万元) ‎ ‎10 ‎ ‎26 ‎ ‎35 ‎ ‎49 ‎ 根据上表可得回归方程中的约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ）‎ A. 54万元 B. 55万元 C. 56万元 D. 57万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由表格可算出,,根据点在回归直线上,,代入算出,所以,当时,,故选D.‎ 考点：回归直线恒过样本点的中心.‎ ‎5.设，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎6.著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的奇偶性可排除A，由x＞0时，f（x）函数值的正负可排除D，当x→+∞时，f（x）函数值变化趋势可排除C.‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}，‎ 有f（﹣x）（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，‎ 又由x＞0时，有ex＞e﹣x，即有ex﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D，‎ 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查由解析式确定函数图象的问题，一般做这类题，要牢牢抓住函数的性质，如奇偶性，单调性以及特殊点的函数值等，本题是一道基础题.‎ ‎7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)‎ A. 2 B. 2 C. 4 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），‎ 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为，则p=4，‎ 则抛物线的焦点为（2，0）；‎ 则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；‎ 点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，‎ 由双曲线的性质，可得b=1；‎ 则，则焦距为‎2c=2；‎ 故选A．‎ ‎8.已知函数，那么下列命题中假命题是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 在上恰有一个零点 C. 是周期函数 D. 在上是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质,逐个判断各选项的真假．‎ ‎【详解】对于，函数，定义域为，‎ 且满足，所以为定义域上的偶函数，正确；‎ 对于，时，，，‎ 且，在上恰有一个零点是，正确；‎ 对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数是最小正周期为的周期函数， 正确；‎ 对于D，时，，且，在上先减后增，D错误．‎ 故选D．‎ 点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法．‎ ‎9.已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，设为实数，，由函数，可得画出函数的图象，由函数的图象可知，值域为存在实数，使，，即，实数的取值范围为，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．‎ ‎10.设复数满足，则______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出复数，根据模长的定义可求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.‎ ‎11.二项式的展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）‎ ‎【答案】112‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理的通项公式即可求解．‎ ‎【详解】通项公式Tr+1,‎ 令80，解得r＝6‎ ‎∴常数项112．‎ 故答案为112‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎12.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若四边形AA‎1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用等体积法将三棱锥A1﹣MBC1的体积转化为三棱锥的体积即可.‎ ‎【详解】∵在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若四边形AA‎1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，‎ BC＝5，‎ ‎∴A‎1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A‎1C1⊥A1B1，‎ ‎∵AA1∩A1B1＝A1，∴A‎1C1⊥平面A1MB，‎ ‎∵M是AA1的中点，∴3，‎ ‎∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：‎ ‎4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.‎ ‎13.一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________； 若表示摸出黑球的个数，则________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是；‎ 可取：0,1,2,.‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎14.已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2取得最小值为_____时，a+b＝_____．‎ ‎【答案】 (1). 8 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a+4b可得（a+4b）2，再利用一次基本不等式即可，要注意验证等号成立的条件.‎ ‎【详解】因为a＞0，b＞0，‎ 所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，‎ 所以（a+4b）2≥16ab，‎ 则（a+4b）28，‎ 当且仅当即a＝1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b．‎ 故答案为：（1）8；（2）‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.‎ ‎15.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•1，则tanA＝_____，•_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），利用•1以及可求得a，b，在△ABC中利用余弦定理求得，从而可得；•利用数量积的定义计算.‎ ‎【详解】‎ 以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，‎ 设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，‎ ‎∴D（，），E（，），M（ ，），N（ ，），‎ ‎∴（a，），（﹣a，），且 •1，‎ ‎∴﹣a21①，‎ 又AC＝3，∴a2+b2＝9②，‎ 联立①②得，a2，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，cosA．‎ 因为A为等腰三角形的顶角；且cosA，‎ ‎∴sinA；‎ ‎∴tanA；‎ sin；‎ ‎∴cosB＝cos（）＝sin；‎ ‎∴••3×‎2a×cosB＝﹣3．‎ 故答案为：（1）；（2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算以及定义法求向量的数量积，做此类题关键是建好系，准确写出点的坐标，是一道中档题.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16.已知函数．‎ ‎（1）求的最小值，并写出取得最小值时的自变量的集合．‎ ‎（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，若，求，的值．‎ ‎【答案】（1）最小值为；，；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解．‎ ‎（2）由已知可求，结合范围，可求，由已知及正弦定理可得，进而由余弦定理可得，联立即可解得，的值．‎ ‎【详解】解：（1）， ‎ 当，即时，的最小值为，‎ 此时自变量的集合为：，‎ ‎（2）（C），‎ ‎，‎ 又，，，可得：，‎ ‎，由正弦定理可得：①，又，‎ 由余弦定理可得：，可得：②，‎ 联立①②解得：，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．‎ ‎17.如图，在三棱柱中，已知，，侧面.‎ ‎（Ⅰ）求直线与底面所成角正切值；‎ ‎（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点E的位置，‎ 使得（要求说明理由）；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E为中点时，，理由见详解；（Ⅲ）二面角的大小为45°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方法一：(Ⅰ) 可得为直线与底面ABC所成角，由已知可得的值；‎ ‎（Ⅱ）当E为中点时，，可得，即.可得，平面ABE，；‎ ‎（Ⅲ）取的中点G，的中点F，则，且，连结，设，连结，可得为二面角的平面角，可得二面角的大小.‎ 方法二：(Ⅰ)以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则，可得，面ABC的一个法向量，可得的值，可得的值；‎ ‎（Ⅱ）设，则，,‎ 由，可得y的值，可得E的位置；‎ ‎（Ⅲ）可求得面的一个法向量，‎ 平面的一个法向量,可得二面角的大小.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,‎ 在平面ABC上的射影为CB.‎ 为直线与底面ABC所成角，‎ ‎，‎ 即直线与底面ABC所成角的正切值为2.‎ ‎（Ⅱ）当E中点时，.‎ ‎,，‎ ‎，即. ‎ 又平面，平面.‎ ‎，平面ABE, 平面ABE ，.‎ ‎（Ⅲ）取中点G，的中点F，则，且，‎ ‎,连结，设，连结，‎ 则，且，‎ 为二面角的平面角. ，，‎ ‎∴二面角的大小为45°.‎ 另解：以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则. ‎ ‎（Ⅰ），面ABC的一个法向量.‎ 设与面ABC所成角为，则，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）设，则，,‎ 由，得，所以E为的中点. ‎ ‎（Ⅲ）由，得，又,‎ 可求得面的一个法向量，‎ 平面的一个法向量,‎ 设二面角的大小为，则.‎ ‎∴二面角的大小为45°.‎ ‎【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖.‎ ‎18.已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值 ‎（3）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析（3）存在，最大值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知解方程组即可；‎ ‎（2）设出直线BD的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决；‎ ‎（3）将△ABD面积表示成，再利用基本不等式求得最值.‎ ‎【详解】（1）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，‎ ‎∴，解得a＝2，，，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）证明：设D（x1，y1），B（x2，y2），‎ 设直线BD的方程为，‎ 直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，‎ 则kAD+kAB ‎，（*）‎ 联立，‎ ‎∴△＝﹣8t2+64＞0，解得﹣2t＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②，‎ 将①、②式代入*式整理得0，‎ ‎∴kAD+kAB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．‎ ‎（3）|BD||x1﹣x2|，‎ 设d为点A到直线BD：的距离，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当t＝±2时取等号，‎ ‎∵±2，∴当t＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题、存在性问题，考查学生的计算能力，是一道有难度的题.‎ ‎19.已知正项等比数列{an}满足a1＝2，‎2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）an＝2n；bn＝1+2n；（2）Sn＝2+（2n﹣1）•2n+1；（3）k＜2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列通项计算；‎ ‎（2）cn＝（2n+1）•2n，利用错位相减法计算；‎ ‎（3）先求出的最大值，2λ2﹣kλ+2转化为2λ2﹣kλ+2对λ＞0恒成立，即k＜2λ对λ＞0恒成立.‎ ‎【详解】（1）正项等比数列{an}公比设为q，q＞0，‎ a1＝2，‎2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去），‎ 可得an＝2n；‎ bn＝1+2log2an＝1+2log22n＝1+2n；‎ ‎（2）cn＝an•bn＝（2n+1）•2n，‎ 前n项和Sn＝3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2n，‎ ‎2Sn＝3•4+5•8+7•16+…+（2n+1）•2n+1，‎ 两式相减可得﹣Sn＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1‎ ‎＝6+2•（2n+1）•2n+1，‎ 化简可得Sn＝2+（2n﹣1）•2n+1；‎ ‎（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，‎ 即为2λ2﹣kλ+2的最大值，‎ 由0，‎ 可得{}递减，可得n＝1时，取得最大值，‎ 可得2λ2﹣kλ+2，即为k＜2λ的最小值，‎ 可得2λ22，当且仅当λ时取得最小值2，‎ 则k＜2．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式，错位相减法求数列和以及数列不等式中的恒成立问题，考查学生的推理与计算能力，是一道中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；‎ ‎（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；‎ ‎（3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 这时的导数，‎ 令，即，解得，‎ 令得到，‎ 令得到，‎ 故函数在单调递减，在单调递增；‎ 故函数在时取到最小值，‎ 故；‎ ‎（2）当时，函数 导数为，‎ 若时，，单调递减，‎ 若时，，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 即函数在区间，上单调递减，‎ 在区间上单调递增.‎ 若时，，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 函数在区间，上单调递减，‎ 在区间上单调递增.‎ 综上，若时，函数的减区间为，无增区间，‎ 若时，函数的减区间为，，增区间为，‎ 若时，函数的减区间为，，增区间为.‎ ‎（3）当时，设函数.‎ 令，，‎ 当时，，为增函数，‎ ‎，为增函数，‎ 在区间上递增，‎ ‎∵在上的值域是，‎ 所以在上至少有两个不同 的正根，，‎ 令，求导得，，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在递增，，，‎ 当，，∴，‎ 当，，∴，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.‎