2020届高考理科数学二轮专题复习课件：解题技巧 小题攻关1-3
第
3
课时
不等式与线性规划
考向一 不等式的性质及应用
(
保分题型考点
)
【题组通关】
1.(2019·
临沂模拟
)
若
< <0,
则下列结论不正确的是
(
)
A.a
2
|a+b|
【解析】
选
D.
依题意得
by>0,
则
(
)
A. >0 B.sin x-sin y>0
C. <0 D.ln x+ln y>0
【解析】
选
C.
因为
x>y>0,
所以
< ,
即
- <0,
故
A
不正确
.
当
x>y>0
时
,
不能说明
sin x>sin y,
如
x=π,y= ,
x>y,
但
sin πy>0,
所以
< ,
即
- <0,
故
C
正确
.
当
x=1,y=
时
,ln x+ln y<0,
故
D
不正确
.
3.
若
a>b>0,c0⇒ <0⇒
<0⇒
方法二
:
依题意取
a=2,b=1
时
,c=-2,d=-1,
代入验证得
A,B,C
均错
,
只有
D
正确
.
4.
设
x,y
为实数
,
满足
3≤xy
2
≤8,4≤ ≤9,
则 的最大值是
________.
【解析】
方法一
:
由题意知
,
实数
x,y
均为正数
,
则条件可化为
lg 3≤lg x+2lg y≤lg 8,lg 4≤2lg x-lg y ≤lg 9.
令
lg x=a,lg y=b,
则有 设
t= ,
则
lg t=3lg x-4lg
y=3a-4b.
令
3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),
解得
m=-1,n=2,
故
lg t=-(a+2b)+2(2a-b)≤-lg 3+4lg 3=lg 27.
所以 的最大值为
27.
方法二
:
将
4≤ ≤9
两边平方
,
得
16≤ ≤81.①
由
3≤xy
2
≤8,
得
.②
由
①②,
得
2≤ ≤27,
即 的最大值是
27.
答案
:
27
【拓展提升】
判断关于不等式的命题真假的三种方法
(1)
直接运用不等式的性质
:
把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑
,
找到与命题相近的性质
,
然后进行推理判断
.
(2)
利用函数的单调性
:
当直接利用不等式性质不能比较大小时
,
可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断
.
(3)
特殊值验证法
:
给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值
,
然后进行比较、判断
.
考向二 线性规划
(
保分题型考点
)
【题组通关】
1.(2019·
浙江高考
)
若实数
x,y
满足约束条件
则
z=3x+2y
的最大值是
(
)
A.-1 B.1 C.10 D.12
【解析】
选
C.
由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示
:
由 解得
所以
A(2,2),
所以
z
max
=3×2+2×2=10.
2.(2019·
惠州模拟
)
已知
x,y
满足约束条件
若
z=ax+y
的最大值为
4,
则
a
等于
(
)
A.3 B.2 C.-2 D.-3
【解析】
选
B.
不等式组 表示的平面区域如图
阴影
(
含边界
)
部分所示
.
易知
A(2,0),
由
得
B(1,1).
由
z=ax+y,
得
y=-ax+z,
所以当
a=-2
或
a=-3
时
,z=ax+y
在点
O(0,0)
处取得最大值
,
最大值为
z
max
=0,
不满足题意
,
排除
C,D;
当
a=2
或
a=3
时
,z=ax+y
在点
A(2,0)
处取得最大值
,
所以
2a=4,
所以
a=2.
3.
点
(x,y)
满足不等式
|x|+|y|≤1,z=(x-2)
2
+(y-2)
2
,
则
z
的最小值为
________.
【解析】
|x|+|y|≤1
所确定的平面区域如图中阴影
(
含
边界
)
部分所示
,
目标函数
z=(x-2)
2
+(y-2)
2
的几何意义
是点
(x,y)
到点
P(2,2)
距离的平方
,
由图可知
z
的最小值
为点
P(2,2)
到直线
x+y=1
距离的平方
,
即为
答案
:
4.
已知点
O
是坐标原点
,
点
A(-1,-2),
若点
M(x,y)
是平面
区域 上的一个动点
, ·( - )+ ≤0
恒成立
,
则实数
m
的取值范围是
________.
【解析】
因为
=(-1,-2), =(x,y),
所以
·( - )= · =-x-2y.
所以不等式
·( - )+ ≤0
恒成立等价于
-x-2y+ ≤0,
即
≤x+2y
恒成立
.
设
z=x+2y,
作出不等式组表示的可行域如图阴影
(
含边界
)
部分所示
,
当目标函数
z=x+2y
表示的直线经过点
D(1,1)
时取得最
小值
,
最小值为
1+2×1=3;
当目标函数
z=x+2y
表示的直
线经过点
B(1,2)
时取得最大值
,
最大值为
1+2×2=5.
所以
x+2y∈[3,5],
于是要使
≤
x+2y
恒成立
,
只需
≤3,
解得
m≥
或
m<0,
即实数
m
的取值范围是
(-∞,0)∪ .
答案
:
(-∞,0)∪
【拓展提升】
利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)
作图
——
画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线
l.
(2)
平移
——
将
l
平行移动
,
以确定最优解所对应的点的位置
.
有时需要进行目标函数所表示的直线
l
和可行域边界表示的直线的斜率的大小比较
.
(3)
求值
——
解有关方程组求出最优解的坐标
,
再代入目标函数
,
求出目标函数的最值
.
考向三 基本不等式
(
压轴题型考点
)
【题组通关】
1.
若
a,b
都是正数
,
则 的最小值为
(
)
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】
选
C.
因为
a,b
都是正数
,
所以
=5+ ≥5+2 =9,
当且仅当
b=2a
时取等号
.
2.(2019·
郑州模拟
)
已知正数
x,y
满足
x
2
+2xy-3=0,
则
2x
＋
y
的最小值
②
是
________.
【解析】
由题意得
,y= ,
所以
2x+y=2x+ =
≥3,
当且仅当
x=y=1
时
,
等号成立
.
答案
:
3
3.
若正数
a,b
满足
,
则 的最小值为
________.
【解析】
方法一
:
因为
=1,
所以
a+b=ab,
(a-1)(b-1)=1,
所以
=2×3=6.
当且仅当
=
时
,a= ,b=4,
等号成立
.
方法二
:
因为
=1,
所以
a+b=ab,
=b+9a-10
=(b+9a) -10≥16-10=6.
当且仅当
a= ,b=4
时
,
等号成立
.
方法三
:
因为
=1,
所以
a-1= ,
所以
=(b-1)+ ≥2 =2×3=6.
当且仅当
a= ,b=4
时
,
等号成立
.
答案
:
6
4.
若正数
a,b
满足
=1,
则 的最小值为
(
)
A.16 B.25 C.36 D.49
【解析】
选
A.
因为
a,b>0, =1,
所以
a+b=ab,
所以
又
4b+16a=4(b+4a)=4(b+4a)· =
20+4 ≥20+4×2 =36,
当且仅当
=
且
=1,
即
a= ,b=3
时取等号
.
所以
≥36-20=16.
5.(2019·
天津高考
)
设
x>0,y>0,x+2y=5,
则
的最小值为
________.
【解析】
当且仅当
xy=3
时等号成立
.
故所求的最小值为
4 .
答案
:
4
【题眼直击】
题目
题眼
思维导引
1
①
两式中的变量呈现倒数形式
,
展开后运用基本不等式求最值
2
②
求和的最小值
,
积不能为定值
,
通过已知等式变形后运用基本不等式求最值
3
③
变形后与所求式子建立关系
④
通过拼凑的办法利用基本不等式求最值
【拓展提升】
利用基本不等式求最值的类型及方法
(1)
若已经满足基本不等式的条件
,
则直接应用基本不等式求解
.
(2)
若不直接满足基本不等式的条件
,
需要通过配凑、进行恒等变形
,
构造成满足条件的形式
,
常用的方法有
:“1”
的代换
,
对不等式进行分拆、组合、添加项等
.
(3)
多次使用基本不等式求最值
,
此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号
,
若等号不成立
,
一般利用函数单调性求解
.
