宁夏银川三沙源上游学校2020届高三下学期模拟考试理科数学试题

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银川三沙源上游学校 2020 届高三下学期第二次模拟考试 理科数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.若 为纯虚数，则 z＝（ ） A. B. 6i C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】 ∵ 为纯虚数， ∴ 且 得 ，此时 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题. 2.已知集合 A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则 ＝（ ） A. {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6} C {1，2，3，4，5，6} D. {1，3，4，5，6，7} 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合 A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}， 所以集合 A＝{1，2，3，4，5，6，7} B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}， 故 ＝{1，4，5，6}， ( )( )( )3 2z i a i a R= − + ∈ 16 3 i 20 3 i ( )( ) ( )3 2 3 2 6z i a i a a i= − + = + + − ( )( )( )3 2z i a i a R= − + ∈ 3 2 0a + = 6 0a− ≠ 2 3a = − 20 3z i= ( )AB C∪  AC 所以 ＝{1，2，3，4，5，6}. 故选：C. 【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题. 3.已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝2，且 与 的夹角为 120°，则 ＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算 ，然后将 进行平方，，可得结果. 【详解】由题意可得： ∴ ∴则 . 故选：D. 【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。 4.若双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得 的值. 【 详 解 】 由 题 意 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ， 可 化 为 ，则 ，解得 . ( )AB C∪  a b a b a b 3a b−  11 37 2 10 43 a b⋅  3a b−  1cos120 1 2 12a b a b  ⋅ = = × × − = −     ( )2 2 2 3 6 9 1 6 36 43a b a a b b− = − ⋅ + = + + =      3 43a b− =  C 2 2 1x ym − = 3 2 0x y+ = m = 4 9 9 4 2 3 3 2 m ( )1 0y x m m = ± > 3 2 0x y+ = 3 2y x= − 1 3 2m = 4 9m = 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题. 5.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果 （把苹果近似看成球体）的直径（单位： ）服从正态分布 ，则直径在 内的概率为（ ） 附：若 ，则 ， . A. 0.6826 B. 0.8413 C. 0.8185 D. 0.9544 【答案】C 【解析】 【分析】 根据服从的正态分布可得 ， ，将所求概率转化为 ，结 合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意， ， ，则 ， ， 所以 ， . 故果实直径在 内的概率为 0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于 基础题. 6.如图 1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺， 问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1 丈=10 尺）, 现被风折断，尖端落在地上， 竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. mm ( )280,5N ( ]75,90 ( )2~ ,X N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < + = ( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− < + = 80µ = 5σ = ( )2P Xµ σ µ σ− < ≤ + 80µ = 5σ = ( )75 85 0.6826P X< = ( )70 90 0.9544P X< = ( ) ( )185 90 0.9544 0.6826 0.13592P X< = × − = ( )75 90 0.6826 0.1359 0.8185P X< = + = ( ]75,90 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，已知 ， ， ∴ ，解得 ， ∴ ，解得 . ∴折断后的竹干高为 4.55 尺 故选 B. 7.已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ””若 “ ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 通过判断命题 p 和 q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】解：若命题 ：“ ， ，为真命题， 则 ， 若命题 ：“ ， ”为真命题， 则 ，解得 ， 若命题“ ”为真命题， 5.45 4.55 4.2 5.8 10AC AB+ = 3BC = 2 2 2 9AB AC BC− = = ( )( ) 9AB AC AB AC+ − = 0.9AB AC− = 10 0.9 AB AC AB AC + =  − = 5.45 4.55 AB AC =  = p [1, ]x e∀ ∈ lna x> q x R∃ ∈ 2 4 0x x a− + = p q∧ a (1,4] (0,1] [ 1,1]− (4, )+∞ p ,[ ]1 e∀∈ lna x> ln 1a e> = q x R∃ ∈ 2 4 0x x a− + = 16 4 0a∆ = − ≥ 4a ≤ p q∧ 则 ， 都是真命题， 则 ， 解得： ． 故实数 的取值范围为 ． 故选 A． 【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题 ， 的等价条 件是解决本题的关键． 8.已知函数 ， ，且 ，则 （ ） A. 3 B. 3 或 7 C. 5 D. 5 或 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的对称轴 以及函数值，可得结果. 【详解】函数 ， 若 ，则 的图象关于 对称， 又 ，所以 或 ， 所以 的值是 7 或 3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 9.设函数 （e 为自然底数），则使 成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 可得： ，结合充分、必要条件的概念得解. p q 1 4 a a >  ≤ 1 4a< ≤ a (1,4] p q ( ) ( ) ( )2sin 0f x x bω ϕ ω= + + > 8 8f x f x π π+ = −（ ） （ ） 58f π =（ ） b = 8x π= ( ) ( ) ( )2sin 0f x x bω ϕ ω= + + > 8 8f x f x π π+ = −（ ） （ ） ( )f x 8x π= 58f π =（ ） 2 5b+ = 2 5b− + = b 2 3( ) x xf x e −= ( ) 1f x < 0 1x< < 0 4x< < 0 3x< < 3 4x< < ( ) 1f x < 0 3x< < 【详解】 解得： 又“ ”可以推出“ ” 但“ ”不能推出“ ” 所以“ ”是“ ” 充分不必要条件. 故选 A. 【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题． 10.已知直线 : 与双曲线 : ( ， )交于 ， 两点，点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用点差法列式，化简后求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【 详 解 】 设 ， 因 为 是 弦 的 中 点 ， 根 据 中 点 坐 标 公 式 得 . 直线 : 的斜率为 ，故 . 因为 两点在双曲线上，所以 ， 两式相减并化简得 ， 所以 ，所以 . 故选：D ( ) 1f x < ⇔ 2 3 1x xe − < ⇔ 2 3 0x x− < 0 3x< < 0 1x< < 0 3x< < 0 3x< < 0 1x< < 0 1x< < ( ) 1f x < l 2 0x y− + = C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > A B ( )1,4P AB C 4 3 5 2 5 b a ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )1,4P AB 1 2 1 2 2 8 x x y y + =  + = l 2 0x y− + = 1 1 2 1 2 1y y x x − =− ,A B 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  − =  − = ( )( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 8 1 42 y y y yb a x x x x + −= = × =+ − 2b a = 2 1 5be a  = + =   【点睛】本小题主要考查点差法的运用，考查双曲线离心率的求法，属于中档题. 11.如图所示，半径为 1 的圆 是正方形 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形 内，用 表示事件“豆子落在圆 内”， 表示事件“豆子落在扇形 （阴影 部分）内”，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用几何概型先求出 ， ，再由条件概率公式求 出 ． 【详解】如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆， 将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内， 用 A 表示事件“豆子落在圆 O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 阴影部分 内”， 则 ， ， ．故选 B． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． O MNPQ MNPQ A O B OEF ( )|P B A = 4 π 1 4 16 π 1 8 ( ) 2 2 1 2 4P A π π×= = ( ) 2 2 1 14 2 16P AB π π× × = = ( | )P B A (OEF ) ( ) 2 2 1 2 4P A π π×= = ( ) 2 2 1 14 2 16P AB π π× × = = ( ) ( ) 116( | ) 4 4 P ABP B A P A π π∴ = = = 12.已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒 成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立， 转化为 在 上恒成立． 【详解】∵ ，即 ， （1）当 时， ， 当 时， ， 故当 时， 在 上恒成立； 若 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 函数单增，当 函数单减， 故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立； 综上可知， 的取值范围是 ， 故选 C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合 分析． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题后的横线 上．） 13.函数 的图像在 处的切线方程为_______. 【答案】 a R∈ 2 2 2 , 1,( ) ln , 1, x ax a xf x x a x x  − +=  − >  x ( ) 0f x  R a [ ]0,1 [ ]0,2 [ ]0,e [ ]1,e 0a ≥ 2 2 2 0x ax a− + ≥ ( ,1]−∞ ln 0x a x− ≥ (1, )+∞ ln xa x ≤ (1, )+∞ (0) 0f ≥ 0a ≥ 0 1a≤ ≤ 2 2 2 2( ) 2 2 ( ) 2 2 (2 ) 0f x x ax a x a a a a a a a= − + = − + − ≥ − = − > 1a > (1) 1 0f = > 0a ≥ 2 2 2 0x ax a− + ≥ ( ,1]−∞ ln 0x a x− ≥ (1, )+∞ ln xa x ≤ (1, )+∞ ( ) ln xg x x = 2 ln 1'( ) (ln ) xg x x −= ,x e> 0 ,x e< < max( ) ( )g x g e e= = a e≤ 0a ≥ 2 2 2 0x ax a− + ≥ ( ,1]−∞ a [0, ]e ( ) 1 ln xf x x += 1 ex = 2e ey x= − 【解析】 【分析】 对函数求导，把 分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线 方程． 【详解】 ，函数 的图像在 处的切线方程为 ，即 . 【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的 导数值，属于基础题． 14.已知 为常数，且 ，则 的二项展开式中的常数项为 _______________. 【答案】240 【解析】 【分析】 首先求得 a 的值，然后结合二项式展开式的通项公式可得常数项. 【详解】由题意可得： ，故 展开式的通项公 式为： ， 令 可得 ，故常数项为 . 【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式的通项公式及其应用等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力. 15.已知直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点， 斜率分别 为 ，则 =____________． 【答案】 【解析】 的 1 ex = ( ) 2 2 ln 1 1, e , 0e e xf x f fx −    ′ ′= = =       ( )f x 1 ex = 2 1e ey x = −   2e ey x= − a 2 0 2a xdx= ∫ 6ax x  −   ( )2 2 2 00 2 | 4a xdx x= = =∫ 6 64ax xx x =   − −       ( ) ( ) 36 3 2 1 6 6 4 4 kk kkk k kT C x C xx − − +  = − = −   33 02 k− = 2k = ( )2 2 64 240C− = 1y = x − 2 4y x= ,A B O ,OA OB 1 2,k k 1 2 1 1 k k + 1 【分析】 联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得 的值. 【详解】设 ，则 ①. 由 消去 得 ，所以 ， 故由①得 故答案为： 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，属于基础题. 16.已知函数 满足 ，与函数 图象的交点为 ，则 =______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 以及 的对称性，求得 的值. 【详解】由于函数 满足 ，所以函数 的图象关于 对称， 函数 的图象关于 对称，故 和 的交点关于 对称， 设 . 两式加，可得 ， 故答案为： 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，属于基础题. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 1 2 1 1 k k + 2 2 1 2 1 2, , ,4 4 y yA y B y             1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 1 1, , 4 y yk ky y k k += = + = 2 1 4 y x y x = −  = x 2 4 4 0y y− − = 1 2 4y y+ = 1 2 1 1 4 14k k + = = 1 ( )f x ( ) (2 )f x f x= − | 1|y x= − 1 1 2 2( , ),( , ), ,( , )m mx y x y x y 1 2 mx x x+ + + m ( )f x 1y x= − 1 2 mx x x+ + + ( )f x ( ) ( )2f x f x= − ( )f x 1x = 1y x= − 1x = ( )f x 1y x= − 1x = ( ) ( ) ( )1 2 11 2mm mx x x x x x−+ + = = += = 12 11 mm mx x x xM Mx x−+ + + + + += ⇒ =  ( ) ( ) ( )11 2 1 2m m mx x x x x x M−+ + + + ++ = 2 2 ... 2 2 ,m M m= + + + = = m 过程．） 17.在正项等比数列{ }中， 且 成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{ }满足 ，求数列{ }的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件 且 可解得公比,再代入通项公式即可得到; (2)利用错位相减法可求得 . 【详解】设正项等比数列{an}的公比为 ( , （1）∵ ∴ ,所以 ∴q＝2， (舍去) 所以 ； （2）∵ ， ∴ ，① ，② ①﹣②得 ＝ ， ∴ . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和, 本题属于基础题. 18.在如图所示的四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， ， ， 平面 ， ， . na 1 1a = 3 5 42 , ,3a a a nb n n nb a = nb n nS 12n na -= 1 24 2n n nS − += − 1 1a = 3 5 42 , ,3a a a nS q 0)q > 5 3 4 1 2 2 3 1 a a a a = +  = 4 2 3 1 1 1 1 2 2 3 1 a a a a q q q = +  = 22 3 2 0q q− − = 1 2q = − 1 1 1 2n n na a q − −= = 12n n n n nb a −= = 0 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2n n nS −+ + + +=  1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2n n n n nS − −= + + + + 2 1 1 1 1 112 2 2 2 2n n n nS −= + + + + − 11 2 11 2 n − − = 1 22 1 22 2 2n n n n n + − − = −   1 24 2n n nS − += − F ABCD− ABCD / /AB CD 60ABC∠ = ° FC ⊥ ABCD AC BF⊥ 1CB CD= = （1）求证： 平面 ； （2）已知二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由已知可得 ，结合 ，由直线与平面垂直的判定可得 平面 ； （2）由（1）知， ，则 ， ， 两两互相垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，0， ，由二面角 的余弦值为 求解 ，再由空间向量求解直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：因为四边形 是等腰梯形， ， ，所以 .又 ，所以 ， 因此 ， ， 又 ， 且 ， ， 平面 ， 所以 平面 . （2）取 的中点 ，连接 ， ， 由于 ，因此 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 . 由于 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，故 ， 所以 为二面角 的平面角.在等腰三角形 中，由于 ， AC ⊥ BCF F BD C− − 5 5 AF DFB 5 5 CF AC⊥ AC BF⊥ AC ⊥ BCF AC CB⊥ CA CB CF C CA CB CF x y z (0F )a F BD C− − 5 5 a AF DFB ABCD //AB CD 60ABC∠ = ° 120ADC BCD∠ = ∠ = ° AD CD＝ 30ACD∠ = ° 90ACB∠ = ° AC BC⊥ AC BF⊥ BC BF B= BC BF ⊂ BCF AC ⊥ BCF BD G CG FG CB CD= CG BD⊥ FC ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD FC BD⊥ FC CG C∩ = FC CG ⊂ FCG BD ⊥ FCG BD FG⊥ FGC∠ F BD C− − BCD 120BCD∠ = ° 因此 ，又 ， 因为 ，所以 ，所以 以 为 轴、 为 轴、 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 所以 ，即 ，令 ，则 ， ， 则平面 的法向量 ， ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间 向量求解空间角，属于中档题． 19.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组， 分为两组，讨论学习．甲组一共有 人，其中男生 人，女生 人，乙组一共有 人，其中男 生 人，女生 人，现要从这 人的两个兴趣小组中抽出 人参加学校的环保知识竞赛. （1）设事件 为“选出的这 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同 1 2CG = 1CB CF= = 5cos 5FGC∠ = tan 2FGC∠ = 1FC = CA x CB y CF z 3 1( , ,0)2 2D − ( )0,0,1F ( )0,1,0B 3 1, , 12 2FD  = − −     3 3, ,02 2BD  = −     DBF ( ), ,n x y z= · 0 · 0 FD n BD n  =  =     3 1 02 2 3 3 02 2 x y z x y  − − =  − = 3x = 1y = 1z = DBF ( )3,1,1n = ( 3,0,1)AF = − AF BDF θ | | 5sin 5| || | AF n n AF θ ⋅= =     4 3 1 5 2 3 9 4 A 4 的组”，求事件 发生的概率； （2）用 表示抽取的 人中乙组女生的人数，求随机变量 的分布列和期望 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）分布列见解析， . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得 可 能取值为 ,再求 x 分布列和期望. 【详解】（Ⅰ） （Ⅱ） 可能取值为 , , , , , 的分布列为 0 1 2 3 . 【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 的 A X 4 X 2 7 4 3 ( ) 1 1 2 3 2 4 4 9 36 2 126 7 C C CP A C ⋅ ⋅= = = X 0,1,2,3 ( ) 1 1 2 3 2 4 4 9 36 2 126 7 C C CP A C ⋅ ⋅= = = X 0,1,2,3 ( ) 4 0 6 3 4 9 15 50 126 42 C CP X C ⋅= = = = ( ) 3 1 6 3 4 9 60 101 126 21 C CP X C ⋅= = = = ( ) 2 2 6 3 4 9 45 52 126 14 C CP X C ⋅= = = = ( ) 1 3 6 3 4 9 6 13 126 21 C CP X C ⋅= = = = X X P 5 42 10 21 5 14 1 21 5 10 5 1 40 1 2 342 21 14 21 3EX = × + × + × + × = 20.已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 设 直 线 ： ， ， ； 根 据 抛 物 线 焦 半 径 公 式 可 得 ；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于 的方程，解方程求得结 果；（2）设直线 ： ；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 可得 ，结合韦达定理可求得 ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线 方程为： ， ， 由抛物线焦半径公式可知： 联立 得： 则 ，解得： 直线 的方程为： ，即： （2）设 ，则可设直线 方程为： 联立 得： 则 ， 3 2 3AP PB=  12 8 7 0x y− − = 4 13 3 l 3 2y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 5 2x x+ = m l 2 3x y t= + 3AP PB=  1 23y y= − 1 2y y l 3 2y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 3 42AF BF x x+ = + + = 1 2 5 2x x∴ + = 2 3 2 3 y x m y x  = +  = ( )2 29 12 12 4 0x m x m+ − + = ( )2 212 12 144 0m m∆ = − − > 1 2m∴ < 1 2 12 12 5 9 2 mx x −∴ + = − = 7 8m = − ∴ l 3 7 2 8y x= − 12 8 7 0x y− − = ( ),0P t l 2 3x y t= + 2 2 3 3 x y t y x  = +  = 2 2 3 0y y t− − = 4 12 0t∆ = + > 1 3t∴ > − 1 2 2y y∴ + = 1 2 3y y t=− ， 则 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦 长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 21.已知函数 f(x）=xlnx，g(x)= , （1）求 f(x)的最小值； （2）对任意 ， 都有恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）证明：对一切 ，都有 成立． 【答案】(1) (2)（ (3)见证明 【解析】 【分析】 （1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后 根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数 求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明. 【详解】（1） 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 所以函数 f(x）的最小值为 f( ）= ； （2）因为 所以问题等价于 在 上恒成立， 记 则 ， 因为 ， 令 函数 f(x）在（0,1）上单调递减; 3AP PB=   1 23y y∴ =− 2 1y∴ =− 1 3y = 1 2 3y y∴ =− ( )2 1 2 1 2 4 13 4 131 4 4 129 3 3AB y y y y= + ⋅ + − = ⋅ + = 2 3 2 x ax− + − (0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x g x≥ (0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − 1 e − ,4]−∞ 1( )=ln 1 0f x x x e + = ∴ =′ 1(0, )x e ∈ ( ) 0, ( )f x f x′ < 1( , )x e ∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 e 1 e − 0x > ， 22 ln 3 32lnx x xa x xx x + +≤ = + + ( )0,x∈ +∞ ( ) 32ln ,t x x x x = + + ( ) min a t x ≤   ( ) ( )( ) 2 2 3 12 31 x xt x x x x +=′ −= + − ( ) 0 1 3t x x x= =′ = −得 或 舍， ( ) ( )0,1 0,x t x∈ ′ < 时 函数 f(x）在（1，+ ）上单调递增； 即 ， 即实数 a 的取值范围为（ . （3）问题等价于证明 由（1）知道 ，令 函数 在（0,1）上单调递增； 函数 在（1，+ ）上单调递减； 所以{ ， 因此 ，因为两个等号不能同时取得，所以 即对一切 ，都有 成立. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式 一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函 数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参 数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 二、选考题（共 10 分，请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 是参数），以原点为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）在曲线 上取一点 ，直线 绕原点 逆时针旋转 ，交曲线 于点 ，求 ( ) ( )1, 0,x t x∈ +∞ ′ > 时 ∞ ( ) ( ) min 1 4.t x t ∴ = =  4a ≤ ,4]−∞ ( )2ln , 0, .x xx x xe e > − ∈ +∞ ( ) 1 1ln ,f x x x f e e  = = −  的最小值 ( ) ( ) ( )2 1, 0,x x x xx x xe e e 设 则φ φ −= − ∈ + =′∞ ( ) 0 1x x得 ，φ′ = = ( ) ( )0,1 0,x xφ∈ ′ > 时 ( )xφ ( ) ( )1, 0,x xφ+∞ ′∈ <时 ( )xφ ∞ ( ) ( )max 1] 1x e φ φ= = − 1 2ln x xx x e e e ≥ − ≥ − 2ln ,x xx x e e > − ( )0,x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − xOy C 1 1 cos ,4 2 3 1 sin4 2 x y α α  = +  = + α x C C M OM O 3 π C N 的最大值. 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】 （1）利用 消去参数 ，求得曲线 普通方程，再转化为极坐标方程. （2）设出 两点的坐标，求得 的表达式，并利用三角恒等变换进行化简， 再结合三角函数最值的求法，求得 的最大值. 【详解】（1）由 消去 得曲线 的普通方程为 . 所以 的极坐标方程为 ， 即 . （2）不妨设 ， ， ， ， ， 则 当 时， 取得最大值，最大值为 . 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系 下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档 题. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 ， ． 的 | | | |OM ON⋅ sin 6 π ρ = θ +   3 4 2 2sin cos 1α α+ = α C ,M N | | | |OM ON⋅ | | | |OM ON⋅ 1 1 cos ,4 2 3 1 sin ,4 2 x y α α  = +  = + α C 2 2 1 3 02 2x y x y+ − − = C 3 1sin cos2 2 ρ = θ + θ sin 6 π ρ = θ +   ( )1,M ρ θ 2 , 3N πρ θ +   1 0ρ > 2 0ρ > [0,2 )θ π∈ 1 2| | | | sin sin6 6 3OM ON π π πρ ρ θ θ   ⋅ = = + ⋅ + +       πsin cos6 θ θ = +   3 1sin cos cos2 2 θ θ θ = + ⋅    3 1 1sin 2 cos24 4 4 θ θ= + + 1 1sin 22 6 4 πθ = + +   6 πθ = | | | |OM ON⋅ 3 4 ( ) 2 2 3f x x a x= − + + ( ) 1 2g x x= − + （ ）解不等式 ． （ ）若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 取值范围． 【答案】（1） （2） 或 ． 【解析】 【分析】 （1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可． （2）利用条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可． 【详解】（ ）由 ，得 ， ∴ ， 得不等式的解为 ． 故解集为： （ ）因为任意 ，都有 ，使得 成立， 所以 ， 又 ， ，所以 ， 解得 或 ， 所以实数 的取值范围为 或 ． 【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及 转化思想的应用． 的 1 ( ) 5g x < 2 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= a ( )2,4− 1a ≥ − 5a ≤ − 1 1 2 5x − + < 5 1 2 5x− < − + < 7 1 3x− < − < 2 4x− < < ( )2,4− 2 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= ( ) ( ){ | } { | }y y f x y y g x= ⊆ = ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 3 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 1 2 2g x x= − + ≥ 3 2a + ≥ 1a ≥ − 5a ≤ − a 1a ≥ − 5a ≤ −