2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第13练

2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第13练

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 13 练　空间几何体 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：空间几何体的三视图，球与多面体的组合，一般以计算面积、体积的形式出现 . 2 . 题目难度：中等或中等偏上 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　空间几何体的三视图与直观图 要点重组 　 (1) 三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线 . 核心考点突破练 ( 2) 由三视图还原几何体的步骤 (3) 直观图画法的规则：斜二测画法 . 1. 如图，在三棱锥 A － BCD 中，侧面 ABD ⊥ 底面 BCD ， BC ⊥ CD ， AB ＝ AD ＝ 4 ， BC ＝ 6 ， BD ＝ ， 则该三棱锥三视图的正 ( 主 ) 视图为 √ 答案 解析 解析　 由题意，三棱锥三视图的正 ( 主 ) 视图为等腰三角形， 设 C 在 BD 上的投影为 E ， 2.(2018· 北京 ) 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数 为 A.1 　　　　 B.2 　　　　 C.3 　　　　 D.4 √ 答案 解析 解析　 由三视图得到空间几何体，如图所示， 则 PA ⊥ 平面 ABCD ， 平面 ABCD 为直角梯形， PA ＝ AB ＝ AD ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， 所以 PA ⊥ AD ， PA ⊥ AB ， PA ⊥ BC . 又 BC ⊥ AB ， AB ∩ PA ＝ A ， AB ， PA ⊂ 平面 PAB ， 所以 BC ⊥ 平面 PAB . 又 PB ⊂ 平面 PAB ，所以 BC ⊥ PB . 所以 △ PCD 为锐角三角形 . 所以侧面中的直角三角形为 △ PAB ， △ PAD ， △ PBC ，共 3 个 . 故选 C. 3. 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是 解析　 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边的距离相等，故选 B. √ 答案 解析 4. 已知正三棱锥 V － ABC 的正 ( 主 ) 视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧 ( 左 ) 视图的面积是 ____. 答案 解析 6 考点二　空间几何体的表面积与体积 方法技巧 　 (1) 求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 . (2) 求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . (3) 已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积 . √ 答案 解析 解析　 ∵ D 是等边三角形 ABC 的边 BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC . 又 ABC － A 1 B 1 C 1 为正三棱柱 ， ∴ AD ⊥ 平面 BB 1 C 1 C . ∵ 四边形 BB 1 C 1 C 为矩形， 6.(2018· 渭南质检 ) 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是 解析　 根据题意得到原四面体是底面为等腰直角三角形，高为 1 的三棱锥， √ 答案 解析 7. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 √ 答案 解析 解析　 由题意知该正方体截去了一个三棱锥，如图所示， 解析　 设球 O 的半径为 R ， ∵ 球 O 与圆柱 O 1 O 2 的上、下底面及母线均相切， ∴ 圆柱 O 1 O 2 的高为 2 R ，底面半径为 R . 答案 解析 考点三　多面体与球 (2) 当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长 . 9. 已知三棱锥 S － ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA ⊥ 平面 ABC ， SA ＝ ， AB ＝ 1 ， AC ＝ 2 ， ∠ BAC ＝ 60° ，则球 O 的表面积为 A.4π B.12π C.16π D.64π √ 答案 解析 解析　 在 △ ABC 中，由余弦定理得 ， BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC cos 60° ＝ 3 ， ∴ AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 ， 即 AB ⊥ BC . 又 SA ⊥ 平面 ABC ， ∴ SA ⊥ AB ， SA ⊥ BC ， 故球 O 的表面积为 4π × 2 2 ＝ 16π. 10. 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 解析　 由题意知，此球是正方体的内切球， 根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的， 故可得球的直径为 2 ，故半径为 1 ， √ 答案 解析 11. 已知一个棱长为 4 的正方体，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是 √ 答案 解析 解析　 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD 1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz ，如图所示， 12. 已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为 1 的球，则此三棱柱的体积的最大值为 ____. 1 答案 解析 解析　 如图，设球心为 O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为 O 1 ， O 2 ，底面正三角形的边长为 a ， 由已知得 O 1 O 2 ⊥ 底面 ，在 Rt △ OAO 1 中， 则 f ′ ( a ) ＝ 12 a 3 － 6 a 5 ＝－ 6 a 3 ( a 2 － 2) ， 1. 如图，在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内一点，则三棱锥 P － BCD 的正 ( 主 ) 视图与侧 ( 左 ) 视图的面积之比为 A.1 ∶ 1 　　　 B.2 ∶ 1 　　　 C.2 ∶ 3 　　　 D.3 ∶ 2 易错易混专项练 √ 答案 解析 又底面 ABCD 是正方形 ， 所以 矩形 ADD 1 A 1 与矩形 CDD 1 C 1 的面积相等， 即正 ( 主 ) 视图与侧 ( 左 ) 视图的面积之比是 1 ∶ 1. 2.(2018· 益阳调研 ) 已知一几何体的三视图如图所示，它的侧 ( 左 ) 视图与正 ( 主 ) 视图相同，则该几何体的体积为 √ 答案 解析 3. 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， ∠ AOB ＝ 90° ， C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 O － ABC 体积的最大值为 36 ，则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π 解析　 易知 △ AOB 的面积确定，若三棱锥 O － ABC 的底面 OAB 上的高最大 ， 则其体积最大 . √ 故 S 球 ＝ 4π R 2 ＝ 144π. 答案 解析 解题秘籍 　 (1) 三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征 . (2) 多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合 . 高考押题冲刺练 1.(2018· 浙江 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的体积 ( 单位： cm 3 ) 是 A.2 　　　　 B.4 　　　　 C.6 　　　　 D.8 √ 解析　 由几何体的三视图可知， 该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为 2 ， 1 ，高为 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 2.(2018· 黔东南州模拟 ) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为 √ 解析 　 根据三视图作出原几何体 ( 四棱锥 P － ABCD ) 的直观图 如 右 ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 3. 如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为 解析　 多面体 ABCDE 为四棱锥 ( 如图 ) ， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 作出该几何体的直观图如图所示 ( 所作图形进行了一定角度的旋转 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 解析　 三视图表示的几何体 ( 如图 ) 是四棱锥 ( 镶嵌入棱长为 2 的正方体中 ) ， 且四棱锥 F － ABCD 的底面为正方形 ABCD ，面积为 4 ， 设截面面积为 S ，所截得小四棱锥的高为 h ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 某几何体的三视图如图所示 ， 该几何体的体积为 √ 解析　 由三视图可知 ，该 几何体是由一个棱长为 2 的正方体切去两个四分之一圆柱而成， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 7.(2018· 全国 Ⅰ ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其三视图如下图 . 圆柱表面上的点 M 在正 ( 主 ) 视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在侧 ( 左 ) 视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M ， N 的位置如图 ① 所示 . 圆柱的侧面展开图及 M ， N 的位置 ( N 为 OP 的四等分点 ) 如图 ② 所示， 连接 MN ，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 如图所示，该几何体是三棱锥 D — ABC ， 且 AB ⊥ AC ， DE ⊥ 平面 ABC ， 故外接球球心 O 必在直线 DE 上， 设三棱锥 D — ABC 外接球的半径为 R ， 由 ( OD － DE ) 2 ＋ EC 2 ＝ OC 2 ＝ R 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，侧棱长 为 的 正三棱锥 V － ABC 中， ∠ AVB ＝ ∠ BVC ＝ ∠ CVA ＝ 40° ，过点 A 作截面 △ AEF ，则截面 △ AEF 的周长的最小值为 ___. 解析　 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V － ABC 展开在一个平面内，如图， 则 AA ′ 即为截面 △ AEF 周长的最小值 ， 且 ∠ AVA ′ ＝ 3 × 40° ＝ 120° ， VA ＝ VA ′ ＝ . 在 △ VAA ′ 中，由余弦定理可得 AA ′ ＝ 6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 10.(2018· 三门峡期末 ) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就 . 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “ 阳马 ” ，若某 “ 阳马 ” 的三视图如图所示 ( 网格纸上小正方形的边长为 1) ， 则该 “ 阳马 ” 最长的棱长为 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 由三视图知 ，几何体 是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图所示 . 其中 PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PA ＝ 3 ， AB ＝ CD ＝ 4 ， AD ＝ BC ＝ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正 ( 主 ) 视图和侧 ( 左 ) 视图都是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为 ____. 解析　 由已知可得 ，该 几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和， 因为 R ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 4π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 连接 BF ，由题意 ， 得 △ BCD 为等腰直角三角形， E 是外接圆的圆心 . ∵ 点 A 在平面 BCD 上的投影恰好为 DE 的中点 F ， 设球心 O 到平面 BCD 的距离为 h ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12